2ª Prova de Cálculo A

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Universidade Federal do Espírito Santo 
Centro de Ciências Exatas, Naturais e da Saúde 
Departamento de Matemática Pura e Aplicada 
Segunda prova de Cálculo A 
Alegre, 14 de setembro de 2016 
Nome Legível/ Matrícula: _______________________________________________ 
Justifique todas as respostas! 
1. (5,0 pontos). Calcule 
𝑑𝑦 
𝑑𝑥
. 
a) 𝑦 = (𝑥2 + 1)𝑒𝑥 + 5𝑥 − 2𝜋5 + 20(𝑥 − 4) + 3² 
b) 𝑦 = 
𝑥
(𝑥−1)3
 
c) sen(𝑥 + 𝑦) = 𝑦² cos 𝑥 
d) 𝑦 = ln(𝑥4𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
e) 𝑦 = (ln 𝑥)cos 𝑥 
 
2. (2,0 pontos). Considere a função 𝑥4 + 𝑦4 = 16 
a) Encontre 𝑦′ . 
b) Encontre 𝑦". 
c) Encontre a equação da reta tangente a curva no ponto (1,2). 
 
3. (2,0 pontos). Seja 
𝐹 (𝑥) = {
2 − 𝑥 
 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
𝑠𝑒 𝑥 < 1
 
a) Mostre que a função não é diferenciável em 1, usando a definição. 
b) Dê uma fórmula para a função derivada 𝑓′(x) e esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓′. 
 
4. (1,0 ponto). Mostre que qualquer função da forma 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥) + 𝐵 cos(𝑚𝑥), 
com A, B e m constantes, satisfaz a equação 𝑦" = −𝑚²𝑦. 
 
BOA PROVA!!