Aula 01

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Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Aula 1
OPERAÇÕES BINÁRIAS E GRUPO
Definição
Seja A um conjunto não vazio. 
Uma operação binária interna, fechada em
A é definida como uma aplicação f ou em A. 
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Exemplo 1
Adição no conjunto dos números naturais. 
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Exemplo 2
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Seja a operação binária ∆ definida por: 
a) Vamos mostrar que a operação ∆ é uma operação interna em Z. 
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b)Vamos calcular (-2)∆(5∆3) usando a 
operação ∆
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO BINÁRIA
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 Comutativa
Associativa 
Pode admitir elemento neutro
Pode admitir elemento simetrizável
Pode ser distributiva em relação a uma outra operação.
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
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Definição
Considere um conjunto E não vazio.
Dizemos que um conjunto E tem uma estrutura
algébrica quando definimos em E uma opera-
ção interna *.
Notação: (E,*) 
Classificação das Estruturas Algébricas
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Grupóides
Semigrupos Monóides
Grupos
Classificação das Estruturas Algébricas
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Grupóides → possui apenas a propriedade do fechamento. 
Semigrupos → a operação binária * admite a propriedade associativa.
Monóides → a operação binária * admite a propriedade associativa e a existência do elemento neutro.
grupo → propriedade associativa, elemento neutro e elemento simétrico 
ESTRUTURA DE GRUPO
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Exemplo 
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GRUPOS COMUTATIVOS OU ABELIANOS
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Consideremos um grupo G munido da operação *. 
Se a operação * satisfaz a propriedade comutativa, então podemos dizer que G é um grupo comutativo ou abeliano. 
Exemplo
Verificamos que Z dotado da operação * é
um grupo. Lembrando que a operação * é
definida por 
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G4: Propriedade Comutativa
 
A propriedade comutativa foi verificada.
Conclusão: (Z,*) é um grupo comutativo ou abeliano.
PROPRIEDADES DE UM GRUPO
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Considerando (G,*) um grupo, temos que:
O elemento neutro é único.
O inverso de cada elemento é único.
(a')' = a, para todo a em G.
(a*b)' = b' * a' 
Quaisquer que sejam a e b em G existe um único elemento x de G tal que a*x = b.
Todo elemento de G é regular para a operação *.
DEFINIÇÃO DE ELEMENTOS REGULARES
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Um elemento a de G é regular para a operação * se:
a)3 é regular para a multiplicação e Z, pois 3x = 3y então x = y para todo x e y em Z.
b) 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois 0.2 ≠ 0.3 e 2 ≠ 3.
O conjunto dos elementos regulares de G para a operação * é indicado por 
Fundamentos de Álgebra
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
EXERCÍCIO 1
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Verifique se Z com a operação * definida por 
 é um grupo.
EXERCÍCIO 2
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Seja a operação binária ∆ definida por: 
Determine o valor de x tal que x∆(-4) = 33.