Aula 5 micro 2

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Aula 5: Outros conceitos relacionados às isoquantas. Exercícios. 
Cont. Capítulo 6 de Besanko.
Objetivos
Rever os conceitos relacionados a uma função com vários insumos (variáveis).
Realizar exercícios sobre os conceitos dados.
Explicar outros conceitos relacionados: retorno de escala e progresso técnico.
1- Determinar uma função de produção de uma isoquanta.
Seja uma função de produção representada por: Q= K1/2 L1/2
Qual é a equação da isoquanta correspondente a Q=20?
Como seria a expressão geral da equação para qualquer nível de produção Q?
Solução 1
a) Podemos escrever a equação, em que Q=20, em função de K e L, tirando o expoente com potencia 2 
 Q = K1/2 L1/2 elevando a 2
 202 = K L
Resolvendo em base K:
 400/ L = K
b) A expressão geral seria: Q2/ L = K
2- Determinar uma função de produção de uma isoquanta.
Seja a função dada por: Q = L √K
a) Representar em gráfico a equação da isoquanta correspondente a: Q=10 Q=20 e Q=50.
b) As isoquantas apresentam TMST(L,K) decrescente?
Solução 2.
Reescrevendo a função Q = L *√K para Q=10.
10 = √K destacando K
10/L = √K
100/L2= K tirando raiz via potência de 2
 K = 100/L2 
De forma geral  K = (Q/L)2
Solução 2: Q=10; Q=20; Q= 50
Q
L
k
10
1
100
10
2
25
10
3
11
10
4
6
10
5
4
10
6
3
Q
L
k
20
1
400
20
2
100
20
3
44
20
4
25
20
5
16
20
6
11
Q
L
k
50
1
2500
50
2
625
50
3
278
50
4
156
50
5
100
50
6
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A TMST é decrescente? Sim
3- Determinar uma função de produção de uma isoquanta.
Considere a função de produção Q = KL2 – L3
Faça um gráfico com as isoquantas dessa função.
A função apresenta uma região não-econômica? E, por que ?
 
Solução 3
k
L
TMST
4
1
5,0
4
2
1,0
4
3
-0,3
4
4
-1,0
4
5
-1,4
Assim, as isoquantas seriam assim. E há região antieconômica onde PM de um dos fatores é negativo
4- Determinar uma função de produção de uma isoquanta.
Seja B o número de bicicletas produzidas a partir de F estruturas e T pneus. Cada bicicleta precisa exatamente uma estrutura e dois pneus.
Represente as isoquantas dessa função de produção.
Escreva a expressão matemática dessa função.
Solução 4 
T número de pneus
F
 estruturas
B bicicletas
B = min (F; T/2)
Outros conceitos
Retornos de escala.
Tipos de retornos
RE > 1 Rendimentos Crescentes de Escala. Aumento proporcional nas quantidades maior que na quantidade dos insumos.
RE = 1  Rendimentos Constantes de Escala. Aumento proporcional nas quantidades igual ao dos insumos.
RE < 1  Rendimentos Decrescentes de Escala. Aumento proporcional nas quantidades menor que o dos insumos.
Tipos de retornos de escala
Importância de entender o tipo de retorno de escala.
Retornos crescentes de escala  Uma empresa terá custos unitários menores que duas que façam esse tamanho. 
Por exemplo, dois fabricantes de semicondutores, produzindo 1 milhão de chips a $0,10, terão custo maior que um produzindo 2 milhões de chips a $0,07. Isso porque a empresa grande gasta menos para dobrar a produção.
Retornos constantes  não influenciam na queda dos custos.
Retornos decrescentes  aumentam os custos unitários.
Progresso Técnico
Até agora foi suposto que a função de produção permanece constante no tempo, inalterada. Mas, ela evolui com o conhecimento, com as pesquisas em P&D, e a economia.
PT se refere à situação em que a empresa pode obter mais produtos a partir de uma dada combinação de fatores ou a mesma a partir de menos fatores de produção. 
Pode-se classificar o PT em três categorias:
-neutro
-poupador de trabalho
-poupador de capital.
PT neutro
PT Poupador de Trabalho
PT poupador de capital
Exercício 5: Determine o tipo de Retornos de Escala
Uma empresa produz cereal do café da manhã, utilizando L (trabalho) e M (materiais):
Q = 50 √ML + M + L
Para se conhecer o tipo de retorno de escala, se precisa verificar se a variação da produção é maior/menor que a variação dos fatores de produção.
αQ = 50 √αMαL + αM + αL
αQ = 50 α √ML + αM + αL
αQ = α (50√ML + M + L )
αQ = αQ  rendimentos constantes de escala.
Exercício 6: Determine o tipo de rendimento de escala.
Seja a função de produção Q = [K0,5 + L0,5]2
Determine o tipo de rendimento de escala.
Determine o valor da elasticidade de substituição. 
Solução 6
Variando toda a função e todos os seus insumos em
αQ = [(α K)0,5 + (α L)0,5]2
αQ = [α0,5 (K)0,5 + (L)0,5]2
αQ = α [ (K)0,5 + (L)0,5]2
αQ = αQ  constantes.
Solução 6
b) Sabendo que Q = [K0,5 + L0,5]2 é uma CES, com formato:
 
Poder-se-ia:
0,5 = σ -1/ σ
σ0,5 = σ-1
σ0,5 – σ = -1
-0,5 σ = -1 
 σ = 2