AULA 4 DISTANCIAS E ANGULOS

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aula 4 
Prof. Baggio 
Reta 
Distância entre dois pontos. 
Dados 2 pontos, A e B, a distância entre eles, que será 
indicada por d(A,B), é a medida do segmento de 
extremidades A e B. 
y 
y 
A(1,1) 
3 x x 1 
1 
B(3,1) 
d(A,B)=3-1=2 
B(1,3) 
A(4,1) 
1 
1 
3 
 4 
[d(A,B)]2=32 + 22 ⇒ d(A,B)= 13 
0 0 
Distância entre dois pontos 
Podemos determinar uma expressão que indica a 
d(A, B, ∀ que sejam A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) 𝑒 B(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵). 
O ∆ABC é ⊿ em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras: 
x 
A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) 
𝑦𝐵 
y 
𝑦𝐴 
𝑥𝐴 𝑥𝐵 
B(𝑦𝐵 , 𝑦𝐵) 
C(𝑥𝐵 , 𝑦𝐴) 
⟶ 
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 
B 
A 
d(A,B) 
C 
[d(A,B)]2= (𝑥𝐵−𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵−𝑦𝐴)
2
 ⇒ 
d(A,B) = (𝒙𝑩−𝒙𝑨)𝟐 + (𝒚𝑩−𝒚𝑨)𝟐 
0 
Distância entre dois pontos 
Exemplo: 
Um ponto P(a,2) é equidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). 
Calcule a abscissa do ponto P. 
 
d(P,A) = d(P,B) por serem equidistantes. 
d(P,A) = (𝑥𝐴−𝑥𝑃)2 + (𝑦𝐴−𝑦𝑃)2 e d(P,B) = (𝑥𝐵−𝑥𝑃)2 + (𝑦𝐵−𝑦𝑃)2 ⇒ 
 (3 − 𝑎)2+(1 − 2)2 = (2 − 𝑎)2+(4 − 2)2 ⇒ 
 (3 − 𝑎)2+ 1 = (2 − 𝑎)2 + 4 ⇒ 9 − 6a + 𝑎2 + 1 = 4 − 4𝑎 + 𝑎2+4=0 
⇒−6a + 4𝑎 = 4 + 4 − 9 − 1 = 0 ⇒ 
 −2a = −2 ∴ a=1 
Verificando: 
a=1 ⇒ 
d P, A = (3 − 1)2+(1 − 2)2= 5
d P, B = (2 − 1)2+(4 − 2)2= 5
 
 Então, a abscissa do ponto P é 1 
 
Distância de um ponto a uma reta 
Devemos recordar, da Geometria plana, que a distância de 
um ponto A a uma reta r é a medida do segmento de 
extremidades em A e na sua projeção ortogonal sobre r. 
A 
B 
r 
Distância do ponto A 
à reta r:AB 
. 
Projeção ortogonal de A 
sobre r 
d = 
𝒂𝒙𝒑+𝒃𝒚𝒑+𝒄
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 
Distância de um ponto a uma reta 
Exemplo: 
Determine a distância do ponto A(3,5) à reta r, de equação x+2y-8=0. 
y 
x 
A(3,5) 
A’ 
0 
5 
 3 
. 
r 
s x+2y-8=0 ⇒y = −
1
2
𝑥 + 4 ∴ 𝑚 = −
1
2
 
Equação da reta s: 𝑚2 = −
1
𝑚1
 = −
1
−
1
2
 = 2 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ⇒ 𝑦 − 5 = 2 𝑥 − 3 
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
Coordenadas de A’: são aquelas do ponto 
de encontro de r e s: 
 
𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 (.2)
 
 
𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
4𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0 
 ⇒ 𝑥=2 
Se 𝑥=2 ⇒ y=3 
Distância de um ponto a uma reta 
Portanto, A’(2,3) 
Cálculo da distância entre A e A’: 
d(A,A’) = (𝑥𝐵−𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2 
d(A,A’) = (3 − 2)2 + (5 − 3)2 = 𝟓 , 
logo a 𝐝 𝐀, 𝐫 = 𝟓 
Pela fórmula da d(P,r), temos 
 = 
1.3+2.5−8
12+22
 = 
3+10−8
5
 = 
5
5
 =
5. 5
5. 5
= 𝟓 d = 
𝑎𝑥𝑝+𝑏𝑦𝑝+𝑐
𝑎2+𝑏2
 
Ângulo de duas retas concorrentes 
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos 
e que, conhecido um deles, determinamos os 
demais: 
r 
s 
𝛃 
𝛂 𝛄 
𝛅 
r e s são concorrentes e 
determinam os ângulos de medidas 
𝛂, 𝛃, 𝛄 e 𝛅 
𝛂+𝛃+𝛄+𝛅=360° 
𝛂=𝛄 e 𝛃=𝛅 (opostos pelo vértice 
𝛂+𝛃= 𝛃+𝛄= 𝛄+𝛅= 𝛅+ 𝛂 =180° 
Ângulo de duas retas concorrentes 
Como determinar um dos ângulos formados por duas retas 
concorrentes, r e s, a partir de suas equações. 
Chamaremos esse ângulo de 𝛉. 
1º caso: Uma reta, r, é paralela ao eixo x e a outra, s, é 
paralela ao eixo y; ou então, uma tem coeficiente angular 
𝒎𝟏 e a outra, 𝒎𝟐, tal que 𝒎𝟏 . 𝒎𝟐=-1 
Em ambas as situações temos r e s ⊥ s. Logo, 𝛉 = 90°. 
y 
y 
x x 
r s r 
s 
. . 
. 
. 
0 0 
Ângulo de duas retas concorrentes 
Exemplo 1 - r: y=4 
 𝛉=90° 
 s: x=3 
Exemplo 2 – r: y=2x+6 
 s: y-5= - 
1
2
 (𝑥 − 4) 
 
 𝑚1 . 𝑚2=2.(- 
1
2
) = -1 
 
 r ⊥ s ⇒ 𝛉=90° 
Ângulo de duas retas concorrentes 
2º caso: Uma das retas,r, é // ao eixo x e a outra, s, 
tem coeficiente angular m=tg 𝛂. 
 y 
x 
r 
s 
. 𝛉 
𝛂 
Nesse caso r é // ao eixo x e s é uma 
transversal. Então: 
𝛉=𝛂 ⇒ tg 𝛉 = tg 𝛂=m 
 
Considerando 𝛉 o ângulo agudo 
formado por r e s, podemos 
escrever: 
 
 tg 𝛉 = |m| 
 
0 
Ângulo de duas retas concorrentes 
Exemplo- Dado: 
r: y=5 
 r é // ao eixo x e s tem m=3 
s: y-2=3(x+4) 
 
 
Logo, o ângulo agudo 𝛉 formado por r e s é tal que 
 
 tg 𝛉 = 3 
 
Ângulo de duas retas concorrentes 
3º caso: Uma das retas, r, é // ao eixo y e a outra, s, 
tem coeficiente angular m. 
 y 
x 
r 
s 
. 
𝛉 
𝛂 
0 
Então: 
𝛉+𝛂=90°⇒𝛉=90°-𝛂 ⇒tg 𝛉=tg(90°-𝛂)= 
cotg 𝛂 = 
1
𝑡𝑔𝛂 = 
1
𝑚
 
 
Considerando 𝛉 agudo, temos: 
 
 tg 𝛉 = |
𝟏
𝒎
| 
Ângulo de duas retas concorrentes 
Exemplo- Dado: 
r: x=4 (r // y) 
S: 2x+6y-1=0 ⇒y=−
1
3
𝑥 +
1
6
 ⇒ m=−
1
3
 
 
O ângulo agudo 𝛉, formado por r e s, é tal que: 
 
tg 𝛉 = 
1
−
1
3
 = 3 
Ângulo de duas retas concorrentes 
4º caso: 
As retas r e s, de coeficientes angulares 𝒎𝟏 𝑒 𝒎𝟐,
não são paralelas aos eixos, são concorrentes, mas 
não são perpendiculares. 
y 
x 
r 
s 
0 
𝛉 
𝛃 𝛂 
Então: 
𝛉+𝛃 =𝛂⇒𝛉= 𝛂-𝛃⇒tg𝛉=tg(𝛂- 𝛃)= 
 
𝑡𝑔𝛂−𝑡𝑔𝛃
1+𝑡𝑔𝛂.𝑡𝑔𝛃 = 
𝒎𝟏 − 𝒎𝟐
1+𝒎𝟏 .𝒎𝟐
 
 
Para 𝛉 agudo temos: 
tg 𝛉 =| 
𝒎𝟏 − 𝒎𝟐
𝟏+𝒎𝟏 .𝒎𝟐
| 
 
Ângulo de duas retas concorrentes 
 
Exemplo: 
r: y-4=3(x-5) ⇒ m1=3 
s: 
𝑥
7
2
+
𝑦
7
=1 ⇒ y=-2x+7 ⇒ 𝑚2 = −2 
 
tg 𝛉 =| 
𝑚1 − 𝑚2
1+𝑚1 .𝑚2
|=| 
3−(−2)
1+3(−2)
|=|
5
−5
| = |-1| = 1 ⇒ 
 
 𝛉=45°