CONTEUDO INTERATIVO AULA 3

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- Fundamentos da álgebra 
Aula 3- Subgrupos e Grupos Cíclicos
 *Subgrupos
Vamos iniciar esta aula conhecendo a definição de Subgrupos. Veja:
Seja G um grupo e 𝐻⊆𝐺 um subconjunto não vazio de G. Diremos que H é um subgrupo de G quando a operação de G, restrita a H, também for um grupo. 
Notação: 𝐻≤𝐺
Sendo assim, H é um subgrupo de G se, e somente se,
I - ∀h1,h2 ∈ 𝐻, temos h1 h2 ∈ 𝐻 (Lei do fechamento).
II - ∀h1,h2,h3 ∈ 𝐻, temos h1 (h2h3 )=(h1h2 ) h3 (Propriedade associativa)
III - ∃eh ∈ 𝐻, tal que eh h = heh = h, ∀h ∈ 𝐻, (Elemento neutro).
IV - ∀h∈𝐻, ∃h′∈𝐻, tal que hh′=h′h=eh (Elemento simétrico).
Atenção !
1. Podemos usar, simplesmente, h1h2 no lugar de h1 * h2 .
2. O elemento neutro eh ∈ 𝐻 deve ser igual ao neutro de G.
Vamos considerar 𝑒_ℎ o elemento neutro de H e e o elemento neutro de G.
Note que, dado h∈𝐻⊆𝐺, temos eh h=h, . Multiplicando essa igualdade à direita por h-1 encontraremos ehhh-1 = hh-1 = e ⇒eh = e
3. O elemento simétrico de h∈𝐻 é o mesmo simétrico de h em G.
Note que h′ é o simétrico de h em G, temos hh′=e. Como eh=e em (2) podemos escrever que hh′=hh´𝐺, em que h'G é o elemento simétrico de G. Multiplicando essa igualdade por h', teremos h´hh´G ⇒ h′=h´G.
4. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: G e {e}. Eles são chamados de subgrupos triviais de G.
Subgrupos e proposições
Como analisar todas as propriedades que vimos anteriormente é muito trabalhoso, destacamos as principais proposições sobre os subgrupos por meio das quais poderemos verificar, de maneira mais simples, que H é um subgrupo do grupo G. Observe:
Preposição 1 :
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então, H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades:
a) ∀h1, h2 ∈ 𝐻, temos h1 h2 ∈ 𝐻;
b) ∀h∈𝐻, ∃h′ ∈ 𝐻, tal que h′∈ 𝐻.
Demonstração:
Nesta demonstração, provaremos a ida e a volta da proposição:
(Ida)
Suponhamos H um subgrupo de G.
Da definição (I), segue (a) ∀h1,h2∈𝐻, temos h1 h2∈𝐻 
Seja h∈𝐻. Da definição (IV) e da observação (3), que diz que o elemento simétrico de h∈𝐻 é o mesmo simétrico de h em G, podemos concluir que h′∈𝐻. Assim, fica verificada a propriedade (b).
Para visualizar alguns exemplos de subgrupos encontrados na literatura, clique no botão ao lado: arquivo em pdf 
(Volta)
Suponhamos válidas as propriedades (a) e (b). Então, a propriedade 
(I) é verificada por (a). 
(II) é válida em H, pois em G vale a propriedade associativa. 
(III) Por (b), ∀h∈𝐻, ∃h′∈𝐻, tal que h′∈𝐻 e por (a), hh′∈𝐻⇒hh′=𝑒∈𝐻 
(IV) De (b), h∈𝐻, h′∈𝐻 𝑒 hh′=h′h=𝑒
Potências de um grupo
Após conhecer a definição de subgrupos e as suas proposições, vamos definir as potências de um grupo. Observe:
Seja G um grupo com uma operação * . Vamos considerar e o elemento neutro do grupo G, a um elemento de G e m um inteiro qualquer. Vamos definir a potência de base a e expoente m, denotada por am, como sendo o elemento do grupo G definido por:
am= 
ATENÇÃO :A definição de potência de um elemento se aplica aos grupos multiplicativos.
Sendo (G,* ) um grupo onde o elemento neutro é "e" podemos dizer que
a 1 =a0* a = e *a = a
a 2 =a1* a =a *a 
a 3 =a2* a = (a *a) * a
a -2 =(a2 )-1=( a*a)-1 = a-1 *a-1 
a -3 =a-1* a-1 *a-1 
Para visualizar alguns exemplos de potências de grupo, clique no botão ao lado:pdf
Potência de uma operação
Agora vamos definir potência de uma operação. observe:
Seja (G,*) um grupo e a um elemento de G. Definimos a n=a*a*a*.n vezes...*a
Veja alguns exemplos:
1 - Considere o grupo (Z,+) e a = 4.
a2 = 42 = 4 + 4 = 8 , veja que a potência é da operação adição.
2- Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4.
a2 = 42 = 4 + 4 = 8 = 2 (resto)
Potências do elemento 2 no conjunto (Z8,+)
Agora, observe todas as potências do elemento 2 no conjunto (Z8,+):
a = 2
21 = 2
22 = 2 + 2 = 4
23 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6
24 = 23 + 2 = 6 + 2 = 8 = 0
25 = 24 + 2 = 0 + 2 = 2
Atenção 
Veja que {2,4,6,0} é um subconjunto de Z8 obtido a partir das potências de 2. Vamos chamá-lo de H = {2,4,6,0}. Assim, podemos dizer que H é um subgrupo gerado por 2. Denotamos por H = [2] ou H = 〈2〉 .
Subgrupo gerado por elementos
A partir da definição de potência no elemento 2, podemos apresentar a definição de subgrupo gerado por elementos. Veja:
Seja G um grupo e a um elemento de G. Denominamos subgrupo gerado por a o conjunto de todas as potências inteiras de a, isto é: 
〈𝑎〉={…,𝑎−2,𝑎−1,𝑎0,𝑎1,𝑎2,…}, em que a0 = eG (elemento neutro do grupo G para todo elemento a de G).
〈𝑎〉→ representa o subgrupo gerado por a, e a é dito gerador do subgrupo.
Para visualizar alguns exemplos de subgrupo gerado por elementos, clique no botão ao lado: PDF
Grupo Cíclico
Podemos definir Grupo Cíclico como sendo um grupo que coincide com um subgrupo gerado por seus elementos. Veja: Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo cíclico se existe um elemento a de G, tal que o grupo G coincide como subgrupo gerado pelos elementos de a.
Se G é grupo cíclico, então, ∃𝑎∈𝐺,   𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 G=〈𝑎〉={𝑥=𝑎𝑚; 𝑚∈𝑍} 
Podemos usar as seguintes notações: G = [a] ou G = 〈𝑎〉
Veja alguns exemplos:
1 – O grupo multiplicativo G = {1, -1} é cíclico, pois [-1] = {(-1)m / m ∈ Z} = {1,-1} = G.
2- O grupo multiplicativo G = {1, -1} é cíclico, pois [-1] = {(-1)m / m ∈ Z} = {1,-1} = G.
3 – O grupo multiplicativo dos números reais positivos não é cíclico, pois não é possível encontrar um número real positivo em que as potências gerem todo o grupo.
4 - Se G for um grupo aditivo, então usaremos o conceito de múltiplo no lugar de potência de um elemento. G será cíclico quando existir um elemento a em G tal que 𝐺=[𝑎]={𝑘𝑎; 𝑘∈𝑍}. Por exemplo, o grupo (Z, +) é cíclico, pois Z = [1].
Separamos algumas proposições sobre Grupo Cíclico, para visualizá-las clique no botão ao lado: PDF
ATIVIDADES
01 – Considere , no Grupo (Z7,*), o elemento a= . Determine a3.
Resposta = 
02 – Considere , no Grupo (Z7,*), o elemento a= . Determine a3.
Resposta = 
03- Seja G um grupo multiplicativo GL2 (R) e considerando o Elemento a= ϵ G. Determine a-1 
Resposta : 
4 - Considerando o grupo (Z, +), determine 2-4
Resposta: -8
5 - Considerando o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2.
Resposta: 4
6 - Considere o grupo (Z10, +). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4.
Resposta : [4]= {2,4,6,8,0}
7 – Considere o Grupo (Z6,+)e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2.
O(2)=3
- Caderno de exercícios 
01- Mostre que G é abeliano se, e somente se, Z(G) = G.
02-Verifique se H = { a+ b ϵ R* / a, b ϵ Q} ≠ é um subgrupo de G= ( R*,.).
03- Seja GL(2,R) = .Verifique se o subconjunto D={ /a ϵ R e a a≠0} é subgrupo de GL(2,R).
04- Considere o grupo (Z10, +). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 2.
05- Mostre que a interseção de uma família de subgrupos é um subgrupo. Se {𝐻𝛼 }, 𝛼∈𝐴 é uma família qualquer de subgrupos de G, então, ∩aϵA{Ha}˂G.
06- Verifique se o subconjunto H = {0,2,4} é um subgrupo de (Z5, +).
07 – Verifique se H = {𝑥∈𝑄∕𝑥<0} é um subgrupo de 𝐺=(𝑅∗,⋅) .
08- Verifique se H = {7 𝑥∕𝑥∈𝑍} é um subgrupo de 𝐺=(𝑍,+) .
09-Verifique se H={a+ b ϵ R*/ a, b ϵ Q} Verifique se H = {7 𝑥∕𝑥∈𝑍} é um subgrupo de 𝐺=(R*,+) .
Gabarito PDF