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Fundamentos da álgebra
Aula10 – ANÉIS: HOMORMOFISMOS, ISOMORFISMO E IDEIAS.
Ideais de um anel
O estudo sobre os ideais de um anel foi desenvolvido por Dedekind no final do século XIX. Esse estudo nos ajuda na construção dos anéis quocientes. Observe um exemplo:
Seja um anel A e um subconjunto não vazio B do anel A. De acordo com o nosso estudo sobre os subanéis, temos que B será um subanel de A se forem satisfeitas as seguintes condições:
x,y ϵB , temos x – y ϵB
x,y ϵ B, temos xy ϵB
A partir de agora, veremos que os ideais são subconjuntos de um anel que satisfazem as condições acima. Portanto, podemos dizer que eles são subanéis.
Definição de ideais de um anel
Podemos definir os ideais de um anel de duas maneiras, veja:
	
Definição ( Ideal à esquerda)
	Seja o anel (A, +, .) e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal à esquerda de A quando :
a)x,yϵ I x – y ϵ I
b) a ϵ A e xϵ I ax ϵ I
	
Definição
( Ideal à direita)
	Seja o anel (A, +, .) e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal à direita de A quando :
a)x,yϵ I x – y ϵ I
b) a ϵ A e xϵ I xa ϵ I 
Portanto, dado um anel (A, +, .) e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal de A quando I é ideal à esquerda e à direita de A.
Sendo assim, para verificarmos se um subanel é um ideal de um anel, é necessário analisarmos as duas definições, isto é, devemos verificar se o subanel é ideal à direita e à esquerda. Quando tratamos de um anel comutativo, as definições se coincidem, assim basta analisar:
a)x,yϵ I x – y ϵ I b) a ϵ A e xϵ I ax ϵ I
Atenção ! Para todo anel A , temos que A e {0} são ideais de A. Eles são chamados de ideais triviais de um anel .
Veja alguns exemplos de ideais de um anel:
	1 Considere um anel (Z, +, .) e I = 2Z (conjunto dos números pares)
Veja que:
Se 𝑥,𝑦∈𝐼, então, podemos definir dois elementos de I da seguinte forma: x = 2m e y = 2n, onde m e n são elementos de Z. Agora, temos que:
a) x – y = 2m -2n =2( m – n ) ϵ I
b)Se a ϵ A então ax = a(2m) ϵ I
Logo, fica verificado que 2Z é um ideal no anel Z.
	2 Vamos considerar o anel Z3. Seja:
0.Z3 = 0.{0,1,2} = {0} 
1.Z3 = 1.{0,1,2} = {0,1,2} = Z3
2.Z3 = 2.{0,1,2} = {0,1,2} = Z3
Os ideais do anel Z3 são 0.Z3, 1.Z3 = 2.Z3 = Z3
Resultados dos ideais de um anel Observe, agora, alguns resultados dos ideais de um anel, expressos através das seguintes proposições:
	PROPOSIÇÃO 01 
Seja I um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I = A.
Demonstração
Por hipótese, temos que I é um ideal do anel A com unidade, e I contém um elemento inversível de A. Vamos considerar que I é um ideal à direita de A. Por definição, sabemos que I ⊆ A (1).
Seja x um elemento de A. Pela hipótese, existe um elemento y em I, tal que y-1 está em A. Como I é ideal à direita de A, y ∈ I e y-1 x ∈ A. Logo, x pode ser escrito como x = y(y-1x) ∈ I. Portanto, pela teoria dos conjuntos, temos que A ⊆ I (2). De (1) e (2), concluímos que I = A.
Atenção !
A partir desse resultado, podemos dizer que um corpo só possui ideais triviais. Veja que, se I é um ideal do corpo K, então, existe um elemento x em I e como K é um corpo, temos que x-1 é um elemento de K. Logo, I possui um elemento inversível de K. Pelo resultado anterior, podemos dizer que I = K. Isso nos leva a concluir que K possui apenas ideais triviais, I = K e I = {0}.
	PROPOSIÇÃO 02 
Se A é um anel e x um elemento de A, então:
Ax = {ax/ a ∈ A} – ideal à esquerda de A.
xA = {xa/ a ∈ A} - ideal à direita de A.
Essa proposição nos diz que podemos gerar ideais de qualquer anel. Isso ocorre quando consideramos os múltiplos de um elemento fixado no anel.
Ideal Principal
A partir da proposição 2, que vimos anteriormente, podemos apresentar a próxima definição que nos fala sobre ideal principal. Veja: Seja A um anel comutativo com unidade e x um elemento de A. Podemos definir: O ideal à esquerda Ax é chamado ideal principal à esquerda de A gerado por x. O ideal à direita xA é chamado de ideal principal à direita de A gerado por x. Podemos usar a notação I(a) = {ax/x ∈ A}, nesse caso, I(a) é um ideal de A chamado ideal principal gerado por a. 
Atenção !
1 - Podemos ter um ideal gerado por dois elementos a e b. Vejamos a definição:
Seja A um anel comutativo com unidade. Considerando dois elementos a e b de A, podemos definir o conjunto I(a,b) = {ax + by/x,y ∈ A} como sendo um ideal do anel A gerado pelos elementos a e b.
2 - Um anel de integridade no qual todos os ideais são principais é denominado anel principal. 
Exemplo: Z é um anel principal. 
3 - O anel comutativo A é anel principal quando todo ideal de A é ideal principal.
Exemplo: 
Vamos considerar o anel Z4. Seja:
0.Z4 = {0} 
1.Z4 = {0,1,2,3} 
2.Z4 = {0,2} 
3.Z4 = {0,1,2,3} 
Todos são ideais do anel Z4. Esses ideais são todos principais. Assim, podemos dizer que Z4 é um anel principal, de acordo com a definição 6.
Para entender melhor essa definição, observe os exemplos a seguir:
	1 O conjunto dos números pares é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2, ou seja, 
I(2) = {2x / x ∈ Z} = 2Z
I(1) = {1x / x ∈ Z} = Z
I(-1) = {(-1)x / x ∈ Z} = Z
	2 Agora, vamos pensar em um anel A que não tem unidade.
Seja A = 2Z = {2x / x ∈ Z}. Vejamos o ideal gerado por 2.
Temos 2A = 2.(2Z) = 4Z, que é formado pelos múltiplos de 4. 
Observe que o ideal gerado pelo elemento 2 não contém o elemento 2.
	3 Considerando 2 e 5 elementos do anel Z, podemos apresentar o ideal de Z gerado por 2 e 5 do seguinte modo:
I(2,5) = {2x + 3y/x,y ∈ Z}
Resultados do Ideal Principal Observe, agora, alguns resultados do ideal principal de um anel, expressos através das seguintes proposições:
	Proposição 3
Seja I um subconjunto não vazio de nZ. São equivalentes:
i) I = m.(nZ) = {mnx, x em Z} para m em N.
ii) I é ideal de nZ
iii) I é subanel de nZ.
Esse resultado mostra que nZ é um ideal principal e que, em nZ, os conceitos de subanel e ideal são os mesmos.
	Proposição 4
Se I e J são ideais de um anel A, então
i) I ∩ Jé um ideal de A , I ∩ J = { xϵA/xϵ I e xϵ J}
ii) I + J é um ideal de A,I +J= { x + y ϵ A / x ϵ I e y ϵ J}
	Proposição 5
Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d.
Ideal primo e Ideal maximal Os ideais de um anel podem ser, também, primos e maximais. Veja a definição de cada um, a seguir:
Ideal primoSeja o anel comutativo A e P um ideal de A. Podemos dizer que P é ideal primo de A quando P ≠ A e ∀𝑥,𝑦∈𝐴, 𝑥𝑦∈𝑃⇒𝑥∈𝑃 𝑜𝑢 𝑦∈𝑃. Veja um exemplo: Vamos analisar o anel Z. Considere P = 3Z. Usando a definição dada, temos que:
 ∀𝑥,𝑦∈𝑍, 𝑥𝑦∈𝑃, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥𝑦∈3𝑍⇒3|(𝑥𝑦)⇒3|𝑥 𝑜𝑢 3|𝑦⇒𝑥∈𝑃 𝑜𝑢 𝑦∈𝑃
Portanto, P é um ideal primo. Agora, veja que o ideal I = 6Z não é um ideal primo, pois, considerando x = 2 e y = 3 dois elementos de Z, notamos que xy = 2.3 = 6, que é um elemento de I, mas 2 e 3 não são elementos de I. Assim, podemos dizer que pZ é um ideal primo de Z se, e somente se, p é primo.
Ideal maximal Seja o anel comutativo A e M um ideal de A. Podemos dizer que M é ideal maximal de A quando M ≠ A e quando o único ideal que contém M, e é diferente dele, é o próprio anel A, ou seja I = M ou I = A.
Veja um exemplo: Seja: A = Z e M = 2Z.
Se I for um ideal diferente de M e que contém o M, então, contém algum número ímpar da forma x = 2n + 1 em I. Como 2n é um elemento de M, temos que 1 = (x - 2n) está em I, o que nos leva à conclusão de que I = A. Portanto, M é ideal maximal. 
Anel Quociente
Vamos, agora, observar que cada ideal de um anel A define uma relação de equivalência em A. Chamaremos o conjunto das classes de equivalência de um anel de anel quociente. Assim, podemos definir anel quociente da seguinte forma:
Inicialmente, tomamos que I é um ideal de um anel comutativo A no qual é válida a relação de equivalência: x ~ y se, e somente se, x - y está em I, para todo x e y em A. Nesse caso, denotamos A/~ como o conjunto formado por todas as classes de equivalência da relação ~. Também podemos denotar por A/I. Assim, temos por definição de anel quociente: Seja I um ideal de um anel comutativo A. O anel quociente de A por I é o conjunto A/I = {x + I/x é um elemento de A} com as operações de adição e multiplicação definidas por: Adição (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, para todo x e y em A. Multiplicação (x + I) (y + I) = (xy) + I, para todo x e y em A.
Homomorfismos de anéis Já estudamos os homomorfismos de grupos e definimos uma operação que preserva a estrutura do grupo. Agora, vamos definir duas operações, que são: Núcleo do homomorfismo e Imagem do homomorfismo. Mas antes, vamos relembrar a definição de homomorfismos de anéis, veja:
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis, e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, forem válidas as seguintes condições: 𝑎) 𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) 𝑏) 𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)
	1 Seja f: A→ B tal que f(a) = 0
Para a,b ϵ A, temos:
f(a+b)= f(a) +f(b)=0 + 0= 0 
f(ab)= f(a).f(b) = 0.0 = 0
Logo, f é um homomorfismo de anel (Esse homomorfismo é conhecido como homomorfismo nulo).
	2 Seja f: Z →Ztal que f(x) = - x 
Para x, y ϵ Z, temos:
f(x+y) = - (x+ y ) = (-x)+(-y) = f(x)+f(y)
f(xy) = - (xy)
f(x).f(y) = (-x).(-y) = xy
f(xy)≠ f(x).f(y)
Logo, f não é um homomorfismo de anel.
Para entender melhor essa definição, vamos analisar, em alguns exemplos, a existência ou não de homomorfismo de anel. Observe:
Núcleo do homomorfismo e Imagem do homomorfismo Agora vamos conhecer as definições de Núcleo do homomorfismo e Imagem do homomorfismo:
	Núcleo do homomorfismo
Seja 𝑓:𝐴→𝐵 um homomorfismo de anéis. Definimos núcleo ou kernel do homomorfismo f, que é formado pelos elementos de A cuja imagem por f é igual ao zero do anel B. 
Lembrando que podemos indicar o núcleo por N(f) ou Ker(f).
N(f) = Ker(f) = {x ∈ A/ f(x) = 0B}
	Imagem do homomorfismo
Seja 𝑓:𝐴→𝐵 um homomorfismo de anéis. A imagem do homomorfismo f é a imagem da função f. 
Im(f) = {f(x) / x ∈ A}
Determinando o núcleo e a imagem do homomorfismo Como podemos determinar o núcleo e a imagem do homomorfismo? Vamos aprender através dos exemplos a seguir:
	1 Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x.
Veja que, nesse caso, o N(f) = {0} e a Im(f) = A
	2 Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(a) = 0.
Veja que, nesse caso, o N(f) = a e a Im(f) = {0}
	3 Seja A um anel e f uma função definida de Z em R onde f(x) = x.
Veja que, nesse caso, o N(f) = {0} e a Im(f) = Z
Agora, vamos exercitar os seus conhecimentos. Observe os homomorfismos, a seguir, e determine o núcleo e a imagem:
Propriedade dos homomorfismos Veja alguns resultados importantes sobre os homomorfismos de anéis:
	Proposição 01
Seja f: A → B um homomorfismo do anel A no anel B. Então:
i) f(0A) = 0B, ou seja, todo homomorfismo de anéis leva elemento neutro em elemento neutro.
ii) f(- a) = - f(a), para todo elemento a em A.
iii) f(a - b) = f(a) - f(b), para todo elemento a e b em A.
iv) Seja A um anel com unidade 1A, e f uma função sobrejetora, o mesmo ocorre com o anel B e a unidade do anel B será 1B = f(1A).
vi) Seja A um anel com unidade, f uma função sobrejetora e x invertível com relação à multiplicação, então, f(x)também é invertível e f(x-1) = [f(x)]-1.
	Proposição 02
Seja f: A → B um homomorfismo do anel A no anel B. Então:
i) Se S é um subanel de A, então, f(S) é subanel de B.
ii) Se I é ideal de A, então f(I) é ideal de f(A) = Im(f).
	Proposição 03
Seja f: A → B um homomorfismo do anel A no anel B. Então:
i) Im(f) é subanel de B.
ii) N(f) é ideal de A.
Epimorfismo e Monomorfismo Os homomorfismos podem ser classificados em: Epimorfismo e Monomorfismo. Veja a definição de cada um:
	Epimorfismo
	Seja f: A → B um homomorfismo do anel A no anel B. Podemos dizer que f é um epimorfismo quando f é sobrejetora, ou seja, Im(f) = B.
	Monomorfismo
	Seja f: A → B um homomorfismo do anel A no anel B. Podemos dizer que f é um monomorfismo quando f é injetora, ou seja, f(x) = f(y) implica x = y.
Isomorfismos de anéis Quando a f é monomorfismo e epimorfismo, dizemos que f apresenta um homomorfismo bijetor, que também é chamado de isomorfismo. Este será o nosso próximo assunto. Definimos os isomorfismos de anéis da seguinte maneira: 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B, que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que, quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. Notação: A e B são isomorfos, e usaremos a notação A ≈ B
Atenção ! Note que, se existe um isomorfismo de anéis f: A → B, então, f-1: B → A é um isomorfismo. Isso significa que uma propriedade é transportada através do isomorfismo de A para B, e o mesmo ocorre de B para A.
Veja alguns exemplos de isomorfismos de anéis:
	I Seja a função definida de  f:Z[ ]→Z[ ], onde f( a + b = a - b É um isomorfismo, pois é bijetor.
	II Seja A={ /M2(R)} Neste exemplo, não temos um isomorfismo. Sendo f: R→B, veja que a Im(f) ={f(a)/a ϵ R} ={ /M2(R)}
Veja que a Im (f)≠ B, a f Não é sobrejetora. Portanto, não temos um isomorfismo.
Agora, veja alguns resultados importantes sobre os isomorfismos de anéis apresentados por meio das proposições a seguir:
	PROPOSIÇÃO 04 
Se f: A → B é um isomorfismo de anéis, então f-1: B → A é um isomorfismo de anéis.
Demonstração:
Já é do nosso conhecimento que a função inversa f-1 é bijetora. Então, vamos mostrar apenas que ela é um homomorfismo de anéis.
Vamos considerar x e y dois elementos de B. Como a função é sobrejetora podemos definir f(a) = x e f(b) = y, Assim, temos que f-1(x) = a e f-1(y) = b.
Como f é um homomorfismo podemos escrever que 
f-1 (x + y) = f-1 (f(a) + f(b)) = f-1 (f(a + b)) = a + b = f-1(x) + f-1(y).
f-1 (xy) = f-1 (f(a)f(b)) = f-1 (f(ab)) = ab = f-1(x)f-1(y).
Assim, fica provado que f-1: B → A é um isomorfismo de anéis.
	PROPOSIÇÃO 05
Seja f: A → B um isomorfismo de anéis. Então:
i) A tem unidade ⇔ B tem unidade.
ii) A é comutativo ⇔ B é comutativo.
iii) A não tem divisores de zero ⇔ B não tem divisores de zero.
iv) A é domínio ⇔ B é domínio.
v) A é corpo ⇔ B é corpo.
Teorema do Isomorfismo
Para finalizarmos, vamos conhecer o Teorema do Isomorfismo:
Seja f: A → B um homomorfismo de anéis. Então: 
β: → Im(f)
→ f(a) é um isomorfismo.
ATENÇÃO ! N(f) é ideal de A A/N(f) é um anel quociente. O teorema garante que A/N(f) é isomorfo a Im(f).
Veja um exemplo: Seja f: Z x Z → Z, f(a,b) = a é epimorfismo. (a,b) é um elemento do núcleo da f se, e somente se, f(a,b) = 0. Assim a = 0. Logo, N(f) = {(0,b) ∈ Z x Z} = {0} x Z. Usando o Teorema do isomorfismo, temos que Z X Z / {0} X Z Z . podemos concluir que Z X Z / {0} X Z Z é um domínio que não é corpo , pois Z tem a mesma estrutura .
ATIVIDADE 
1- Marque a alternativa correta.
Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel.
Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.
Seja f: Z → Z tal que f(x) = −x. f é um homomorfismo de anel.
2- Seja A um anel e f uma função definida de AxA em M2(A) onde f(x,y) = . Determine o N(f).
R - N(f) = {(0,0)}
3- Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2].
r- {0,2,4}
4- Considere a seguinte proposição: Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, e I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z.
R - 2Z
5- Determine todos os ideais de Z8.
r- {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8
6- Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela, marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z.
R - Z
7- A função 𝛽: Z → ZxZ é um homomorfismo do anel (Z,+, .) no anel (ZxZ,+, .). Nessas condições, quanto é 𝛽(0)?
r- (0,0)
8- Marque a alternativa que indica a função que é um homomorfismo de anéis.
r- f: RxR → R, f(x,y) = 0
9- Marque a alternativa que indica o conjunto que é ideal de R.
r- I = {0}
10- Qual dos conjuntos abaixo é um ideal do anel Z?
R - I = {−4 𝑘∕𝑘∈𝑍}
Caderno de exercícios 
01-Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). Verifique se I é um ideal do anel (RR, +, .).
02-Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. Verifique se f é um homomorfismo de anel.
03-Seja f: C → C tal que f(x) = . Verifique se f é um homomorfismo de anel.
04 - Seja A={ /M2(R)} . Verifique se existe um isomorfismo de anel.
05 - Vamos considerar o anel Z4. Verifique se {0,2} é um ideal do anel Z4.
EXPLORE+ 
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes textos:
Dedeking: a fundamentação dos números reais. Disponível aqui.
Elementos da Teoria dos números algébricos. Disponível aqui.
Exemplo de um Anel de Ideais Principais que não é um Anel Euclidiano. Disponível aqui.
Apontamentos de ALGEBRA II. Disponível aqui.
Ideais Primos e Primitivos em Subanéis Admissíveis. Disponível aqui.