Como calcular uma poligonal fechada

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Tutorial : Como calcular uma poligonal fechada 
 
Dada a caderneta de campo abaixo utilizada para o levantamento de uma poligonal, 
determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 
 AzAB =26°10’00’’ 
A = (1000,00;1000,00) 
Tolerância: - Angular: 2’√n 
 - Linear: 1:1.000 
sendo n o número de ângulos da poligonal; 
 
 
 
 RESOLUÇÃO: 
 
- O primeiro passo para o cálculo de uma poligonal é calcular o somatório dos ângulos 
horizontais e verificar se está dentro da tolerância angular. 
 
∑ae = 258°24'54''+ 270°54'42' '+ 342°48'06'' + 128°35'24'' + 259°15'42''= 1259°58’48” 
 
O somatório dos ângulos externos de um polígono de n lados é dado por ∑aê = (n+2)180°. 
Desta forma, observamos de para um polígono de 5 lados o somatório dos ângulos externos 
deveria ser 
(5+2)180°= 1260°00’00’’. Sendo assim, houve um erro angular de - 00°01’12’’ (=1259°58’48”-
1260°00’00’’). 
A tolerância angular do problema é dada por 2’√n, sendo assim o erro permitido pelo 
problema é de 00°04’28’’ (=2’√5). Então verifica-se que o erro angular está dentro da 
tolerância permitida. 
 
- Em seguida fazemos a distribuição desse erro em todos os ângulos horizontais igualmente. 
Para isso, deveremos somar 00°01’12’’ em cada ângulo. 
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Observação 1: Erro angular = ∑ângulos horizontais obtidos - ∑ ângulos horizontais previsto 
 
Ponto: Direção: 
Ângulo 
Horizontal: 
Distância 
(m): 
A A-B 285,10 
B B-C 258°24'54'' 610,45 
C C-D 270°54'42'' 720,48 
D D-E 342°48'06'' 203,00 
E E-A 128°35'24'' 647,02 
A A-B 259°15'42'' 
Observação 2 : Quando erro der positivo, diminui-se o erro dividido pelo número de lados de 
cada ângulo. Quando erro foi negativo, soma-se o erro dividido pelo número de lados a cada 
ângulo. 
 
Ponto: Direção: Ângulo Horizontal: Distribuição do erro Ângulos Horizontais corrigidos: 
A A-B 
B B-C 258°24'54'' +00°00'14'' 258°25'08" 
C C-D 270°54'42'' +00°00'15'' 270°54'57" 
D D-E 342°48'06'' +00°00'14'' 342°48'20" 
E E-A 128°35'24'' +00°00'15'' 128°35'39" 
A A-B 259°15'42'' +00°00'14'' 259°15'56" 
 
Observe que o erro a ser compensado em cada ângulo (+00°00'14,4'') na casa dos segundos 
tem valor decimal e é inviável realizar contas “quebradas” num trabalho planimétrico. E se 
fossemos compensar apenas -00°00'14'' em cada ângulo, no total haveria 2 segundos sobrando 
ainda no somatório dos ângulos internos. Devido a isso, distribuímos -00°00'14'' em 3 ângulos 
e -00°00'15'’ em outros 2, levando em consideração que esse tipo de arredondamento não 
comprometerá a precisão do trabalho. 
 
- A próxima etapa é o cálculo de todos os azimutes da poligonal partir dos ângulos externos 
corrigidos. 
 
Observação 3 : O azimute inicial é sempre dado pelo problema! 
 
O cálculo dos azimutes é dado pela seguinte formulação: 
 
Az23 = Az12 +α2- 180° 
 
AzBC = AzAB +αB- 180° = 26°10’00’’ + 258°25'08" – 180° = 104°35’08” 
AzCD = AzBC +αC- 180° = 104°35’08” + 270°54'57" -180° = 195°30’05” 
AzDE = AzCD +αD- 180° = 195°30’05” + 342°48'20" -180° = 358°18’25” 
AzEA = AzDE +αE- 180° = 358°18’25” + 128°35'39" -180° = 306°54’04” 
AzAB’ = AzEA +αA- 180° = 306°54’04” + 259°15'56" -180° = 386°10’00” = 26°10’00” 
 
Observe que para o cálculo dos azimutes fechar é necessário que o AzAB’ calculado seja igual ao 
AzAB dado pelo problema. 
 
- Agora podemos calcular as coordenadas parciais. Temos que: 
X1 = X0 + D01.sen Az01 
Y1 = Y0 + D01.cos Az01 
 
A=(1000,00;1000;00) 
 
B =( XA + DAB.sen AzAB ; YA + DAB.cos AzAB) 
 = (1000,00 + 285,10.sen 26°10’00”; 1000,00 + 285,10. cos 26°10’00”) = (1125,72 ; 1255,88) 
 
C =( XB + DBC.sen AzBC ; YB + DBC.cos AzBC) 
 =(1125,72 + 610,45.sen 104°35’08”; 1255,88 + 610,45.cos 104°35’08”) = (1716,50 ; 1102,15) 
 
D =( XC + DCD.sen AzCD ; YC + DCD.cos AzCD) 
 = (1716,50+ 720,48.sen 195°30’05”; 1102,15 + 720,48.cos 195°30’05”) =( 1523,94 ; 407,88) 
 
E =( XD + DDE.sen AzDE ; YC + DDE.cos AzDE) 
 = (1523,94 + 203,00.sen 358°18’25” ; 407,88 + 203,00.cos 358°18’25”) = (1517,95 ; 610,79) 
 
A’ =( XE + DEA.sen AzEA ; YE + DEA.cos AzEA) 
 =(1517,95 + 647,02.sen 306°54’04” ; 610,79 + 647,02.cos 306°54’04”) = ( 1000,54 ; 999,29) 
 
Houve uma diferença entre as coordenadas calculadas do ponto A e a coordenadas dadas pelo 
problema. Isso ocorre devido erros cometidos durante a execução do trabalho de campo que 
são permitidos até uma tolerância. Por isso, é deve-se verificar se o erro obtido está dentro da 
tolerância linear estipulada para o trabalho. O erro é dado por: 
 
 Erro = ∆d 
 Perímetro da poligonal 
 
Sendo: ∆d = resultante das componentes das diferenças X e Y entre as coordenadas 
calculadas e dadas do ponto de partida 
 
No caso do exercício, o erro ficaria: 
 
E= √[(1000,54-1000,00)² + (999,29-1000,00)] = 1/2764,57 < 1/000 
 2466,05 
 
O erro foi menor que a tolerância linear de 1/1000. Desta forma, podemos dar continuidade 
ao cálculo da poligonal. 
 
- Para fazer o fechamento da poligonal é necessário que esse erro seja distribuído por todas as 
coordenadas, realizando correção linear das coordenadas. 
 
Correção linear da coordenada = erro da coordenada. distância entre os vértices 
 Perímetro da poligonal 
 
Erro da coordenada X = (1000,54 – 1000,00) = 0,54 
Erro da coordenada Y = (999,29 – 1000,00) = 0,71 
 
Quando o erro é positivo, subtraímos a correção linear da coordenada da coordenada parcial 
dela. Quando o erro é negativo, somamos a correção linear da coordenada a coordenada 
parcial dela. 
 
ATENÇÃO: O erro é acumulativo! Portanto na primeira coordenada a ser corrigida, só haverá 
uma correção linear a ser considerada. Na segunda coordenada haverá 2 correções e assim por 
diante, até que a última leve todas as correções lineares a serem feitas. 
 
Correção linear das coordenadas X: 
 
Ex1= 0,54. 285,10/ 2466,05 = 0,06 
Ex2 = 0,54. 610,45/ 2466,05 = 0,13 
Ex3 = 0,54. 720,48/ 2466,05 = 0,16 
Ex4 =0,54. 203,00/ 2466,05 = 0,05 
Ex5 = 0,54. 647,02/ 2466,05 = 0,14 
 
XB’ = XB - EX1 = 1125,72 – 0,06 = 1125,66 
XC’ = XC – EX1 – EX2 = 1716,50 – 0,06 – 0,13 = 1716,31 
XD’ = XD – EX1 –EX2 – EX3 = 1523,94 – 0,06 – 0,13 – 0,16 = 1523,59 
XE’=XE – EX1 – EX2 – EX3 – EX4 = 1517,95 – 0,06 – 0,13 – 0,16 – 0,05 = 1517,55 
XA’ = XA- EX1 – EX2 – EX3 – EX4 – EX5 = 1000,54 – 0,06 – 0,13 – 0,16 – 0,05 – 0,14 = 1000,00 
 
 
Correção linear das coordenadas Y: 
 
Ey1= 0,71. 285,10/ 2466,05 = 0,08 
Ey2 = 0,71. 610,45/ 2466,05 = 0,17 
Ey3 = 0,71. 720,48/ 2466,05 = 0,21 
Ey4 = 0,71. 203,00/ 2466,05 = 0,06 
Ey5 = 0,71. 647,02/ 2466,05 = 0,19 
 
YB’= YB + Ey1 = 1255,88 + 0,08 = 1255,96 
YC’ = YC + Ey1 + Ey2 = 1102,15 + 0,08 + 0,17 = 1102,40 
YD’=YD + Ey1 +Ey2 +Ey3 = 407,88 + 0,08 + 0,17 + 0,21 = 408,34 
YE’ =YE + Ex1 + Ex2 + Ex3 + Ex4 =610,79 + 0,08 + 0,17 + 0,21 + 0,06 = 611,31 
YA’= YA +Ex1 + Ex2 + Ex3 + Ex4 + Ex5 = 999,29 + 0,08 + 0,17 + 0,21 + 0,06 + 0,19= 1000,00 
 
FINALMENTE, as coordenadas são: 
A’=(1000,00; 1000,00) 
B’= (1125,66; 1255,96) 
C’=(1716,31; 1102,40) 
D’=(1523,59; 408,34) 
E’ = ( 1517,55; 611,31)