Lista de POII Processos Markovianos

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Lista de Exercícios 
Disciplina: POII 
Tópico: Processos Markovianos 
Professor: Luciano Barboza da Silva 
1. Duas marcas de sabonete disputam um certo seguimento de mercado, e essa disputa pode 
ser expressa como um processo de Markov com as seguintes probabilidades de transição: 
De 
Para 
Imensée Perfume Maior 
Imensée 0,90 0,10 
Perfume Maior 0,07 0,93 
 
a. Qual das marcas parece ter os clientes mais leais? 
b. Qual a fatia de mercado projetada para cada marca? 
2. Dada a tabela de probabilidades de transição a seguir, calcular as probabilidades de estado 
limite: 
De Para Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 
Estado 1 1,0 0,0 0,0 0,0 
Estado 2 0,0 1,0 0,0 0,0 
Estado 3 0,5 0,1 0,2 0,2 
Estado 4 0,6 0,1 0,1 0,2 
 
3. Certa máquina produtora de peças tem a característica de poder estar ajustada ou 
desajustada. Em determinado dia, se a máquina estiver ajustada, existe a probabilidade de 
0,8 de que também esteja ajustada no dia seguinte e a probabilidade 0,2 de que esteja 
desajustada (nesse mesmo dia). Por outro lado, se em um dia a máquina estiver desajustada, 
há uma probabilidade de 0,4 de que também esteja no dia seguinte e de 0,6 de que esteja 
ajustada (nesse mesmo dia). Se no primeiro dia a máquina estiver a justada verifique a 
probabilidade de que ela esteja ajustada no quarto dia. 
 
4. No exercício anterior, quais são no equilíbrio, as probabilidades de a máquina estar 
ajustada? E de estar desajustada? 
 
 
5. Considerar a seguinte tabela de probabilidade de transição: 
 
De 
Para 
A B 
A 1,00 0,00 
B 0,25 0,75 
 
Suponha que, em um dado momento inicial, haja 100 pessoas no estado A e 100 no B. 
Pergunta-se: 
a. O que irá ocorrer no momento imediatamente posterior? Quantas pessoas estarão 
no estado A e quantas no estado B? 
b. O que irá paulatinamente ocorrer à medida que passe o tempo? Quais as tendências 
que se pode perceber para o número de pessoas que estarão no estado A? E no B? 
 
 
6. Considerar a tabela de probabilidades de transição a seguir: 
 
De 
Para 
A B 
A 0 1 
B 1 0 
 
Pede-se: 
a. Imaginar que no instante inicial o sistema estar no estado A. Onde estará no 
instante imediatamente posterior? E no próximo? 
b. Imaginar agora que no instante inicial está no estado B O que acontecerá no 
instante imediatamente posterior? E no próximo? 
c. Generalizando, como o sistema se comporta? 
 
 
7. A café Babalu Ltda. está considerando a decisão de lançar ou não uma campanha 
promocional para melhorar a capacidade de retenção de clientes de uma máquina de café. 
Atualmente a tabela que mostra a probabilidade de transição é a seguinte: 
 
De 
Para 
Café babalu Outras marcas 
Café Babalu 0,8 0,2 
Outras marcas 0,2 0,8 
 
Se a campanha promocional for empreendida, espera-se uma nova tabela de probabilidades 
de transição com o seguinte aspecto: 
 
De 
Para 
Café babalu Outras marcas 
Café Babalu 0,9 0,1 
Outras marcas 0,3 0,7 
 
Supondo que existam 30 milhões de famílias que consomem café e que cada família d6e 
um lucro médio de R$ 12,00, qual o valor máximo a pagar pela campanha promocional? 
 
8. Considerar as seguintes probabilidades de transição: 
 
De Para Estado A Estado B Estado C 
Estado A 0,7 0,2 0,1 
Estado B 0,5 0,3 0,2 
Estado C 0,3 0,5 0,2 
 
Quais as probabilidades de estado de equilíbrio? 
 
 
9. Deve-se decidir qual de duas máquinas, X e Y, deverá ser comprada. Ambas podem estar 
ajustadas ou desajustadas, com as seguintes tabelas de probabilidades de transição: 
 
Máquina X 
 
De 
Para 
Ajustada Desajustada 
Ajustada 0,85 0,15 
Desajustada 0,60 0,40 
 
Máquina Y 
 
De 
Para 
Ajustada Desajustada 
Ajustada 0,8 0,2 
Desajustada 0,7 0,3 
 
Por meio da determinação das probabilidades de estado de equilíbrio, decidir qual das 
máquinas deverá ser comprada. 
 
10. O preço de determinada mercadoria depende de sua trajetória imediatamente anterior. Se 
em um determinado momento o preço subiu, haverá probabilidade de 0,4 de que suba no 
momento seguinte e de 0,6 de que baixe. Por outro lado se o preço baixar em determinado 
momento, a probabilidade de que suba no momento seguinte é de 0,6 e de que baixe 
novamente é de 0,4. Determinar as probabilidades do estado de equilíbrio. 
 
11. Considere uma cadeia de Markov homogênea definida pelo seguinte grafo: 
 
 
 
 
 
 
 
a. Determine a matriz 𝑷 das probabilidades de transição; 
b. Determine a distribuição estacionária 𝜋 = 𝜋1, 𝜋2, 𝜋3 ; 
c. Calcule os valores de 𝑝 e 𝑞 tal que 𝜋1 = 𝜋2 = 𝜋3. 
 
 
3 
1 2 
1 
1 − 𝑝 
𝑞 𝑝 
1 − 𝑞 
12. Existem três marcas de detergentes, designadas 𝐴, 𝐵 e 𝐶 de grande consumo. Um estudo de 
mercado, revelou as seguintes percentagens de consumidores para cada uma das marcas, 
tendo em atenção comportamento idêntico na semana anterior: 
 Consumidores Fieis: 
o Produto 𝐴: 80%; 
o Produto 𝐵: 75%; 
o Produto 𝐶: 95%; 
 Consomem um produto na semana e outro na seguinte: 
o Consomem 𝐴, tendo consumido antes 𝐵: 5% 
o Consomem 𝐴, tendo consumido antes 𝐶: 2% 
o Consomem 𝐵, tendo consumido antes 𝐴: 15% 
o Consomem 𝐵, tendo consumido antes 𝐶: 3% 
o Consomem 𝐶, tendo consumido antes 𝐴: 5% 
o Consomem 𝐶, tendo consumido antes 𝐵: 20% 
 
a. Justifique que se trata de uma Cadeia de Markov homogênea e construa sua 
respectiva matriz de transição; 
b. Calcule qual a parcela de mercado que cada uma das marcas terá no longo prazo? 
 
13. Suponha que uma rede de comunicação transmite dígitos binários “0” ou “1”, em que cada 
dígito é transmitido 5 vezes em seguida. Suponha que a probabilidade de que o dígito seja 
perfeitamente transmitido seja 0,99, em cada transmissão. Para cada transmissão após a 
primeira o dígito introduzido para transmissão é aquele que foi registrado ao final da 
transmissão anterior. Caso 𝑋0 represente o dígito binário originalmente transmitido, 𝑋1 será 
o dígito binário a ser transmitido após a primeira transmissão, 𝑋2 será o dígito a ser 
transmitido após a segunda transmissão, e assim sucessivamente. 
a. Construa o modelo markoviano para o fenômeno; 
b. Calcule a probabilidade de que um dígito chegue corretamente à recepção da quinta 
transmissão, ou seja, calcule 𝑃 𝑋5 = 𝑖|𝑋0 = 𝑖 ; 
c. Suponha que um ajuste no processo no processo elevou a probabilidade de sucesso 
na transmissão para 0,999. Recalcule o item (b). 
 
14. Uma partícula se move em um círculo através de pontos que foram marcados como: 0, 1, 2, 
3, 4 (no sentido horário). A partícula começa no ponto “0”. A cada etapa ela tem 
probabilidade de 0,5 de se deslocar no sentido de um ponto no sentido horário (como é um 
círculo, considere que “0” segue “4”) e 0,5 de se movimentar no sentido antihorário. 
Façamos 𝑋𝑛 (𝑛 ≥ 0) represente sua posição no círculo após n etapas. 
a. Construa a matriz de transição para esse experimento; 
b. Calcule a probabilidade de estados em 3 etapas do movimento; 
c. Calcule as probabilidades de longo prazo (estáveis para cada um dos estados); 
 
 
15. Dadas as seguinte matrizes de transição classifique as classes da cadeia e verifique se as 
mesmas são ou não recorrentes: 
a. 𝑃 = 
 
 
 
 
 0 0
1
3 
1 0 0
0
1
2 
1
0
0
0
 
2
3 
0
0
1
2 
 
 
 
 
;b. 𝑄 = 
1 0 0
0 1 2 1 2 
0
1 2 
1 2 
0
1 2 
0
 
0
0
0
1 2 
 ; 
 
c. 𝑅 = 
0 1 3 1 3 
1 3 0 1 3 
1 3 
1 3 
1 3 
1 3 
0
1 3 
 
1 3 
1 3 
1 3 
0
 ; 
 
d. 𝑆 = 
0 0 1
1 2 1 2 0
0 1 0
 ; 
 
16. Considere o problema de estoques definido em sala de aula. Suponha as seguintes 
alterações: se o número de câmeras disponíveis ao final de cada semana for 0 ou 1, serão 
encomendadas duas câmeras a mais. Caso contrário não será feito nenhum pedido. Suponha 
que os custos de estoques continuem dados pela função definida no problema: 
 
𝐶 𝑋𝑡 = 
0 𝑠𝑒 𝑋𝑡 = 0
2 𝑠𝑒 𝑋𝑡 = 1
8
18
𝑠𝑒
𝑠𝑒
𝑋𝑡 = 2
𝑋𝑡 = 3
 
 
a. Encontre as probabilidades de estado estáveis para o problema; 
b. Encontre os custos de armazenagem médios estáveis (de longo prazo). 
 
 
 
17. Considere o problema do estoque estudado em sala, exceto pelo fato de que a demanda 
agora tem a seguinte distribuição probabilística: 𝑃 𝐷 = 0 = 1/4, 𝑃 𝐷 = 1 = 1/2, 
𝑃 𝐷 = 3 = 1/4 e 𝑃 𝐷 = 3 = 0. A política de encomendas mudou para encomendar 
apenas duas câmeras no final de semana, caso não haja nenhuma em estoque. Como antes, 
não é feito nenhum pedido, caso haja alguma câmera no estoque. Suponha que haja uma 
câmera no estoque no momento (final de semana), em que apolítica é instituída. 
a. Construa o modelo para o problema; 
b. Encontre a probabilidade de estados dessa cadeia 2 semanas é 4 semanas após a 
instituição da política (t = 2, 4); 
c. Encontre a probabilidade de estados de longo prazo da cadeia; 
d. Supondo que a loja pague uma taxa de armazenagem para cada câmera que sobre 
na prateleira no final de semana, de acordo com a função 𝐶 0 = $0,00; 𝐶 1 =
$2,00; 𝐶 2 = $8,00, encontre o custo médio duradouro esperado por semana. 
 
18. Uma urna contém 6 bolas, das quais 3 são vermelhas e 3 verdes. São selecionadas 2 bolas 
da urna ao acaso. Se obtivermos uma verde e uma vermelhas, essas são abandonadas e 2 
azuis são postas na urna. Se não for o caso recoloca-se as duas retiradas na urna. O processo 
se repete até que só fiquem bolas azuis na urna. Seja 𝑋𝑛 o número de bolas vermelhas na 
urna após a n-ésima retirada. 
a. Verifique se o processo é uma cadeia de Markov. Caso seja determine o espaço de 
estados e a matriz de probabilidade de transição. 
b. Calcule a probabilidade de a urna em duas rodadas ter apenas bolas azuis; 
c. Calcule a probabilidade de termos bolas azuis no longo prazo. 
 
19. Considere que tem 5 bolas que estão distribuídas em duas urnas A e B. Em cada período 
seleciona-se uma urna ao acaso e se não estiver vazia é retirada uma bola dessa urna e 
colocada na outra. Seja 𝑋𝑛 o número de bolas na urna 𝐴 no período 𝑛. 
a. Construa a matriz das probabilidades de transição e classifique os estados da 
mesma; 
b. Justifique que se trata de uma cadeia de Markov regular. No longo prazo qual a 
percentagem de tempo que a urna 𝐵 está vazia? 
 
20. Um determinado indivíduo modifica o seu estado de espírito durante o seu dia de trabalho. 
Tendo sido observado pelos seus colegas durante um longo período foram-lhes atribuídas as 
seguintes probabilidades de mudanças do seu estado de espírito: 
o Se está de bom humor durante uma certa hora, a probabilidade de estar de mau 
humor durante a hora seguinte é de 0,2; 
o Se está de mau humor em uma certa hora, a probabilidade de continuar de mau 
humor durante a hora seguinte é de 0,4; 
a. Se o indivíduo durante a primeira hora de trabalho estava de mau humor, qual a 
probabilidade de estar de bom humor na terceira hora de trabalho? 
b. Admitindo que os estados de espírito são igualmente prováveis quando chega ao 
trabalho, determine a probabilidade de estar de bom humor durante a terceira hora 
de trabalho? 
21. Observou-se de hora a hora uma máquina de fabricação de parafusos, tendo-se constatado o 
seguinte: 
o Ao longo da produção a máquina pode apresentar defeito, passando a produzir 
parafusos defeituosos; 
o Caso esteja produzindo parafusos defeituosos a máquina é concertada e na hora 
seguinte os parafusos passam a ser produzidos perfeitos; 
o Se estiver produzindo parafusos perfeitos pode passar a produzir parafusos defeituosos 
com probabilidade 𝑝. 
Designe por 𝑋𝑛 : 𝑛 = 0,1,2, … a cadeia de Markov representativa do estado de 
funcionamento da máquina ao longo das sucessivas horas observadas: 
a. Defina o espaço de estados da cadeia e a respectiva matriz de probabilidades de 
transição; 
b. Determine a probabilidade de produzir parafusos perfeitos muito depois de a 
máquina ter iniciado suas atividades. 
 
22. Considere as seguintes matrizes de probabilidade de transição 𝑄 e 𝑅 nos estados 1 e 2: 
 
𝑄 = 
0,7 0,3
0,3 0,7
 𝑅 = 
0,4 0,6
0,6 0,4
 
 
Uma aranha, tentando caçar uma mosca, move-se entre as localizações 1 e 2, de acordo 
com uma cadeia de Markov de matriz de transição 𝑄. A aranha parte da localização 1. Por 
outro lado a mosca que parte da localização 2 e não se da conta da presença da aranha, 
move-se de acordo com uma cadeia de Markov com matriz de transição 𝑅. 
a. Mostre que o andamento da caçada pode ser modelado como uma cadeia de 
Markov com 3 estados; 
b. Obtenha a matriz de transição de estados para esse modelo; 
c. Calcule a probabilidade de longo prazo de que a aranha e a mosca estejam em suas 
posições originais. 
 
 
23. Considere o problema de transmitir uma mensagem binária (bit 0 ou 1) através do canal 
consistindo de diversos estágios, onde a transmissão em cada estágio possui probabilidade 
fixa de erro, dada por 𝛼. Suponha que o bit 0 foi transmitido no primeiro estágio (ou 
𝑋0 = 0) e o sinal recebido no enésimo estágio seja dado por 𝑋𝑛 . Utilizando cadeias de 
Markov, supondo que a ocorrência de erro em cada estágio é um evento independente, 
determine: 
a. Matriz de probabilidades de transição para o sistema e diagrama de transição de 
estados; 
b. 𝑃 𝑋1 = 0 𝑋0 = 0 , ou seja, a probabilidade de recebimento do bit correto no 
primeiro estágio; 
c. 𝑃 𝑋2 = 0 𝑋0 = 0 , ou seja, a probabilidade de recebimento do bit correto no 
primeiro estágio; 
d. 𝑃 𝑋2 = 0; 𝑋1 = 0 𝑋0 = 0 , ou seja, a probabilidade de recebimento do bit correto 
no primeiro e segundo estágios. De que forma isso diverge do item anterior? 
e. Calcule as probabilidades de longo prazo de que um bit transmitido chegue 
corretamente ao destino (ou seja, a probabilidade de emitirmos um bit e ele chegar 
correto no estágio 𝑛). 
 
24. A cervejaria líder da Costa Oeste (chamada A) contratou um analista de PO para analisar 
sua posição no mercado. Ela está particularmente preocupada em relação a seu maior 
concorrente (chamado B). O analista acredita que a mudança de marca pode ser modelada 
como uma cadeia de Markov usando três estados, com os estados A e B representando 
clientes que tomam cerveja produzida das cervejarias mencionadas anteriormente e o estado 
C representando todas as demais marcas. São recolhidos dados mensais e o analista criou a 
seguinte matriz de transição (em uma etapa) dos dados passados. 
 
 
0,70 0,20 0,10
0,20 0,75 0,05
0,10 0,10 0,80
 
 
a. Considere que hoje a cervejaria A tenha 50% do mercado, enquanto B tenha 30% 
de participação. Em três meses qual a distribuição do mercado? 
b. Quais as probabilidades de encontrarmos, no longo prazo, um indivíduo que não 
consuma de nenhuma das duas cervejarias? 
 
c. Calcule a probabilidade, em estado estacionário, de que uma entrega de emergência 
seja necessária durante o período de 3 dias entre as entregas regulares. 
 
 
25. Um processo produtivo contém umamáquina que deteriora rapidamente, tanto em termos 
de qualidade, quanto de produção, sob condições de uso intenso, de modo que ela deve ser 
inspecionada ao final de cada dia. Imediatamente após a inspeção, a condição da máquina é 
anotada e classificada em um dos quatro estados possíveis, indicados a seguir: 
Estado Condição 
0 Bom como se fosse nova 
1 Operacional: deterioração mínima 
2 Operacional: Deterioração importante 
3 Não operacional e substituída por máquina boa como se fosse nova 
 
O processo pode ser modelado como uma cadeia de Markov com sua matriz de transição P 
dada por: 
Estado 0 1 2 3 
0 0 7/8 1/16 1/16 
1 0 3/4 1/8 1/8 
2 0 0 1/2 1/2 
3 1 0 0 0 
 
a. Encontre a probabilidade de estados estáveis; 
b. Se os custos de se encontrarem nos estados 0, 1, 2 e 3forem: $ 0,00, $ 1000,00, $ 
3000,00 e $ 6000,00, respectivamente, qual é o custo médio duradouro esperado 
por dia?