Aula 09

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Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Aula 9
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Objetivos
Objetivo 1 – Conhecer a definição de corpo. 
Objetivo 2 – Compreender que todo corpo é um anel de integridade ou domínio.
Objetivo 3 - Conhecer o corpo das frações.
Objetivo 4 – Conhecer os elementos de um anel e sua importância na realização de operações no anel. 
Objetivo 5 – Conhecer a definição de elementos inversíveis, regulares, idempotentes e nilpotentes.
Objetivo 6 – Conhecer o conceito de divisibilidade em anéis. 
CORPO 
Definição
Um Corpo é um anel comutativo com 
unidade que chamaremos de K. Este anel é 
denominado corpo se todo elemento não 
nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou
 seja, 
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EXEMPLOS
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EXEMPLO
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Portanto, A = (Q, +, *) é um corpo.
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Proposição 1
Se K é corpo, então K é anel de integridade.
 
Demonstração 
Seja K um corpo e x e y elementos de K tal que xy = 0. Se K é um corpo, então K é um anel comutativo com unidade. Assim, para provar que K é um anel de integridade basta verificarmos que K não tem divisores de zero, isto é, basta verificar o axioma que diz que se x, y são dois elementos do anel A e xy = 0, então x = 0 ou y = 0. 
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Proposição 1
Se K é corpo, então K é anel de integridade.
 
Podemos provar por absurdo. Veja:
 
Por hipótese, temos x e y elemento de K e
xy = 0.
Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. 
Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
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Definição 
 
Seja K um corpo. Um subanel B de K é um subcorpo de A , quando B é subanel unitário e corpo.
K sendo um corpo, B está contido em K e B é corpo com as operações usuais de K, então B é um subcorpo de B.
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EXEMPLO
ELEMENTOS NOTÁVEIS NUM ANEL
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Em Z4 = {0,1,2,3} veja que U(Z4) = {1,3}.
De fato:
3-1 = 3, pois 3.3 = 9 e 9 dividido por 4 deixa resto 1
1-1 =1. 
EXEMPLO
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Definição 
 
Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação. Dizemos que dado um x em A ele é elemento
 
i) Divisor de zero
Isso ocorre quando x ≠ 0 e existe y em A - {0} tal que xy = 0 ou yx = 0
 
notação: Ddz(A) Conjuntos dos divisores de zero do anel A.
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EXEMPLO
Seja o anel Z4 temos que:
Ddz(Z4 ) = {2}
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ii) Regular
Isso ocorre quando x ≠ 0 e x não é divisor de zero.
notação: Reg(A) Conjuntos dos elementos regulares do anel A.
Aqui estamos dizendo que não existe y em A, y ≠ 0 tal que xy =0 ou yx = 0. Também podemos dizer que se x é um elemento de A, e x ≠ 0 ele é regular quando xy ≠ 0 e yx ≠ 0. 
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EXEMPLO
Seja o anel Z4 temos que:
Reg(Z4 ) = {1,3}
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iii) Idempotente
Quando um elemento x do anel A, x2 = x.
notação: Idemp(A) Conjuntos dos elementos idempotentes do anel A.
 Exemplo
Seja o anel Z6.
Temos que (1)2 = 1, (3)2 = 3, (4)2 = 4
Logo, Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
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iv) Nilpotente
Quando existe um número natural n, N - {0}, tal que xn = 0.
notação: Nilp(A) Conjuntos dos elementos nilpotentes do anel A.
 
Exemplo
Seja o anel Z8.
Temos que (0)2 = 0, (2)3 = 0, (4)2 = 0, (6)2 = 0 
Logo, Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
Fundamentos de Álgebra
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
EXERCÍCIO
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No corpo Z11 resolva a equação x3 = x.
 
Solução:
O fato de Z11 ser um corpo nos permite o uso das propriedades da adição e da multiplicação. Assim, podemos escrever a equação x3 = x do seguinte modo:
x3 = x → x3 - x = 0 → x(x2 - 1) = 0 →x(x -1)(x + 1) = 0.
Como Z11 é um anel de integridade, temos que:
x = 0 ou x - 1 = 0 ou x + 1 = 0
Logo, x = 0, x = 1 e x = -1 = 10 
Portanto, S = {0,1,10}