Root Locus

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ROOT LOCUS
Prof Dimas
Março / 2018
Introdução
• Considere um sistema de controle de malha
fechado como mostrado abaixo.
• A função de transferência de malha aberta é G(s)
• E a função de transferência de malha fechada é
Ks
K
sG
sG
sR
sC




1)(1
)(
)(
)(
1s
K
)(sR )(sC
1
)(


s
K
sG
Introdução
• Localização dos pólos de malha fechada com
diferentes valores de K (remember K>0).
Ks
K
sR
sC


1)(
)(
K Pólo
0.5 -1.5
1 -2
2 -3
3 -4
5 -6
10 -11
15 -16
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-0.5
0
0.5
1
O que é o Root Locus?
• O root locus é o caminho das raízes da equação
característica traçadas em um plano S, como um
sistemas de parametros que varia de zero até
infinito.
Como representar o root locus? 
• Uma maneira é calcular as raízes da equação
característica para todos os possíveis valores
de K. Ks
K
sR
sC


1)(
)(
K Pólo
0.5 -1.5
1 -2
2 -3
3 -4
5 -6
10 -11
15 -16
Como representar o root locus? 
• Aumentando a ordem do Sistema o cálculo se
torna mais complicado. Kssss
K
sR
sC


)20)(10)(1()(
)(
K Pólos
0.5 ?
1 ?
2 ?
3 ?
5 ?
10 ?
15 ?
Construção do Root Locus
• As raízes correspondem a valores particulares destes
parâmetros e podem ser localizados em um gráfico
resultante.
• Usando o método de root-locus podemos predizer os
efeitos da localização dos pólos de um sistema de
malha fechada variando o ganho do sistema.
Fase & Magnitude 
• Na construção do root locus fase e magnitude são
condições importantes.
• Considere o Sistema mostrado abaixo.
• A FTMF é )()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC


Construção do Root Locus
• A equação característica é obtida fazendo o
denominador do polinômio igual a zero. Assim:
• Ou
• Desde que G(s)H(s) seja uma função complexa
Podemos escreve-la como magnitude e fase.
0)()(1  sHsG
1)()( sHsG
Fase & Magnitude 
• A fase de G(s)H(s)=-1 é
• onde k=1,2,3…
• A magnitude de G(s)H(s)=-1 é
)12(180)()(
1)()(


ksHsG
sHsG

1)()(
1)()(


sHsG
sHsG
Fase & Magnitude 
• Condição de Fase
• Condição de Magnitude
• Os valores de s que satisfazem ambas as condições
de fase e magnitude são as raízes da equação
característica ou os pólos da FTMF.
...)3,2,1( )12(180)()(  kksHsG 1)()( sHsG
Construção do Root locus
• Passo-1: Localizar os pólos e zeros no plano S.
)2)(1(
)()(


sss
K
sHsG
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
A fase é
Nz∞=p - z
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
Construção do Root locus
• Passo-2: Determinar o root locus no eixo real.
p1
• Vamos usar uns pontos
de teste para determiner
a localização no eixo real.
• ex: p1 (no eixo real
positivo).
• A condição de fase não é
satisfeita.
• Então, não há root locus
no eixo real positivo.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Construção do Root locus
• Passo-2: Determinar o root locus no eixo real.
p2
• Agora, vamos selecionar um
ponto no eixo real negativo entre
0 e –1.
• Então
• Assim
• A condição de fase é satisfeita;
No entanto, a parte do eixo real
negative entre 0 e –1 forma uma
parte do root locus.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Construção do Root locus
• Passo-2: Determinar o root locus no eixo real.
p3
• Agora, selecionando um ponto
de teste entre -1 e –2.
• Então
• Assim
• A condição de fase não é
satisfeita. Então este intervalo
não pertence ao root locus
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Construção do Root locus
• Passo-2: Determinar o root locus no eixo real.
p4
• Analogamente, um ponto de
teste no eixo real negativo
entre -2 e – ∞ satisfaz a
condição de fase.
• Esse trecho é parte do root
locus.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Construção do Root locus
• Passo-2: Determinar o root locus no eixo real.
Construção do Root locus
• Passo -3: Determinando as assíntotas do root locus.
Assíntota é uma linha que se aproxima da curva
Curva Atual
Aproximação Assintótica
𝐶𝐺
Ψ
CG 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎
Ψ 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎
Construção do Root locus
• Passo-3: Determinando o angulos das assíntotas
• onde
• p-----> número of pólos
• z-----> número of zeros
• Para essa função
)2)(1(
)()(


sss
K
sHsG
03
)12(180



k
OBS:
𝐾
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜
𝐾
𝑠 + 1 3
𝑒𝑛𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜, a condição de fase é
−3∠𝑠 + 1 = ±180°(2𝑘 + 1)
Construção do Root locus
• Passo-3 : Determinando o ângulo das assíntotas.
• A variação de k, gera angulos distintos mas para assintotas são
determinados os seguintes angulos 60°, –60°, e 180°.
03
)12(180



k
Construção do Root locus
• Passo 4: Determinando o Centro de Gravidade das
assíntotas.
• Antes de desenhar as assíntotas precisamos encontrar o
ponto onde elas interceptam o eixo real, ou seja, o centro
de gravidade (CG).
• O CG das assíntotas é dado por
Construção do Root locus
• Exemplo:
• Para
• Encontrar o número de polos e zeros, o ângulo e o CG e
represente no plano S
• P= 3, Z =0, Nz∞=p – z = 3
)2)(1(
)()(


sss
K
sHsG
03
)12(180



k
Construção do Root locus
• Representação:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
60
60
180
 180 , 60, 60
1
Exercícios de Verificação
• Encontrar o número de pólos e zeros, o ângulo
e o CG e represente no plano S
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) =
𝑘
𝑠 𝑠+2
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+1)
𝑠(𝑠−1) (𝑠+6)
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+2)
𝑠2(𝑠+4)2
Construção do Root locus
• Passo 5: Ponto de partida.
• O ponto é determinado fazendo a seguinte derivada
Obs:
• Devemos utilizar a inversa da equação encontrada aplicando as
regras de derivação apropriadas.
• Devemos notar que nem todos os pontos correspondem a pontos
de partida/chegada.
Construção do Root locus
• Exemplo
• Utilizando a equação a seguir vamos encontrar o ponto
de partida
• Aplicando a equação do Passo 5
)2)(1(
)()(


sss
K
sHsG
0263 2  ss
5774.1 
4226.0

s
Construção do Root locus
• Passo 5: Ponto de partida.
• O PONTO DE PARTIDA DEVE PERTENCER AO ROOT LOCUS.
NESTE CASO s=–0.4226, ESTÁ ENTRE 0 E -1. E É UM PONTO DE
PARTIDA.
• JÁ O PONTO s=–1.5774 NÃO PERTENCE AO ROOT LOCUS.
CONFORME ILUSTRAÇÃO A SEGUIR.
5774.1 
4226.0

s
)2)(1(
)()(


sss
K
sHsG
Construção do Root locus
• Representação: Ponto de partida.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is

60
60
1804226.0s
Exercícios de Verificação
• Encontrar o ponto de partida das funções
abaixo
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) =
𝑘
𝑠 𝑠+2
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+1)
𝑠(𝑠−1) (𝑠+6)
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+2)
𝑠2(𝑠+4)2
Construção doRoot locus
• Passo 6: ângulo de saída ou entrada.
As raízes saem ou 
entram no eixo real 
com ângulo +/-90º
Exemplo
Exemplo 4 (cont.)
   
 
 2
3



ss
s
KsHsKG
Construção do Root locus
• Passo 7: O root locus é simétrico ao eixo real
Construção do Root locus
• Passo-8: Ganho K associado
• O ganho K associado se refere a aplicar a 
seguinte equação
• Ou
Aplicação do Ganho K
• O ganho k associado se refere a encontrar o 
ganho do sistema em qualquer ponto do root 
locus para k > 0.
• Exemplo: Dada a função
• Calcular o ganho associada 
para as raíz complexa 
conjugada S1,2=-0,267+/-j1,22 )2)(1()()(  sss
K
sHsG
Aplicação do Ganho K
• Obs: Para calcular o ganho associado uma 
técnica interessante é usar os ponto da 
Assintota.
• Neste exemplo, a assíntota tem o ângulo de 
60º
Construção do Root locus
• Passo-9: Angulo de Partida/Chegada de pólos
ou Zeros complexos conjugados
  12
11


k
n
i
i
m
i
i
Condição de argumento:



 sRe
 sIm
1
2
?3 
1
ponto que se 
admite pertencer 
ao root-locus
2113
3211




  


n
jii
i
m
i
ij k
,11
12  
Ângulo de partida do polo j :
Contribuição 
angular dos zeros
Contribuição angular 
dos restantes polos
  


n
i
i
m
jii
ij k
1,1
12 
Ângulo de chegada ao zero j :
Contribuição angular 
dos restantes zeros
Contribuição angular 
dos polos
Construção do Root locus
• Regra-10: Cruzamento com o eixo imaginário.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is

60
60
180
Construção do Root locus
• Regra-10: Cruzamento com o eixo imaginário.
• Vamos fazer s=jω na equação característica, igualar parte real e
imaginário igual a zero e enconotrar ω e K.
• Vamos usar a equação a seguir
023 23  Ksss
02)(3)( 23  Kjjj 
0)2()3( 32   jK
Construção do Root locus
• Regra-10: Cruzamento com o eixo imaginário
• .
• Assim
• Temos as seguintes respostas
0)2()3( 32   jK
0)3( 2  K
0)2( 3 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Construção do Root locus
• Regra-11: Soma de Pólos de Malha Fechada
  
 sRe
 sIm
2 1
0
Exemplo 6
   
  21 

sss
K
sHsKG
Para onde está o outro polo da FTMF
6K

?
322210 33  ppjj
2js 
6K
Exercícios de Verificação
• Verificar os passos de 6 a 11
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) =
𝑘
𝑠 𝑠+2
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+1)
𝑠(𝑠−1) (𝑠+6)
• 𝑘𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝑘(𝑠+2)
𝑠2(𝑠+4)2