Prova-AlgebraLinear

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A´LGEBRA LINEAR A TRABALHO DE CASA #1 17/05/2017
Justifique a resposta com uma demonstrac¸a˜o se a afirmac¸a˜o esta` certa e com um exem-
plo se a afirmac¸a˜o esta` errada.
Pode trabalhar com outros alunos.
Por favor, escreva a caneta.
Nome:
Matricula:
1. Calcule a norma dos vetores:
~v1 =
(
3
1
)
, ~v2 =
(−1
2
)
, ~v3 =
41
1
 , ~v4 =
00
0
 , ~v5 =

1
−1
1
0

Resposta: ‖~v1‖ =
√
10, ‖~v2‖ =
√
5, ‖~v3‖ =
√
18, ‖~v4‖ = 0, ‖~v5‖ = 3.
2. Determine o aˆngulo entre cada par de vetores quando for definido:
(a)
(
1
2
)
,
(
1
4
)
(b)
12
0
 ,
04
1
 (c) (1
2
)
,
 14
−1

Resposta:
(a) arccos
(
9√
5
√
17
)
≈ 0.22 rad
(b) arccos
(
8√
5
√
17
)
≈ 0.52 rad
(c) Na˜o esta´ definido porque os vetores pertencem a espac¸os vetoriais diferentes (R2 6= R3).
3. Determine o valor de k tal que ~u = (k, 1) e ~v = (4, 3) sa˜o ortogonais.
Resposta: Resolva ~u · ~v = k · 4 + 1 · 3 = 0 para obter k = −3/4.
4. Determine todos os vetores de R3 ortogonais a ~u = (1, 3,−1).
Resposta: O conjunto de todos os vetores ortogonais a ~u e´ {(x, y, z) : x+ 3y − z = 0}. Observe que
x+ 3y − z = 0 e´ a equac¸a˜o de um plano em R3.
5. (a) Determine o aˆngulo entre a diagonal do quadrado unita´rio (o quadrado com lados de compri-
mento 1) em R2 e o eixo x.
(b) Determine o aˆngulo entre a diagonal do cubo unita´rio em R3 e o eixo y.
(c) Determine o aˆngulo entre a diagonal do cubo unitario unitario em Rn e o eixo x3.
(d) Qual e´ o limite do aˆngulo entre a diagonal do cubo unitario em Rn e um dos eixos coordenados
quando n tende para +∞?
Resposta:
(a) ~u = (1, 0) e ~v = (1, 1) sa˜o paralelos ao eixo x e a` diagonal do quadrato, respectivamente. Enta˜o
θ = arccos
(
~u · ~v
‖~u‖‖~v‖
)
= arccos
(
1 · 1 + 0 · 1√
1
√
2
)
≈ 0.79 rad.
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(b) ~u = (0, 1, 0) e ~v = (1, 1, 1) sa˜o paralelos ao eixo y e a` diagonal do cubo, respectivamente. Enta˜o
arccos
(
0 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1√
1
√
3
)
≈ 0.96 rad
(c) ~u = (0, 0, . . . , 1) e ~v = (1, 1, . . . , 1) sa˜o paralelos ao eixo x3 e a` diagonal do cubo em Rn, respecti-
vamente. Enta˜o
arccos
(
0 · 1 + 0 · 1 + · · ·+ 1 · 1√
1
√
n
)
= arccos
(
1√
n
)
(d) limn→+∞ arccos(1/
√
n) = arccos(0) = pi/2. Ou seja, no limite n → +∞, os vetores tornam-se
ortogonais.
6. Suponha que ~u •~v = ~u • ~w e ~u 6= ~0. Sera´ que ~v = ~w? Justifique com uma prova se a afirmac¸a˜o esta` certa
e com um exemplo se a afirmac¸a˜o esta` errada.
Resposta: A afirmac¸a˜o esta´ errada. Pode ver isso, escolhendo
~u =
(
1
0
)
, ~v =
(
1
0
)
, ~w =
(
1
1
)
7. Determine o ponto meio do segmento com extremidades (x1, y1) e (x2, y2) em R2. Generalize para
Rn.
Resposta: Sejam A(x1, y1), B(x2, y2) e C o ponto medio do segmento AB. Enta˜o
−−→
OC =
−→
OA+
1
2
(
−−→
OB −−→OA) = 1
2
(−→
OA+
−−→
OB
)
=
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
.
O caso geral e´ resolvido da mesma forma.
8. Mostre que se ~v 6= ~0, enta˜o ~v/‖~v‖ e´ unitario. O que acontece quando ~v = ~0?
Resposta: Se ~v 6= ~0, enta˜o∥∥∥∥ ~v‖~v‖
∥∥∥∥ = 1‖~v‖‖~v‖ = 1.
Se ~v = ~0, 1/‖~v‖ na˜o esta´ definido.
9. Mostre que o produto escalar de dois vetores unita´rios tem valor absoluto menor ou igual do que 1.
Esse valor absoluto pode ser menor do que 1? Pode ser igual a 1? Explique com exemplos.
Resposta: Sejam ~u,~v ∈ Rn vetores unitarios. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
|~u • ~v| ≤ ‖~u‖‖~v‖ = 1.
Para ver que ‘menor do que 1’ e´ possı´vel, considere os vetores
~u =
(
1
0
)
, ~v =
(
0
1
)
,
e observe que ~u • ~v = 0. Para ‘igual a 1’, observe que ~u • ~u = 1.
10. Prove que ‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 2‖~u‖2 + 2‖~v‖2.
Resposta: Temos
‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v) · (~u+ ~v) = ~u · ~u+ ~u · ~v + ~v · ~u+ ~v · ~v
= ‖~u‖2 + 2~u · ~v + ‖~v‖2,
Cont.
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e
‖~u− ~v‖2 = (~u− ~v) · (~u− ~v) = ~u · ~u− ~u · ~v − ~v · ~u+ ~v · ~v
= ‖~u‖2 − 2~u · ~v + ‖~v‖2.
Enta˜o ‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 2‖~u‖2 + 2‖~v‖2.
Resposta (soluc¸a˜o alternativa):
~u =
u1...
un
 , ~v =
v1...
vn
 ,
e
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = (u1 + v1)2 + · · ·+ (un + vn)2
+ (u1 − v1)2 + · · ·+ (un − vn)2
= u1
2 + 2u1v1 + v1
2 + · · ·+ un2 + 2unvn + vn2
+ u1
2 − 2u1v1 + v12 + · · ·+ un2 − 2unvn + vn2
= 2(u1
2 + · · ·+ un2) + 2(v12 + · · ·+ vn2)
= 2‖~u‖2 + 2‖~v‖2
11. Mostre que se ~u • ~v = 0 para cada for ~v, enta˜o ~u = ~0.
Resposta: Escolha ~v = ~u. Enta˜o ~u · ~u = u21 + · · ·u2n = 0. Como u2i ≥ 0 para todo i, temos u1 = u2 =
· · · = un = 0.
Resposta (soluc¸a˜o alternativa): Seja ~v = (1, 0, . . . , 0). Pela hipo´tese do problema temos que u1 =
~v · ~u = 0. O mesmo argumento mostra que escolhendo ~v = (0, . . . , 1, . . . , 0), o vetor com todas as
coordenadas zero exceto a i-esima, obtemos ui = ~v · ~u = 0.
12. Mostre que ‖~u‖ = ‖~v‖ se e somente se ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o ortogonais. Ou seja, mostre que
(a) se ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o ortogonais, enta˜o ‖~u‖ = ‖~v‖,
(b) se ‖~u‖ = ‖~v‖, enta˜o ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o ortogonais.
Deˆ um exemplo em R2.
Resposta: Os the vectors ~u+ ~v and ~u− ~v sa˜o ortogonais se e somente se
0 = (~u+ ~v) • (~u− ~v) = ~u • ~u− ~u • ~v + ~v • ~u+ ~v • ~v = ‖~u‖2 + ‖~v‖2,
que mostra que ~u e ~v sa˜o ortogonais se e somente se ‖~u‖2 = ‖~v‖2 (ou seja, ‖~u‖ = ‖~v‖).
Exemplo: Escolhemos ~u = (1, 0) e ~v = (0, 1). Enta˜o ~u − ~v = (1,−1) e ~u + ~v = (1, 1). Portanto,
‖~u‖ = ‖~v‖ = 1 e (~u+ ~v) • (~u− ~v) = 1− 1 = 0.
Cont.