PROVA ALGEBRA LINEAR

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A´LGEBRA LINEAR A TRABALHO DE CASA #4 7/06/2017
Justifique a resposta com uma demonstrac¸a˜o se a afirmac¸a˜o esta` certa, ou com um
exemplo se a afirmac¸a˜o esta` errada.
Pode trabalhar com outros alunos.
Por favor, escreva a caneta.
Nome:
Matricula:
Resolva pelo menos 5 exercı´cios.
1. Determine o elemento inverso do vetor no espac¸o vetorial indicado.
(a) O vetor −3− 2x+ x2 do espac¸o P3 (o conjunto dos polinomios de grau inferior ou igual a 3).
(b) O vetor
(
1 −1
0 3
)
do espac¸o M2×2.
Resposta: (a) 3 + 2x− x2 (b)
(−1 +1
0 −3
)
2. Para cada conjunto, escreva treˆ elementos e mostre que e´ um espac¸o vetorial com as usuais operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplic¸a˜o por um escalar para polinoˆmios.
(a) O conjunto dos polinomios lineares P1 = {a0 + a1x | a0, a1 ∈ R}.
(b) O subconjunto dos polinomios lineares {a0 + a1x | a0 − 2a1 = 0}. Como este e´ um subconjunto
de P1, so´ precisa provar que ele e´ fechado em relac¸a˜o as operac¸o˜es + e •. As outras propriedades
sa˜o automaticamente satisfeitas sendo P1 um espac¸o vetorial.
Resposta:
(a) Uma escolha e´ 1 + 2x, 2− x e x.
Para mostrar que P1 e´ um espac¸o vetorial, precisamos provar as Condic¸o˜es (1)–(10) na definic¸ao
de espac¸o vetorial. Condic¸o˜es (1)–(5) teˆm a ver com a adic¸a˜o, no enquanto Condic¸o˜es (6)–(10)
teˆm a ver com a multiplic¸a˜o por um escalar.
Condic¸a˜o (1): se a+ bx, c+dx ∈ P1, enta˜o (a+ bx)+(c+dx) = (a+ c)+(b+d)x e´ um polinomio
linear com coeficientes reais e portanto e´ um elemento de P1.
Condic¸a˜o (2): se a+bx, c+dx ∈ P1, enta˜o (a+bx)+(c+dx) = (a+c)+(b+d)x e (c+dx)+(a+bx) =
(c + a) + (d + b)x. Como a, b, c, d sa˜o numeros reais, temos a + c = c + a e b + d = d + b.
Assim, portanto (a+ bx) + (c+ dx) = (c+ dx) + (a+ bx).
Condic¸a˜o (3): se a+ bx, c+ dx, e+ fx ∈ P1, enta˜o ((a+ bx)+ (c+ dx))+ (e+ fx) = (a+ c+ e)+
(b+ d+ f)x e (a+ bx)+ ((c+ dx)+ (e+ fx)) = (a+ c+ e)+ (b+ d+ f)x. Os dois polinomios
sa˜o iguais, pois (a + c) + e = a + (c + e) e (b + d) + f = b + (d + f)), sendo a soma entre
numeros reais associativa.
Condic¸a˜o (4): observe que o polinomio linear 0+0x ∈ P1 tem a propriedade que (a+ bx)+ (0+
0x) = a+ bx e (0 + 0x) + (a+ bx) = a+ bx.
Condic¸a˜o (5): observe que para cada a+ bx ∈ P1, elemento inverso dele e´ −a− bx ∈ P1, porque
(a+ bx) + (−a− bx) = (−a− bx) + (a+ bx) = 0 + 0x.
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Condic¸a˜o (6): sejam r um numero real e a + bx um elemento de P1. O polinomio r(a + bx) =
(ra) + (rb)x e´ um elemento de P1 porque e´ um polinomio linear com coeficientes que sa˜o
numeros reais.
Condic¸a˜o (7): (r+ s)(a+ bx) = r(a+ bx) + s(a+ bx) e´ uma consequeˆncia da propriedade distri-
butiva da multiplicac¸a˜o dos numeros reais.
Condic¸a˜o (8): analogamente a´ condic¸a˜o anterior, r((a+ bx) + (c+ dx)) = r((a+ c) + (b+ d)x) =
r(a+ c) + r(b+ d)x = (ra+ rc) + (rb+ rd)x = r(a+ bx) + r(c+ dx).
Condic¸a˜o (9): temos (rs)(a+ bx) = (rsa) + (rsb)x = r(sa+ sbx) = r(s(a+ bx)).
Condic¸a˜o (10): temos 1(a+ bx) = (1a) + (1b)x = a+ bx.
(b) Denotamos o conjunto por P . Tres elementos de P sa˜o 2 + 1x, 6 + 3x, and −4− 2x.
No item (a) da questa˜o, no houve restric¸a˜o sobre os coeficientes dos polinomios. Agora, estamos
considerando um subconjunto de P1 formado por polinoˆmios lineares tais que o termo constante
menos duas vezes o coeficiente do termo linear e´ igual a zero, ou seja a0 − 2a1 = 0. Para mostra
que P e´ um espac¸o vetorial podemos provar as dez condic¸o˜es da definic¸a˜o de espac¸o vetorial
(como fizemos abaixo). Alternativamente, poderı´amos usar o teorema que diz que para provar
que um subconjunto S de um espac¸o vetorial V e´ um subespac¸o e´ suficiente mostrar que S e´
fechado em relac¸a˜o a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o de um escalar por um vetor.
Condic¸a˜o (1): temos de mostrar que dados dois polinoˆmios que satisfazem a condio a0−2a1 = 0,
tambem a soma deles satisfaz a mesma condic¸a˜o. Sejam a+bx, c+dx ∈ P . Enta˜o (a+bx)+(c+
dx) = (a+c)+(b+d)x e´ um elemento de P pois (a+c)−2(b+d) = (a−2b)+(c−2d) = 0+0 = 0.
Condic¸a˜o (2): sejam a + bx, c + dx ∈ P1. Enta˜o, (a + bx) + (c + dx) = (a + c) + (b + d)x,
(c+ dx)+ (a+ bx) = (c+ a)+ (d+ b)x. Como a, b, c, d sa˜o numeros reais, temos a+ c = c+ a
b + d = d + b, e portanto (a + bx) + (c + dx) = (c + dx) + (a + bx). Observe que esta parte
da prova na˜o e´ afetada pela condic¸a˜o a0 − 2a1 e a verificao e´ como a verificac¸a˜o no primeiro
item do exercı´cio.
Condic¸a˜o (3): esta verific¸a˜o tambem e´ como no primeiro item do exercı´cio. Se a+ bx, c+ dx, e+
fx ∈ P , enta˜o ((a+ bx) + (c+ dx)) + (e+ fx) = (a+ c+ e) + (b+ d+ f)x e (a+ bx) + ((c+
dx) + (e+ fx)) = (a+ c+ e) + (b+ d+ f)x. Os dois polinomios sa˜o iguais.
Condic¸a˜o (4): o polinomio linear 0+ 0x ∈ P satisfaz a condic¸a˜o a0− 2a1. Alem disso, (a+ bx) +
(0 + 0x) = a+ bx e (0 + 0x) + (a+ bx) = a+ bx.
Condic¸a˜o (5): para cada a+bx ∈ P , o inverso e´−a−bx, que e´ um elemento de P porque sabemos
que a − 2b = 0 e multiplicando ambos por −1 obtemos −a + 2b = 0. Alem disso, como no
primeiro item do do exercı´cio, temos (a+ bx) + (−a− bx) = (−a− bx) + (a+ bx) = 0 + 0x.
Condic¸a˜o (6): sejam r um numero real e a + bx ∈ P (assim a − 2b = 0). Enta˜o r(a + bx) =
(ra) + (rb)x e´ um elemento de P pois e´ um polinomio linear com coeficientes reais e satisfaz
(ra)− 2(rb) = r(a− 2b) = 0.
Condic¸a˜o (7): como no primeiro item do exercı´cio, temos (r+ s)(a+ bx) = r(a+ bx) + s(a+ bx)
por a propriedade distributiva da multiplic¸a˜o dos numeros reais.
Condic¸a˜o (8): como no primeiro item do exercı´cio, temos r((a+ bx)+(c+dx)) = r((a+ c)+(b+
d)x) = r(a+ c) + r(b+ d)x = (ra+ rc) + (rb+ rd)x = r(a+ bx) + r(c+ dx).
Condic¸a˜o (9): como no primeiro item do exercı´cio, temos (rs)(a+ bx) = (rsa) + (rsb)x = r(sa+
sbx) = r(s(a+ bx)).
Condic¸a˜o (10): como no primeiro item do exercı´cio, temos 1(a+ bx) = (1a) + (1b)x = a+ bx.
3. Mostre que o subconjunto{(
a b
0 c
)
| a, b, c ∈ R
}
e´ um subespac¸o de M2×2, provando que e´ fechado em relac¸a˜o as usuais operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplic¸a˜o por um escalar para matrizes (veja a observac¸a˜o no exercı´cio 2(b)).
Cont.
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Resposta: O subconjunto e´ fechado em relac¸a˜o a soma usual de matrizes, pois a soma de matrizes
2×2 com um zero na entrada 2, 1 e´ tambe´m uma matriz 2×2 com um zero na entrada 2, 1:(
a b
0 d
)
+
(
e f
0 h
)
=
(
a+ e b+ f
0 d+ h
)
Similarmente, o subconjunto e´ fechado em relac¸a˜o ao produto por um escalar, porque um mu´ltiplo
escalar de uma matriz 2×2 com um zero na entrada 2, 1 e´ uma matriz de 2×2 com um zero na entrada
2, 1.
4. Mostre que cada conjunto na˜o e´ um espac¸o vetorial.
(a) O conjunto
{
(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 1} com as usuais operac¸o˜es de R3.
(b) O conjunto
{
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1} com as usuais operac¸o˜es de R3. Qual superficie
tem equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 1?
(c) O conjunto
{(
a 1
b c
)
| a, b, c ∈ R
}
com as usuais operac¸o˜es para matrizes.
(d) O conjunto dos polinoˆmios
{
a0 + a1x+ a2x
2 | a0, a1, a2 ≥ 0
}
com as usuais operac¸o˜es para po-
linoˆmios.
(e) O conjunto
{
(x, y) ∈ R2 | x+ 3y = 4 e 2x− y = 3 e 6x+ 4y = 10} com as usuais operac¸o˜es de
R2. (Dica: determine as soluc¸o˜es do sistema linear x + 3y = 4 e 2x − y = 3 e 6x + 4y = 10
e explique porque este conjunto pode ser um espac¸o vetorial)
Resposta: Denotamos por Q o conjunto de cada iten. Para alguns itens, existem outras maneiras
corretas de mostrar que o conjunto no˜o e´ um espao vetorial.
(a) Q no e´ fechado em relac¸a˜o a adic¸a˜o. A Condic¸a˜o (1) na˜o esta´ satisfeita:10
0
 ,
01
0
 ∈ Q
10
0
+
01
0
 =
11
0
 6∈ Q
(b) Q na˜o e´ fechado relac¸a˜o a adic¸a˜o:10
0
 ,
01
0
 ∈ Q
10
0
+
01
0
 =
11
0
 6∈ Q
(c) Q na˜o e´ fechado relac¸a˜oa adic¸a˜o:(
0 1
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
∈ Q
(
0 1
0 0
)
+
(
1 1
0 0
)
=
(
1 2
0 0
)
6∈ Q
(d) Q na˜o e´ fechado relac¸a˜o a multiplica˜o:
1 + 1x+ 1x2 ∈ Q − 1 · (1 + 1x+ 1x2) 6∈ Q
(e) O sistema linear x + 3y = 4, 2x − y = 3, 6x + 4y = 10 na˜o tem soluc¸a˜o. O conjunto Q e´ vazio e
portanto na˜o pode ser um espac¸o vetorial, pois a Condic¸a˜o (4) (existencia do elemento neutro)
na˜o esta´ satisfeita.
5. Prove ou refute que R2 e R3 com as seguintes operac¸o˜es na˜o sa˜o espac¸os vetoriais.
(a)
(
x1
y1
)
+
(
x2
y2
)
=
(
x1 − x2
y1 − y2
)
, r •
(
x
y
)
=
(
rx
ry
)
Cont.
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(b)
x1y1
z1
+
x2y2
z2
 =
00
0
 e r •
xy
z
 =
rxry
rz

Resposta:
(a) Na˜o e´ um espac¸o vetorial, pois a operac¸a˜o + na˜o e´ comutativa (ou seja, Condic¸a˜o (2) na˜o esta´
satisfeita). Por example, se (x1, y1) = (1, 0) e (x2, y2) = (0, 1), enta˜o (1, 0) + (0, 1) = (1,−1) 6=
(−1, 1) = (0, 1) + (1, 0).
(b) Na˜o e´ um espac¸o vetorial, pois segundo a definic¸a˜o das operac¸o˜es + e • encima, temos
(1 + 1) ·
10
0
 =
20
0
 6=
00
0
 =
10
0
+
10
0

6. Diga se os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de M2×2, mostrando que sa˜o fechados ou na˜o em
relac¸a˜o as operac¸o˜es + e •.
(a) O conjunto das matrizes diagonais
{(
a 0
0 b
)
| a, b ∈ R
}
.
(b) O conjunto de matrizes
{(
x x+ y
x+ y y
)
| x, y ∈ R
}
.
Resposta: Ambos conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais, porque ambos sa˜o fechados em relac¸a˜o a + e •.
(a) Para cada a1, b1, a2, b2, c1, c2 ∈ R, temos c1
(
a1 0
0 b1
)
+c2
(
a2 0
0 b2
)
=
(
c1a1 + c2a2 0
0 c1b1 + c2b2
)
.
(b) Para cada x1, y1, x2, y2, c1, c2 ∈ R, temos
c1
(
x1 x1 + y1
x1 + y1 y1
)
+ c2
(
x2 x2 + y2
x2 + y2 y2
)
=
(
c1x1 + c2x2 c1x1 + c2x2 + c1y1 + c2y2
c1x1 + c2x2 + c1y1 + c2y2 c1y1 + c2y2
)
.
7. Cada elemento de um espac¸o vetorial tem um elemento inverso. Pode ter dois ou mais elementos
inversos?
Resposta: Cada elemento de um espac¸o vetorial tem apenas um elemento inverso. A raza˜o e´ a se-
guinte.
Seja V um espaco vetorial e suponhamos que ~v ∈ V . Se ~w1, ~w2 ∈ V forem ambos elementos inversos
de ~v, enta˜o considere ~w1 + ~v + ~w2. Por um lado, temos o vetor e´ igual a ~w1 + (~v + ~w2) = ~w1 +~0 = ~w1.
Por outro lado, e´ igual a (~w1 + ~v) + ~w2 = ~0 + ~w2 = ~w2. Assim ~w1 = ~w2.
8. Seja S o conjunto das soluc¸o˜es de um sistema linear homogeˆneo em n varia´veis. Mostre que S e´ um
subespac¸o de Rn. (Dica: como S e´ um subconjunto de Rn, so´ precisa provar que S e´ fechado em
relac¸a˜o as operac¸o˜es + e • de Rn)
Resposta: Veja a Questa˜o 5 do trabalho de casa #3.
9. (Desafio) SejaR+ = {x > 0 | x ∈ R} o conjunto dos nu´meros reais na˜o negativos. Para todos x, y ∈ R+
e todo c ∈ R, definimos as operac¸o˜es + e • da seguinte maneira: x+ y e´ o produto usual xy, e c • x e´ xc
(x elevado a c). Mostre que R+ com estas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial.
Resposta:
Condic¸a˜o 1: O produto de dois reais positivos e´ um real positivo.
Condic¸a˜o 2: A multiplic¸a˜o entres reais e´ comutativa.
Cont.
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Condic¸a˜o 3: A multiplic¸a˜o entres reais e´ associativa.
Condic¸a˜o 4: O elemento neutro e´ 1 ∈ R+: a multiplic¸a˜o por 1 nao muda um nu´mero.
Condic¸a˜o 5: O reciproco 1/x de cada real positivo x e´ tambe´m um real positivo.
Condic¸a˜o 6: Cada poteˆncia de um real positivo e´ um real positivo.
Condic¸a˜o 7: xr+s = xr · xs.
Condic¸a˜o 8: (xy)r = xryr.
Condic¸a˜o 9: (xr)s = xrs.
Condic¸a˜o 10: x1 = x.
Cont.