Topografia aula 07 áreas uff 2015 1 Eng Civil

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Prof. Leonardo Scharth Loureiro Silva, M.Sc.
leonardo.uff@globo.com
TOPOGRAFIA VII
2015/1
Métodos de Cálculo de Áreas 
Quase todos os tipos de medições em levantamentos 
requerem alguns cálculos a fim de transformá-los em uma forma 
mais útil para determinar distâncias, áreas de terrenos, volumes para 
movimentação de terra, etc. 
Talvez a necessidade mais comum para cálculo de áreas 
seja em relação à compra e venda de propriedades, mas esses 
cálculos também são necessários para o planejamento de projetos 
e de construções em geral. 
Alguns exemplos óbvios são a locação de loteamentos, 
construção de barragens e estudos em bacias hidrográficas para 
projetos de drenagem e pontes. Entretanto, há outras inúmeras 
outras aplicações.
Áreas Regulares
 Quando os limites de um polígono são 
formados por trechos regulares podemos 
efetuar o cálculo de área pelos métodos 
descritos a seguir:
Métodos Gráficos
São muitos os métodos que permitem, através 
de equivalências gráficas, determinar a área de 
uma figura plana. 
Decomposição
Analítico (Gauss ou trapézio)
Método das coordenadas
Método alternativo de coordenadas (diagonais)
Área de segmento de círculo
Decomposição
Decomposição
2
1.
1
ha
A 
2
2.
2
hb
A 
a
b
h2
h1
Decomposição
Analítico
Calculando a área 1
Analítico
))((
2
1
))((
2
1
414112121 yyxxyyxxÁrea 
Analítico
))((
2
1
))((
2
1
434332232 yyxxyyxxÁrea 
Calculando a área 2
Analítico
 A área da poligonal (Ap) será dada por:
Ap= Área2 – Área1
))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
4141121243433223 yyxxyyxxyyxxyyxxAp 












 ))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
4141121243433223 yyxxyyxxyyxxyyxxAp
Colocando ½ em evidência:
 ))(())(())(())((
2
1
4114121243433223 yyxxyyxxyyxxyyxxAp 
Eliminando o sinal negativo:
))(())(())(())((2 1414434332322112 yyxxyyxxyyxxyyxxAp 
ou
))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
))((
2
1
1414434332322112 yyxxyyxxyyxxyyxxAp 
Esse método analítico também é conhecido como Método de Gauss
Analítico
 Tendo assim como fórmula geral:
)()(2 1
1
1 

  ii
n
i
ii yyxxAp
Obs.: Sendo n igual ao número de pontos da poligonal. Deve-se observar 
que quando i = n (o último ponto), o valor de i+1 e i-1 deve ser considerado 
como sendo 1, ou seja, o primeiro ponto novamente. 
Método das Coordenadas
1141144444344333
33233222221221112
yxyxyxyxyxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxyxyxAp


)()()()(2 13423312241 yyxyyxyyxyyxAp 
Outra fórmula pode ser obtida a partir da resolução da equação de 
Gauss:
Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se :
Com isso temos uma nova equação geral :


 
n
i
iii yyxAp
1
11 )(2 ou 

 
n
i
iii xxyAp
1
11 )(2
Método Alternativo das Coordenadas
 A partir da última fórmula apresentada podemos reescrevê-la da 
forma:
14433221144332212 xyxyxyxyyxyxyxyxAp 
3
3
y
x
1
1
y
x
2
2
y
x
1
1
y
x
4
4
y
x
 Para cada um dos vértices da figura uma fração é escrita com o x 
como o numerador e o y como denominador. 
 A soma do produto das coordenadas ligadas pelas linhas verdes 
menos a soma do produto das coordenadas unidas pelas linhas 
vermelhas é igual a duas vezes a área dentro da poligonal. Esse 
método também é conhecido como Método das Diagonais.
Exemplo
Dadas as coordenadas dos pontos que definem a 
poligonal, calcular a área da mesma.
Ponto X(m) Y(m)
1 10 30
2 30 50
3 50 40
4 35 10
Área de Segmento de Círculo
 Se temos uma área de terra com uma curva circular horizontal para um de seus 
limites (como é freqüente no caso de propriedades adjacentes a uma estrada ou 
ferrovia), podemos calcular a área pelo método de segmento de círculo.
Área de Segmento de Círculo
 A área ABCDEA pode ser determinada por um dos métodos 
previamente descritos e adicionada à área do segmento de curva
Uma solução alternativa é calcular a área e adicioná-la à 
área AXEFA calculada como se segue:





 




2
sen
360
²áreaárea área de segmento
II
REAXAEFAXA

AXABCDE
 ²
360
R
I
área EFAXA 



Áreas Irregulares
Métodos Gráficos
 Trapézio
 Simpson
 Gabarito
Métodos Mecânico ou Eletrônico
 Planímetro
 AutoCAD 
 Balança de precisão
Método do Trapézio
 Quando os afastamentos são 
regularmente distantes uns dos 
outros, e se considerar 
satisfatoriamente que o limite da 
área é uma linha reta entre eles, o 
método do trapézio, conhecido 
como Fórmula de Bezout, pode ser 
aplicado 





 





 





 


2
...
22
13221 nn hh
d
hh
d
hh
dA
Fórmula geral:








 132
1
...
2
n
n
hhh
hh
dA
Método de Simpson
Se os limites são considerados 
como curvos, o método de 
Simpson (baseado na 
consideração de que as linhas 
dos limites são de forma 
parabólica) é considerado 
melhor para usar que o método 
do trapézio. O método é 
aplicável para áreas que têm um 
número ímpar de afastamentos. 
Se existe um número par de 
afastamentos, a área de todos 
eles exceto a parte entre os 
últimos dois afastamentos (ou 
os dois primeiros) pode ser 
determinada com o método. A 
área remanescente é calculada 
separadamente, considerando 
que é igual a um trapézio 
Fórmula geral:
      14225321 ...4...2
3
  nn hhhhhhhh
d
A
Gabarito
 Por quadrículos
Este é um gabarito que 
consiste de linhas 
horizontais e verticais 
traçadas a intervalos 
regulares gerando um 
conjunto de quadrículas. 
Assim a medida da área 
de uma figura é 
determinada pela 
contagem do número de 
quadrículas contidas na 
mesma. 
A figura ilustra o conjunto 
de quadrículas contidas 
em uma área traçada 
sobre um mapa. É 
utilizada em áreas 
impressas em mapas ou 
cartas.
A área da figura é em função da área da 
quadrícula base (Aq) e do número de 
quadrículas envolvidas (Qn). 
nqQAA
Mecânico
 Um planímetro polar é um dispositivo que pode ser usado para medir 
a área de uma figura sobre um papel, seguindo o traçado do limite da 
figura com um cursor. À medida que o cursor é movido sobre a figura, 
a área interna é mecanicamente integrada e registrada sobre um 
tambor e um disco. Se o pólo de fixação é colocado do lado de fora da 
área a ser medida, a área da figura será igual a: 
cnAOnde:
c = a uma constante
n = é a diferença entre a leitura inicial e final do tambor.
Eletrônico
 AutoCAD: Software de representação 
gráfica computacional, muito útil em 
trabalhos topográficos, para definir a área 
de um perímetro com as coordenadas 
previamente definidas.
Após 
desenhada e 
selecionada a 
poligonal, o 
programa 
calcula os 
valores de 
área e 
perímetro.
AutoCAD
O comando 
calcula a área de 
qualquer 
perímetro, não 
só de polígonos 
com lados retos.
AutoCAD
Balança de Precisão
 Este método avalia a área de uma figura em função do seu peso. 
 Para tanto, é necessário que se tenha à disposição uma balança de precisão 
(leitura entre o 0,01 e 0,001g). 
 O método consiste em tomar como amostrauma figura cuja área seja 
conhecida e que esteja representada sobre papel cuja gramatura seja a mesma 
da figura que se quer avaliar. 
A área da figura que ser quer avaliar poderá, então, ser facilmente obtida através de 
uma regra de três simples, ou, através da seguinte relação: 
M
m
s
S
A
A
