PROVA ALGEBRA LINEAR

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A´LGEBRA LINEAR A TRABALHO DE CASA #2 24/05/2017
Justifique a resposta com uma demonstrac¸a˜o se a afirmac¸a˜o esta` certa, ou com um
exemplo se a afirmac¸a˜o esta` errada.
Pode trabalhar com outros alunos.
Por favor, escreva a caneta.
Nome:
Matricula:
1. Use o me´todo de Gauss para encontrar a soluc¸a˜o u´nica de cada sistema.
(a) 2x+ 3y = 13
x− y =−1
(b) x − z = 0
3x+ y = 1
−x+ y + z = 4
Resoluc¸a˜o:
(a) Fazendo
−→
−(1/2)L1+L2
2x+ 3y = 13
− (5/2)y =−15/2
obtemos x = 2, y = 3.
(b) Fazendo
−3L1+L2−→
L1+L3
x − z = 0
y + 3z = 1
y = 4
−L2+L3−→
x − z = 0
y + 3z = 1
−3z = 3
obtemos x = −1, y = 4, z = −1.
2. Use o me´todo de Gauss para resolver cada sistema ou para concluir que o sistema tem infinitas
soluc¸o˜es ou na˜o tem soluc¸o˜es.
(a) 2x+ 2y = 5
x− 4y = 0
(b) 4y + z = 20
2x− 2y + z = 0
x + z = 5
x+ y − z = 10
(c) 2x + z + w = 5
y − w =−1
3x − z − w = 0
4x+ y + 2z + w = 9
Resoluc¸a˜o:
(a)
−→
−(1/2)L1+L2
2x+ 2y = 5
−5y =−5/2
mostra que x = 2, y = 1/2 e´ a soluc¸a˜o u´nica.
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(b)
L1↔L4−→
x+ y − z = 10
2x− 2y + z = 0
x + z = 5
4y + z = 20
−2L1+L2−→
−L1+L3
x+ y − z = 10
−4y + 3z =−20
−y + 2z = −5
4y + z = 20
−(1/4)L2+L3−→
L2+L4
x+ y − z = 10
−4y + 3z =−20
(5/4)z = 0
4z = 0
A u´nica soluc¸a˜o e´ (x, y, z) = (5, 5, 0).
(c)
−(3/2)L1+L3−→
−2L1+L4
2x + z + w = 5
y − w = −1
− (5/2)z − (5/2)w =−15/2
y − w = −1
−L2+L4−→
2x + z + w = 5
y − w = −1
− (5/2)z − (5/2)w =−15/2
0 = 0
O sistema tem infinitas soluc¸o˜es.
3. Para quais valores de k, o sistema na˜o tem soluc¸o˜es, tem infinitas soluc¸o˜es, tem uma soluc¸a˜o u´nica?
x− y = 1
3x− 3y = k
Resoluc¸a˜o: A reduc¸a˜o
−→
−3L1+L2
x− y = 1
0 =−3 + k
mostra que o sistema na˜o tem soluc¸a˜o para k 6= 3 e tem infinitas soluc¸o˜es para k = 3. O sistema nunca
tem uma soluc¸a˜o u´nica.
4. Encontre as condic¸o˜es sobre as constantes b para que o sistema tenha uma soluc¸a˜o. (Dica: aplicar o
me´todo de Gauss e ver o que acontece com a expressa˜o ao lado direito do sistema)
x− 3y = b1
3x+ y = b2
x+ 7y = b3
2x+ 4y = b4
Resoluc¸a˜o:
(a) A reduc¸a˜o
−3L1+L2−→
−L1+L3−2L1+L4
x− 3y = b1
10y =−3b1 + b2
10y = −b1 + b3
10y =−2b1 + b4
−L2+L3−→
−L2+L4
x− 3y = b1
10y = −3b1 + b2
0 = 2b1 − b2 + b3
0 = b1 − b2 + b4
mostra que o sistema tem uma soluc¸a˜o se e somente se b3 = −2b1 + b2 e b4 = −b1 + b2 (observe
que a soluc¸a˜o e´ u´nica).
Cont.
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5. Verdadeiro ou falso: um sistema com mais inco´gnitas do que equac¸o˜es tem pelo menos uma soluc¸a˜o.
(Para dizer ‘verdadeiro’ deve prova´-lo, enquanto para dizer ‘falso’ deve produzir um exemplo.)
Resoluc¸a˜o: Falso. O sistema seguinte tem mais varia´veis do que equac¸o˜es
x+ y + z = 0
x+ y + z = 1
mas na˜o tem soluc¸o˜es.
6. Resolva cada sistema usando a matriz aumentada do sistema. Escreva as soluc¸o˜es usando vetores.
(a) 3x+ 6y = 18
x+ 2y = 6
(b) x1 + x3 = 4
x1 − x2 + 2x3 = 5
4x1 − x2 + 5x3 = 17
(c) x+ 2y − z = 3
2x+ y + w = 4
x− y + z + w = 1
Resoluc¸a˜o:
(a) Esta reduc¸a˜o(
3 6 18
1 2 6
)
(−1/3)L1+L2−→
(
3 6 18
0 0 0
)
mostra que x e´ pivoˆ e y livre. Usando y como parametro, obtemos x = 6−2y. Portanto o conjunto
das soluc¸o˜es e´
{
(
6
0
)
+
(−2
1
)
y | y ∈ R}
(b) Usando o metodo de Gauss,1 0 1 41 −1 2 5
4 −1 5 17
 −L1+L2−→
−4L1+L3
1 0 1 40 −1 1 1
0 −1 1 1
 −L2+L3−→
1 0 1 40 −1 1 1
0 0 0 0

vemos que x1 e x2 sa˜o pivoˆ e x3 livre. O conjunto das soluc¸o˜es e´
{
 4−1
0
+
−11
1
x3 | x3 ∈ R}
(c) Fazemos1 2 −1 0 32 1 0 1 4
1 −1 1 1 1
 −2L1+L2−→
−L1+L3
1 2 −1 0 30 −3 2 1 −2
0 −3 2 1 −2

−L2+L3−→
1 2 −1 0 30 −3 2 1 −2
0 0 0 0 0

para obter que x e y sa˜o pivoˆ e z and w livres. Resolvendo para y, obtemos y = (2 + 2z + w)/3 e
substituindo x+2(2+ 2z+w)/3− z = 3 e x = (5/3)− (1/3)z− (2/3)w. O conjunto das soluc¸o˜es
e´
{

5/3
2/3
0
0
+

−1/3
2/3
1
0
 z +

−2/3
1/3
0
1
w | z, w ∈ R}
Cont.
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7. O vetor a` esquerda pertence ao conjunto a` direita. Quais valores dos paraˆmetros produzem esse
vetor?
(a)
(
5
−5
)
, {
(
1
−1
)
k | k ∈ R}
(b)
−12
1
 , {
−21
0
 i+
30
1
 j | i, j ∈ R}
(c)
 0−4
2
 , {
11
0
m+
20
1
n | m,n ∈ R}
Resoluc¸a˜o:
(a) k = 5
(b) A segunda coordenada mostra que i = 2, e a terceira coordenada mostra j = 1.
(c) m = −4, n = 2
8. O vetor esta´ no conjunto?
(a)
(
3
−1
)
, {
(−6
2
)
k | k ∈ R}
(b)
(
5
4
)
, {
(
5
−4
)
j | j ∈ R}
(c)
 21
−1
 , {
 03
−7
+
 1−1
3
 r | r ∈ R}
(d)
10
1
 , {
20
1
 j +
−3−1
1
 k | j, k ∈ R}
Resoluc¸a˜o: Para cada problema, obtemos um sistema linear nos parmetros que temos de resolver.
(a) Sim, para k = −1/2.
(b) Na˜o; o sistema de equac¸o˜es 5 = 5j e 4 = −4j na˜o tem soluc¸a˜o.
(c) Sim, para r = 2.
(d) Na˜o; a segunda coordenada mostra que k = 0. A terceira coordenada mostra j = 1. Enta˜o para
a primeira coordenada temos 2j = 2 6= 1.
9. Escreva a matriz 4× 4 cuja entrada i, j-esima e´
(a) i+ j, (b) −1i+j
Resoluc¸a˜o: (a)

2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8
 (b)

1 −1 1 −1
−1 1 −1 1
1 −1 1 −1
−1 1 −1 1

10. (Desafio) Para quais valores de a o sistema na˜o tem soluc¸o˜es? Para quais valores de a tem infinitas
soluc¸o˜es?
ax+ y = a2
x+ ay = 1
Cont.
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Resoluc¸a˜o: O sistema na˜o tem soluc¸o˜es para a = −1, tem infinitas soluc¸o˜es para a = 1 e tem uma
soluc¸a˜o u´nica para a2 6= 1. Para mostra isso, primeiro, trocamos as duas equac¸o˜es. Se a = 0, temos
x = 1
y = 0
e o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
Agora, suponhamos que a 6= 0. Fazendo L2 − aL1 → L2, obtemos
ax+ y = a2
(1− a2)y = a2 − a.
Se a = 1,
x+ y = 1
0 = 0
.
e o sistema tem infinitas soluc¸o˜es(
x
y
)
=
(
1
0
)
+ y
(−1
1
)
, y ∈ R.
Se a = −1,
x− y = 1
0 = 2
.
e o sistema na˜o tem soluc¸a˜o. Agora, alem de a 6= 0, podemos supor que a 6= 1 e a 6= −1. Neste caso,
podemos resolver a segunda equac¸a˜o e substituir a expressa˜o de y na primeira, para obter a u´nica
soluc¸a˜o do sistema,
x =
1 + a+ a2
1 + a
, y = − a
1 + a
.
Cont.