Lista de POII Teoria das Filas

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Lista de Exercícios 
Disciplina: POII 
Tópico: Teoria das Filas 
Professor: Luciano Barboza da Silva 
1. Está sendo planejada a saída do estacionamento de um shopping center onde é pago, 
num único guichê, o ticket pela estadia dos carros. Os carros chegam ao guichê 
segundo um processo de Poisson com taxa de 60 veículos por hora e o tempo 
necessário para se processar a cobrança e permitir a saída do veículo está 
exponencialmente distribuído com média 10 segundos. 
a. Qual a taxa de utilização do sistema? 
b. Qual o número de carros mais provável no sistema? 
c. Qual o tempo médio de espera na fila de um cliente qualquer? 
 
2. Cada passageiro, e sua bagagem, devem ser checados para determinar se o mesmo 
está portando algum tipo de arma. Suponha que o aeroporto de Gothan City receba, 
em média, 10 passageiros por minuto (considere o tempo entre as chegadas 
exponencial). Para revistar cada passageiro o aeroporto deve possuir um ponto de 
checagem (detector de metais, máquinas de raios-X etc.). Quando uma checagem 
está em operação são requeridos dois funcionários. O ponto de checagem consegue 
revistar em média 12 passageiros por minuto (considere que o tempo de revista tem 
distribuição exponencial). Sob a condição de que o aeroporto só pode possuir um 
único ponto de checagem, responda às seguintes questões: 
a. Qual a probabilidade de que um passageiro terá de esperar antes de ser 
atendido? 
b. Em média quantos passageiros estarão esperando na fila para a revista? 
c. Em média quanto tempo um passageiro aguarda no ponto de checagem? 
 
 
3. Suponha que todos os donos de automóveis reabasteçam quando seus tanques estão 
a 50% de capacidade. No presente uma média de 7,5 usuários por hora chega a um 
posto de abastecimento que possui uma única bomba. Leva em média 4 minutos 
para um carro ser abastecido. Assuma que os tempos entre as chegadas e o tempo de 
atendimento são exponencialmente distribuídos. 
a. Encontre L e W; 
b. Suponha agora que há uma mudança no comportamento dos usuários. 
Suponha que os donos de automóveis resolvam reabastecer quando o tanque 
estiver com 75% se sua capacidade (considere que a taxa de chegada 
diminuiu de modo inversamente proporcional, ou seja, 5 usuários por hora). 
Como cada carro passará menos tempo para concluir o abastecimento, 
digamos 3,33 minutos. Qual o impacto dessa mudança sobre L e W? 
 
4. O Departamento de Ciências da Decisão está tentando determinar se aluga uma 
copiadora especial (mais rápida) ou uma copiadora com velocidade normal. O 
departamento estima que o custo de um de seus colaboradores é de $15 por hora. 
Uma copiadora tem um aluguem de $4 por hora e ocupa um colaborador por 10 
minutos para uma cópia completa (considere esse tempo exponencialmente 
distribuído). A copiadora especial é alugada a $15 por hora e deixa um colaborador 
ocupado em média 6 minutos para uma cópia completa (considere esse tempo 
exponencialmente distribuído). Em média 4 colaboradores por hora necessitam 
retirar cópias (considere que o tempo entre essas chegadas também é 
exponencialmente distribuído). Qual das duas máquinas o departamento deve 
alugar, de modo que minimize o custo de operação? 
 
5. Para um sistema M/M/1/GD// suponha que  e  sejam simultaneamente 
dobrados. 
a. Como L seria afetado? 
b. Como W seria afetado? 
c. Como as probabilidades de estado estacionário seriam afetadas? 
 
6. Deseja-se determinar a taxa de chamadas que pode ser suportada por uma central 
telefônica com as seguintes características: 
a. Duração Média das chamadas de 3 minutos; 
b. Podem ser tolerados, no máximo, 3 minutos de tempo médio de espera na 
fila; 
c. O sistema pode ser modelado como um M/M/1/GD//. 
 
7. Um restaurante Fast-Food tem um drive-in com um único atendente. Em média 40 
clientes chegam por hora ao atendimento e leva em média 1 minuto para que um 
desses clientes seja atendido. Assuma que os tempos entre as chegadas e o tempo de 
atendimento tenham um comportamento exponencial. 
a. Em média quantos clientes ficam esperando na fila? 
b. Em média quanto tempo cada cliente passa no drive-in? 
c. Qual a fração de tempo que temos mais de três veículos no drive-in? 
 
8. Reconsidere o problema 2 (aeroporto de Gothan City). Suponha que o aeroporto 
deseje determinar quantos pontos de revista devem ser postos em funcionamento de 
modo a minimizar o custo total de operações (custo da estrutura de operações mais 
o custo provocado pelo congestionamento) por um período de 10 anos. Assuma que 
o custo por congestionamento de 1h para um passageiro qualquer é de $10 e que o 
aeroporto funcione todos os dias, 16 horas por dia. Custa $1 milhão comprar, 
implantar e operar por 10 anos um ponto de revista. Assuma que todos os 
passageiros têm a mesma probabilidade de entrar em um dado ponto de revista. 
 
9. Um serviço consiste de um servidor que pode atender, em média, 2 clientes por hora 
(considere o tempo de atendimento exponencial). Em média 3 usuários por hora 
chegam ao local em busca de serviço. Considere que o tempo entre as chegadas é 
exponencial e que o sistema tem capacidade para 3 usuários. 
 
a. Qual a quantidade média de clientes que entram no sistema por hora? 
b. Qual a probabilidade de que o atendente esteja ocupado? 
c. Qual o número médio de usuários no sistema e o tempo médio de usuários 
na fila? 
 
10. A um certo serviço, usuários chegam segundo uma distribuição de Poisson com 
parâmetro de 2 usuários por hora. As tarefas são realizadas por um único servidor 
na ordem de chegada e em tempo exponencialmente distribuídos com média 15 
minutos. Supondo que o sistema comporta um único usuário, calcule: 
a. A probabilidade de um usuário ser atendido imediatamente; 
b. A percentagem de usuários perdidos pela limitação de capacidade. 
 
11. Um posto para lavar carros está sendo planejado, para o que se faz necessário 
dimensionar o local onde os carros aguardarão pelo serviço. Imagina-se que a 
demanda por esse serviço seguirá uma distribuição de Poisson com taxa de um carro 
a cada 5 minutos. Existirá uma máquina para lavar os carros cujos tempos de 
serviço seguirá uma distribuição exponencial com média 4 minutos. Compare a 
percentagem de carros perdidos, devido à falta de espaço, para as seguintes 
capacidades da área de espera: 
a. Nenhum carro; 
b. Dois carros; 
c. Quatro carros. 
 
12. Em média 40 carros por hora (tempo entre as chegadas exponencial) chegam a um 
drive-in de um dado restaurante. Se o total de automóveis, além do que está sendo 
atendido, for quatro o próximo cliente não conseguirá entrar no sistema. Em média 
um atendimento é feito em 4 minutos (tempo de atendimento exponencialmente 
distribuído). 
a. Qual o número médio de carros esperando por atendimento? 
b. Em média quantos carros são atendidos por hora? 
c. Suponha que você acaba de entrar no “dive-in”, quanto tempo você 
esperaria, em média, até ser atendido? 
 
13. Em certo local existem duas barbearias, uma ao lado da outra. Cada uma tem 
capacidade para 4 clientes e todo cliente que chega e encontra ambas as barbearia 
lotadas vai embora. O barbeiro 1 cobra $11 pelo corte e leva cerda de 12 minutos 
para executar um corte completo. O barbeiro 2 cobra $5 e leva 6 minutos em média 
para completar o serviço. Em média 10 clientes potenciais por hora chegam a cada 
uma das barbearias. Evidentemente um potencial cliente só se tornará um cliente de 
fato se a barbearia não estiver lotada. Assumindo que os tempos entre as chegadas 
são exponenciais, qual dos barbeiros ganha mais dinheiro? 
 
14. Uma companhia telefônica tem dois operadores para atender chamadas quechegam 
segundo uma distribuição de Poisson com taxa de 15 chamadas por hora. Os tempos 
de atendimento de cada operador são exponencialmente distribuídos com média de 
5 minutos. Os fregueses chegam à padaria Calcule as medidas de desempenho do 
sistema e comente os resultados. 
 
15. Clientes de uma padaria são atendidos por quatro balconistas, cada um deles capaz 
de atender, em média 360 fregueses por hora, estando os seus tempos de 
atendimento, idêntica e exponencialmente distribuídos. Os fregueses chegam à 
padaria de acordo com um processo de Poisson com taxa de 80 clientes por hora. 
a. Determine a fração de tempo que um balconista qualquer está desocupado; 
b. Calcule a probabilidade de que existam mais de três fregueses no sistema; 
 
16. Em uma estação de trens há cinco telefones públicos. Pessoas chegam para telefonar 
segundo um processo de Poisson com taxa de 30 usuários por hora. O tempo médio 
de uma chamada é de 36 segundos, sendo a duração das mesmas idênticas e 
exponencialmente distribuídas. Determine: 
a. O valor esperado do tempo que uma pessoa deve aguardar por um telefone; 
b. A probabilidade de que essa espera exceda 1 minuto; 
c. O número esperado de pessoas usando ou esperando um telefone. 
 
 
17. Um centro de serviços sem limitação para o espaço reservado de fila tem três postos 
atendendo simultaneamente, com tempos distribuídos exponencialmente com média 
de 2 minutos. Os usuários chegam segundo um processo de Poisson com taxa 60 
unidades por hora. Calcule: 
a. A probabilidade do centro de serviços estar vazio; 
b. A probabilidade de não haver fila; 
c. O número médio de unidades na fila e no sistema; 
d. Os tempos médios de espera na fila e de permanência no sistema; 
e. A probabilidade de o tempo de espera de uma unidade qualquer ser no 
máximo de 5 minutos; 
f. O número médio de postos vazios. 
 
18. Um supermercado está tentando decidir quantos caixas devem estar disponíveis aos 
clientes. Suponha que em média chegam, em média, 18 consumidores por hora e o 
tempo médio de atendimento é de 4 minutos. Os tempos entre as chegadas e o 
tempo de atendimento são exponencialmente distribuídos e o sistema pode ser 
modelado como M/M/s/GD/∞/∞. Custa $20 por hora para operar um caixa e $0,25 
por cada minuto que o consumidor gasta na fila de caixas. Quantos caixas devem 
ser colocados em funcionamento? 
 
19. Um pequeno banco está tentando determinar quantos atendentes contratar. O custo 
total diário de um empregado é de $100 e um funcionário pode atender, em média, 
60 clientes por dia. Em média 50 usuários por dia chegam ao banco e tanto os 
tempos entre as chegadas quanto os tempos de atendimento são exponencialmente 
distribuídos. Se o custo de espera (congestionamento) diário PE de $100 por cliente, 
quantos atendentes o banco deve contratar? 
 
 
20. Na presente questão todos os tempos entre chegadas e todos os tempos de 
atendimento são exponencialmente distribuídos. 
 
a. No presente os departamentos de finanças e de marketing têm, cada um, seus 
próprios auxiliares administrativos. Cada auxiliar consegue digitar 25 
documentos completos por dia. O departamento de finanças demanda que 
sejam digitados 20 documentos por dia e o de marketing 15 documentos por 
dia. Para cada departamento determine o lapso médio de tempo entre uma 
solicitação de um documento e sua digitação completa; 
b. Imagine agora que ambos os auxiliares sejam reunidos em um único grupo, 
que atende as solicitações de ambos os departamentos. Para este arranjo 
calcule o tempo médio entre a solicitação e a digitação completa de um 
documento; 
c. Sob as condições do item (b), qual a probabilidade de que o tempo entre a 
solicitação de um documento e sua realização completa seja maior que 0,2 
dias? 
 
21. A MacBurger´s está tentando determinar quantos atendentes deve disponibilizar 
durante o café da manhã em um dado evento. Durante cada hora chegam, em média, 
100 usuários ao salão do restaurante. Cada funcionário consegue atender, em média, 
50 clientes por hora. Um atendente custa $5 por hora e o custo de um cliente esperar 
uma hora pela refeição é de $20. Assumindo que o modelo é M/M/s/GD/∞/∞ é 
aplicável, determine o número de atendentes que minimize a soma dos custos de 
espera e de serviços. 
 
22. Em média 100 clientes chegam a cada hora ao Banco de Gotham City. Em média o 
serviço a cada usuário é de cerca de 1 minuto. O tempo de serviço e os tempos entre 
as chegadas são exponenciais. Os gestores do banco desejam garantir que não mais 
que 1% de todos os consumidores espere na fila por mais de 5 minutos. Se o banco 
segue a política de que seus clientes esperem em fila única até o atendimento, 
quantos atendentes devem ser contratados? 
23. Em média 90 hóspedes por hora chegam à recepção de um hotel (considere os 
tempos entre as chegadas exponencialmente distribuídos) esperando para fazer o 
check-in. No presente 5 guichês estão disponíveis e os hóspedes esperam em uma 
fila única pelo primeiro guichê desocupado. O tempo médio para atender um 
hóspede é de 3 minutos (tempo exponencialmente distribuído). A operação dos 
guichês custa $10 por hora e o hotel estima um custo de espera de $20 por hora para 
cada hóspede que espera em fila. 
a. Calcule o custo, por hora, do sistema corrente; 
b. O hotel está considerando a utilização de uma máquina para operacionalizar 
um “guichê eletrônico” para um check-in automático. Os gestores acreditam 
que 20% dos hóspedes usarão este mecanismo. Um guichê automático tem 
um tempo de atendimento de 1 minuto e custo diário de operação de $48 (1 
dia = 8 horas). O hotel deve instalar um guichê automático? Suponha que 
todos os clientes que resolvem utilizar o guichê automático irão esperar o 
atendimento em uma fila única. 
 
24. Em média 50 clientes por hora chegam a um pequeno posto de atendimento. Os 
tempos entre as chegadas são distribuídos exponencialmente. Cada guichê tem uma 
taxa média de atendimento de 25 clientes por hora. Os tempos de serviço são 
exponencialmente distribuídos. Custa $25 por hora para abrir um guichê e o 
escritório avalia que o custo de cada cliente esperar uma hora é de $15. Para 
minimizar o custo total de operações, quantos guichês devem ser postos em 
operação? 
 
25. Em média 300 consumidores por hora chegam posto de atendimento. Leva em 
média 2 minutos para atender um cliente e custa $10 por hora para manter um 
guichê de atendimento funcionando. Existe um custo de $50 por hora em lucros 
futuros perdidos quando um cliente qualquer espera na fila. Quantos guichês de 
atendimento o banco deve abrir? 
 
26. Em média 100 clientes por hora chegam ao banco Gotham City. O banco estima que 
um atendente leve 2 minutos para atender um cliente. Os tempos entre as chegadas 
são exponenciais. O banco tem, no presente, 4 atendentes. Os gestores do banco 
desejam comparar os dois sistemas de funcionamento descritos abaixo, utilizando 
para esta comparação as seguintes medidas: Número Médio de Usuários presentes 
no banco e a probabilidade de um usuário qualquer esperar mais que 8 minutos no 
banco. 
 
 Sistema 1: Cada atendente tem sua própria fila e não é possível para um 
cliente mudar de fila depois de ingressar na mesma; 
 Sistema 2: Todos os usuários esperam em uma fila única aguardando o 
primeiro atendente ficar livre. 
Se você fosse o gestor do banco qual sistema você escolheria?