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Fundamentos da álgebra
Aula 02 – TABUA DE UM GRUPO FINITO
Nesta aula, veremos que a Teoria dos Grupos também pode ser estudada através da tábua de operações. Na tábua, iremos trabalhar com os grupos finitos. Sendo assim, analisaremos todos os axiomas (associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento simétrico) que caracterizam um grupo através da tábua de operação. Veremos, também, como identificar a presença de elementos regulares na tábua de operação. Por último, estudaremos as operações de adição e multiplicação no conjunto Zm e sua representação na tábua de operação.
Definição de Tábua de um grupo finito
Vamos iniciar esta aula conhecendo a definição de Tábua de um grupo finito. Veja:
Seja G = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos, em que n ≥ 1. Considere uma operação * sobre G.
*: G XG → G
(ai , aj) → ai * aj = aij
O elemento aij pode ser representado numa tábua de dupla entrada, que também pode ser chamada de tabela de Cayley. Essa tábua deve ser lida, primeiramente, pela linha e, em seguida, pela coluna. Observe na figura, a seguir, como construir a tábua:
	 Linha Fundamental (Inicialmente, devemos colocar os 
 elementos do conjunto G na primeira linha da tábua, 
 chamada de linha fundamental)
 Observe que o elemento aij foi encontrado pela interseção 
 da i-ésima linha com a j-ésima coluna, ou seja, na linha, 
 pegamos um elemento ai e, na coluna, um elemento aj.
Coluna Fundamental (Depois, colocar esses 
mesmos elementos também na coluna,
 chamada de coluna fundamental.)
Tábua de operação de um grupo finito
Agora, vamos analisar a tábua de operação de um grupo finito. Seja G = {a1, a2, a3, ..., an} um grupo finito de ordem n, e a operação * . Neste caso, a tábua com a operação * é chamada de Tábua do grupo G. Porém, para determinarmos que uma tábua de operação é a tábua de um grupo finito, precisamos verificar se os axiomas G1, G2 e G3 são satisfeitos. Veja:
ATENÇÃO! Os axiomas são: G1: Propriedade Associativa G2: Existência do Elemento Neutro G3: Existência do Elemento simétrico para cada elemento de G
G1: Propriedade Associativa x,y,z ϵ G, tem – se (x*y)*z =x*(y*z) Não existe uma regra prática para determinarmos quando uma operação *; é associativa através da tábua. Observe que precisamos calcular e comparar todos os compostos (ai*aj)*ak e ai*(aj*ak), para i, j, k = 1,2,...,n. Em outras palavras, devemos determinar 2n3 compostos de três termos cada um. Seja G = {a1, a2, a3, a4}. Esse conjunto possui 4 elementos, n = 4. Neste caso, teríamos que calcular 2. (4)3 = 128 compostos com 3 termos cada um. 
G2: Existência do Elemento Neutro Na tábua, a existência do elemento neutro é verificada da seguinte forma: A operação ∗ tem neutro se existir um elemento cujas linha e coluna são, respectivamente, iguais à linha e à coluna fundamentais. Ou seja: 
 
 
G3 - Existência dos Elementos simetrizáveis
xϵ G, ⱻ x’ ϵ G , tal que x *x’ = e = x’ * x
Devemos observar que um elemento ai ∈ G é simetrizável para a operação *, com elemento neutro e, quando ∃aj ∈ G, tal que ai * aj = e = aj * ai.
	ai * aj = e = aj * ai
	A linha de ai na tábua deve apresentar ao menos um composto igual a e (elemento neutro).
	
	A coluna de ai na tábua deve apresentar ao menos um composto igual a e (elemento neutro).
	aij = e = a
Exemplo de G3 - Existência dos Elementos simetrizáveis
Vamos considerar a tábua a seguir com uma operação * .
Elemento neutro: 0
Elementos simetrizáveis: 0, 1, 2, 3 Veja:
0 * 0 = 0
1* 3 = 0 = 3 *1
2 * 2 = 0
G4 - Propriedade Comutativa
Podemos verificar, também, através da tábua de operação, a propriedade G4, que define o grupo como sendo um grupo abeliano ou comutativo. Observe:
G4 - Propriedade Comutativa: k, tem-se x * y = y * x
Na tábua, verificamos se ai * aj = aj * ai, ∀i, j ∈ {1,2,...,n}. Considerando a diagonal principal, observamos que os elementos aij e aji estão em posição simétrica em relação à diagonal principal, eles são iguais. Veja:
Operações no conjunto Zm e sua representação na tábua de operação
O conjunto Zm pode ser representado na tábua de operação. Veja sua definição:
Seja m ≥ 1 um número inteiro. Considere o conjunto quociente Zm de Z pela congruência módulo m.
Zm={}
em que r indica a classe de restos módulo m determinado pelo inteiro r ( 0 ≤ r ≤ m - 1 ).
Veja alguns exemplos:
Z2={} Z3={}
ATENÇÃO!
Quando estamos trabalhando em Zm, podemos omitir as barras.
Adição no conjunto Zm
No conjunto Zm podemos definir a operação de adição da seguinte maneira:
+ : Zm X Zm →Zm
() → = 
Zm com a operação de adição (+) é um grupo comutativo.
Definição da operação de multiplicação em Zm
A multiplicação também pode ser definida no conjunto Zm. Veja:
+ : Zm X Zm →Zm
() → = 
Exemplo : 
Vamos calcular a soma considerando Z10.
 = = = = 
Atenção !
Em geral,   = não é um grupo, pois, excluindo o elemento 0 de Zm, não temos como garantir que o conjunto restante seja um grupo multiplicativo. Isso vai ocorrer se a proposição seguinte for verificada.
Proposição da operação de multiplicação em Zm
Atenção! (Z*m, · ) é um grupo se, e somente se, m for um número primo (m > 1).
Essa proposição diz que, quando m é um número primo, a multiplicação módulo m (quando restrita aos elementos de Z*m), faz com que ele seja um grupo. Basta verificar que ∀a ∈ Z*m, a não é múltiplo de m, e mdc(a,m) = 1. 
Isso nos faz concluir que, como a não é nulo, ele admite simétrico multiplicativo em Z*m. 
Assim, (Z*m, · ) é um grupo multiplicativo das classes de resto módulo m. 
ATIVIDADE PROPOSTA
 
R - 3R – s = {[]}
Questão 3 -Considere o conjunto (Z8, +). Calcule a solução da equação x + 5 = 3.
R - 6
R - 
Caderno de atividades
	
	Questão 04 Sejam f1, f2, f3, f4 funções reais definidas de R em R da seguinte maneira:
G = {f1, f2, f3, f4} é um grupo com a operação composição de funções. Considerando a tábua a seguir, determine:
	 Questão 02 
Considere o conjunto V = {f1, f2, f3, f4}. Verifique, através da tábua de operação, se (V,o) é um grupo com a operação composição de funções. Se for um grupo, então verifique se é um grupo abeliano.
	
	
Questão 03 Construa a tábua da operação ∗ sobre o conjunto G = {e, f, g, h}, considerando as seguintes informações:
a) f é o elemento neutro.
b) O simétrico de e é e.
c) O simétrico de g é h.
d) e ∗ g = h.
e) Todos os elementos de G são regulares.
	Questão 05 - Mostre que (Zm,+) é um grupo comutativo.
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Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos:
As dificuldades de graduandos em Matemática na compreensão de conceitos que envolvem o estudo da estrutura algébrica grupo. Disponível aqui.
Estruturas de Grupos Finitos. Disponível aqui.