Aula 05

Prévia do material em texto

Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Aula 5
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 
ISOMORFISMOS DE GRUPOS
GRUPOS DE PERMUTAÇÕES
2
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
3
4
Exemplo 1
Exemplo 2
5
6
7
8
Exemplo 
Considere a função f: (Z,+) → (R, +), onde f(x) = 4x + 1.
Quem é o N(f)?
Inicialmente devemos verificar quem é o elemento neutro do contradomínio da função f(x).
Nesse caso o elemento neutro e = 0.
Logo, f(x) = 0, mas quem é a f(x)? A f(x) = 4x + 1, então podemos escrever 4x + 1 = 0.
Temos então que x = -1/4.
Portanto, N(f) = {-1/4}
9
ISOMORFISMO DE GRUPOS
10
Observações:
Dois conjuntos G1 e G2 possuem a mesma cardinalidade. 
 
2. Se um grupo for abeliano, o outro também deverá ser abeliano.
3. Se determinado tipo de equação tem solução em um deles, então uma equação equivalente também tem solução no outro.
4. Dois grupos são isomorfos quando possuem a mesma propriedade algébrica
11
Exemplos
Vamos verificar se os grupos G e H são isomorfos .
G = (Z3,+) e H = (Z6,+)
Z3 tem três elementos e Z6 tem 6 elementos. Portanto, não pode existir bijeção entre eles e, daí, G não é isomorfo a H.
 
G = (S3,o) e H = (Z6,+)
S3 é um grupo não abeliano com 6 elementos e Z6 é abeliano com 6 elementos. Portanto, G não é isomorfo a H.
 
G = (R*,.) e H = (R,+)
H a equação x + x = -1 tem solução x = -1/2. Em G, uma equação equivalente a essa seria x.x = -1 que não tem solução em R*. Portanto, G não é isomorfo a H.
 
G = (Z,+) e H = (R,+)
Z é um conjunto enumerável, enquanto que R é não enumerável. Logo, não pode existir bijeção entre eles. Portanto, G não é isomorfo a H.
12
GRUPO DAS PERMUTAÇÕES 
13
Exemplo
14
GRUPOS DE ROTAÇÕES
Seja um polígono regular com n lados e {1,2,3, ...,n}, n ≥ 3 o conjunto dos vértices. As rotações ocorrem no plano em torno da origem, no sentido anti-horário. Cada rotação de um ângulo procura manter o polígono invariante. 
Definição
O grupo (Rn , o) é chamado grupo de rotações de um polígono regular de n lados.
15
16
Fundamentos de Álgebra
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
EXERCÍCIO
18