MATERIAL DE ESTUDO PRA MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

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Torção 
 
01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é 
feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para 
este cilindro, pede-se: 
A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. 
B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de 
mesma área de seção transversal. 
 
 
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de admτ = 12 ksi. Supondo 
que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. 
Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo? 
 
 
 
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. 
Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de 
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL NOVE DE JULHO – UNINOVE 
CAMPUS MEMORIAL AMÉRICA LATINA 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010 
 
 
 PRA – LISTA DE EXERCÍCIOS 
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por 
mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o 
ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
05. A viga de 4,0 m de comprimento apresentada na figura é feita em aço, tipo W310×60, possui 
Tensão admissível igual a 40 MPa e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 77 GPa e está 
submetida a um momento torçor de valor desconhecido ‘T’. Desprezando-se o efeito da 
concentração de tensões, determinar o maior torque ‘T’ que pode ser aplicado e o correspondente 
ângulo de torção. Se necessário, utilize a tabela de coeficientes de torção para seções retangulares, 
fornecida logo abaixo. 
 
 
a/b C1 C2 
1,0 0,208 0,1406 
1,2 0,219 0,1661 
1,5 0,231 0,1958 
2,0 0,246 0,229 
2,5 0,258 0,249 
3,0 0,267 0,263 
4,0 0,282 0,281 
5,0 0,291 0,291 
10,0 0,312 0,312 
∞ 0,333 0,333 
 
Flexão 
 
01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo. 
 
 
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. 
Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da 
placa. 
 
 
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. 
Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da 
longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o 
encontro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura. 
 
 
 
 
 
05. Para a viga e o carregamento aplicado, mostrados na figura, construa os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor e determine a tensão normal máxima devido à flexão. 
 
 
 
 
 
06. Uma viga simplesmente apoiada deve suportar o carregamento indicado na figura. O material 
utilizado possui tensão admissível de 160 MPa e estão disponíveis no mercado 5 perfis de abas 
largas, cujas dimensões e Módulo de Resistência estão indicados na tabela abaixo, conforme os 
dados fornecidos pelo fabricante. Selecione o perfil que deverá ser utilizado nesta viga. 
 
 
 
 
 
 
07. A viga apresentada na figura possui transversal constante e dimensões (em centímetros) indicadas 
na figura ao lado. O material utilizado nesta viga possui tensões admissíveis de 140 MPa à tração e 
84 MPa à compressão. Determine a maior carga q que pode ser aplicada sobre essa viga sem que 
ocorra a ruptura ou deformações excessivas. 
 
Perfil W (mm³) 
W410×38.8 637 
W360×32.9 474 
W310×38.7 549 
W250×44.8 535 
W200×46.1 448 
 
 
08. Uma peça feita em alumínio de uma máquina industrial está sujeita a um momento fletor de 75 N⋅m, 
conforme indica a figura. Determine a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção 
transversal dessa peça decorrente da ação desse momento fletor. 
 
 
 
 
 
Cisalhamento 
 
01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e 
sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a 
tensão de cisalhamento admissível seja admτ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga. 
 
 
 
 
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de 
cisalhamento admissível seja admτ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w 
que pode ser aplicada sobre a viga. 
 
 
 
 
 
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de 
simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar: 
A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. 
B) A máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
Análise de Tensões 
 
01. Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: 
a) Esboçar o círculo de Mohr; 
b) Determinar as tensões normais principais; 
c) Determinar a máxima tensão tangencial; 
d) Posicionar as direções principais do ponto; 
e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial. 
 
 
 
02. O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: 
a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; 
b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; 
c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 30° anti-horário do plano y. 
 
 
03. Uma força de 19.5 kN é aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrado. Sabendo-se que a 
barra tem um diâmetro de 60 mm, determinar as tensões principais e a máxima tensão de 
cisalhamento nos pontos H e K. 
 
 
 
04. Calcular as tensões principais e a de cisalhamento máxima para os pontos “a” e “c” da estrutura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
05. Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Determinar as tensões 
principais e de cisalhamento máxima: 
a) No ponto H; 
b) No ponto K. 
 
 
 
 
 
 
 
Flambagem 
 
01. Para as colunas mostradas na figura abaixo, pede-se determinar: 
a) A carga crítica para a coluna quadrada; 
b) O raio da coluna redonda, para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica; 
c) Expressar a área da seção transversal da coluna quadrada como uma porcentagem da área da 
seção transversal da coluna redonda. Usar E = 200 Gpa. 
 
 
 
02. A barra AB tem seção transversal de 16 x 30 mm, e é feita de alumínio. Ela é presa aos apoios por 
meio de pinos. Cada extremidade da barra pode girar livremente em torno do eixo vertical pelas 
chapas de ligação. Adotando E = 70 GPa, determinar o comprimento L para o qual a carga crítica 
da barra é Pcr = 10 kN. 
 
 
03. Uma coluna de 3 metros de comprimento efetivo será feita pregando-se juntas tábuas de 24 X 100 
mm de seção transversal. Sabendo-se que E = 11 GPa e a tensão admissível à compressão, 
paralela às fibras, é de 9 MPa, determinar o número de tábuas que devem ser usadas para suportar 
a carga centrada mostrada, quando: 
a) P = 30 kN; 
 b) P = 40 kN. 
 
04. Um tubo estrutural retangular tem a seção transversal mostrada e é usado comouma coluna de 5 m 
de comprimento efetivo. Sabendo-se que σ = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a maior carga 
centrada que pode ser aplicada na coluna. 
 
 
06. Duas cantoneiras de aço L 102 x 76 x 9,5 são soldadas juntas para formar a coluna AB. Uma carga 
axial P, de intensidade 60 kN, é aplicada no ponto D. usando o método de interação, determinar o 
maior comprimento admissível L. E = 200 GPa; σy = 250 MPa; (σadm)flexão = 150 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
Torção 
 
01. A) T = 2,19 kN·m; B) °= 13,9φ 
02. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. 
03. Ponto C: maxτ = 37,7 MPa; Ponto D: maxτ = 75,5 MPa. 
04. Aφ = 1,78º. 
05. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. 
 
Flexão 
 
01. 8,42min, −=xσ MPa e 2,69max, =xσ MPa. 
02. 
Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m): 
 
 
03. 
Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m): 
 
 
 
04. 
Diagrama de Esforço Cortante (lbf): Diagrama de Momento Fletor (lbf.pé): 
 
 
 
05. 
 
 0,60
max,
=
x
σ MPa 
Diagrama de esforços cortantes (kN): 
 
Diagrama de Momentos Fletores (kN⋅m): 
 
 
 
 06. W360×32.9. 
07. q = 21,3 kN/m. 
08. 612,3=Bσ MPa e 548,1=Cσ MPa. 
 
 
Cisalhamento 
 
01. maxτ = 4 V/3 A. 
02. Pmax = 80,1 kip. 
03. wmax = 5,69 kip/pés. 
04. A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa. 
 
Análise de Tensões 
 
01. 
02. 
03. Ponto H: Iσ = 73,5 MPa; IIσ = -9,5 MPa ; maxτ = 41,5 MPa. 
 Ponto K: Iσ = 10 MPa ; IIσ = -140 MPa ; maxτ = 75 MPa. 
04. Ponto a: Iσ = 38,36 MPa; IIσ = 0 ; maxτ = 19,18 MPa. 
 Ponto c: Iσ = 11,5 MPa; IIσ = -30 MPa; maxτ = 20,5 MPa. 
05. Ponto H: Iσ = 87 MPa; IIσ = -4 MPa; maxτ = 45,5 MPa. 
 Ponto K: Iσ = 54 MPa; IIσ = -54 MPa; maxτ = 54 MPa. 
 
Flambagem 
 
01. a) 64,2 KN; b) 14,3 mm; c) Aquad = 97,3% Ared. 
02. L = 1,57 m. 
03. a) n = 4. b) n = 5. 
04. 422 KN. 
05. L = 6,62 m. 
 
 
 
Torção 
 
01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é 
feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para 
este cilindro, pede-se: 
A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. 
B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de 
mesma área de seção transversal. 
 
 
Solução: 
A) Momento polar de inércia: 
 
 J = (pi/2)⋅[R4 – r4] = 5,8⋅10-6 m4 
 
 Torque: 
 
 T = φ⋅J⋅G/L = 2186,5 N⋅m = 2,19 kN⋅m 
 
B) Área da seção transversal do eixo vazado: 
 
A = pi⋅(R² - r²) = 0,0028 m² 
 
Raio do eixo maciço da seção transversal equivalente: 
 
A = pi⋅Req2 � Req2 = A/pi = 0,030 m = 30,0 mm 
 
Momento polar de inércia: 
 
J = (pi/2)⋅[Req4] = 1,27⋅10-6 m4 
 
Ângulo de torção: 
 
φ = T⋅L/J⋅G = 0,159 rad = 9,13º 
 
Respostas: A) T = 2,19 kN⋅⋅⋅⋅m B) φφφφ = 9,13º 
 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL NOVE DE JULHO – UNINOVE 
CAMPUS MEMORIAL AMÉRICA LATINA 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010 
 
 
 PRA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de admτ = 12 ksi. Supondo que 
o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual 
seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. 
Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de 
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por 
mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o 
ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. 
 
 
06. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. 
 
 
 
 
 
08. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
 
01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo. 
 
 
Solução: 
 
Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos: 
 
Σ FY = 0: VA + VB = 100 kN 
 
Σ MA = 0: 8⋅ VB – qL²/2 = 0 � VA = 37,5 kN; VB = 62,5 kN 
 
A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores: 
 
Cálculo da posição do Centro de Gravidade: 
 
Seção transversal Y (cm) Área (cm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (cm³) 
Retângulo superior 30,0 100,00 3000,00 
Retângulo médio 15,0 40,00 600,00 
Retângulo inferior 2,5 30,00 75,00 
 ΣΣΣΣ 3675,00 
 
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 3675/170 = 21,61765 cm 
 
Cálculo do momento de inércia: 
I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 0,000219718 m4 
Cálculo da tensões: 
σmáx = M⋅c/I = 70312,5⋅0,216176/0,000219718 = 69,179 MPa 
σmin = M⋅c/I = 70312,5⋅(-0,133824)/0,000219718 = -42,825 Mpa 
 
Resposta: 8,42min, −=xσ MPa e 2,69max, =xσ MPa. 
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. 
Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. 
Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da 
longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cisalhamento 
 
01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e 
sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a 
tensão de cisalhamento admissível seja admτ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de 
cisalhamento admissível seja admτ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w 
que pode ser aplicada sobre a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, 
conforme ilustra a figura. Paraesta viga, pede-se determinar: 
A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. 
B) A máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
Solução: 
A) Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos: 
 
Σ FY = 0: VA = 6,7 kN 
 
Σ MA = 0: – 6,7⋅38,0 + MA = 0 � MA = 254,6 kN⋅cm 
 
A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores: 
 
 
 
Notar que na seção A-A’ o momento máximo vale M = 201,0 kN⋅cm 
 
Cálculo da posição do Centro de Gravidade: 
 
Seção transversal Y (mm) Área (mm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (mm³) 
Retângulo superior 55,0 1000,00 55000,00 
Retângulo inferior 25,0 500,00 12500,00 
 ΣΣΣΣ 67500,00 
 
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 67500/1500 = 45,0 mm 
 
Cálculo do momento de inércia: 
 
I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 4,125⋅10-7 m4 
 
Cálculo da tensões: 
 
σmáx = M⋅c/I = 2010⋅0,045/(4,125⋅10-7) = 219,27 MPa 
 
 
B) O valor do cortante na seção A-A’ é dado pelo diagrama de esforço cortante. 
 
 
 
Q = (100⋅10)⋅(55-45) = mm³ 
 
τmáx = VQ/Ib 
 
Resposta: A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de tensões 
 
 
01. 
 
 
 
 
 
 
02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. 
 
 
 
 
 
04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flambagem 
 
01. 
 
 
 
 
 
 
02.