Apostila Geometria Analítica (1)

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Professor: Mauro Guilherme Raimundo
CURSO 
Engenharia civil
e
Engenharia de produção
Disciplina:
Geometria Analítica
Docente responsável pela disciplina
Professor: M.e MAURO GULHERME RAIMUNDO
E-mail: mauro@esucri.com.br
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. MAURO GUILHERME RAIMUNDO
CURSO: ENGENHARIA CIVIL ALUNO(A):__________________________________________
INTRODUÇÃO:
A geometria analítica é formada pela união da Geometria e da Álgebra para o estudo das formas e suas respectivas equações.
A representação das formas é feita sobre um sistema de eixos chamado Cartesiano Ortogonal.
HISTÓRICO:
Por volta dos anos 300 A.C., Euclides sistematizou a geometria em sua obra “Os elementos” é a base dos estudos da geometria até os dias de hoje. Por volta de 300 D.C., Diofanto iniciou os estudos com álgebra. Já em 800 D.C. Al-Khowarizmi contribuiu com o estudo da álgebra. No século XVII, Pierre Fermat descobriu as equações da reta, da circunferência, da elipse, parábola e da Hipérbole.
Foi René Descartes (1596- 1650), filósofo e matemático francês que ficou conhecido como um dos criadores da Geometria Analítica. Descartes graduou-se em Direito, em Poitier. Foi ele quem introduziu a noção de coordenadas no plano. Descartes rompeu com as tradições clássicas da geometria grega, criando a Geometria Analítica. A Geometria Analítica ou Geometria com coordenadas funde duas grandes áreas da matemática: Álgebra e Geometria.
A Geometria Analítica permite interpretações geométricas de fatos algébricos e o estudo algébrico de fatos geométricos. A utilização do Método Cartesiano auxiliou decisivamente no progresso das ciências. Descartes, participou ativo em várias campanhas militares como a do Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o “Discurso do Método” onde expõe a teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contígua. Em 1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 onde v, f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas de um poliedro simples. Após 1628, percebendo a eficiência de seus métodos, publicou “A Geometria”, que consta de três livros. Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de Ciências em Estocolmo e como nunca teve uma boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.
Fontes: 1- IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar. Ed. ATUAL, 1985. 2- GIOVANNI, José Ruy. Matemática 3. FTD, 1992. 3- DALPIAZ, Márcia Vilma Aparecida Depiné. Geometria Analítica:caderno de estudos. Ed. ASSELVI, 2007.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NA RETA:
Na reta os pontos A e B distam 3 unidades e que 3 é obtido pela diferença de 5 – 2.
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 3 unidades
Se usarmos valor absoluto ou módulo, e sabendo que / 5 -2/ = /2 – 5/ = 3, não precisaremos nos preocupar com a ordem da subtração. Generalizando, a distância entre os pontos A e B, de coordenadas a e b, respectivamente, é dada por:
 A B d (A,B) = / b – a /
 a b
Exemplo: Dados os pontos A, B e C de coordenadas -4, 2 e 6, respectivamente, calcular:
A distância entre A e B;
O comprimento do segmento BC.
Resolução:
 d (A,B) = /b – a/
 d (A,B) = /2 – ( - 4)/
 d (A,B) = /2 + 4/
 d (A,B) = / 6 / 6
d (B,C) = / c – b /
d (B,C) = / 6 – 2 /
d (B,C) = / 4 / 4
EXERCÍCIOS
1) Dada a reta real da figura, calcule:
 A B C R
 -5 -2 5
a) d(A,B) =
b) d(A,C) =
 c) d(B,C) =
d) d(C,A) = 
2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B, indicados na figura, é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.
 A B
 R
2 m 
 3) Se na reta, os pontos A, B e C têm coordenadas -8, -3 e 2, respectivamente, calcule o comprimento do segmento:
 a) AB;
 b) BC;
 
 c) CB;
 
 d) CA.
O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL:
O sistema cartesiano ortogonal é constituído por duas reta x e y, perpendiculares entre si.
 Y
 
 2º Quadrante 1º Quadrante
 O
 x
 
 3º Quadrante 4º Quadrante
Todo par ordenado (a , b) de números reais fica associado a um único ponto P do plano.
Todo ponto p do plano fica determinado, quando sua abscissa “a” e sua ordenada “b” são dadas.
OBS: 1- Se P pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas são (a, 0);
 2- Se P pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0, b);
 3- Se P pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas são iguais;
 4- Se P pertence à bissetriz do 2º e 4º quadrantes, suas coordenadas são simétricas.
EXERCÍCIOS:
Represente os pontos no plano cartesiano ortogonal:
A (-1, 4)
(-3, -3)
(-2, 0)
(0, 1)
Responda:
Quais são as coordenadas da origem?
Em que quadrantes se encontram os pontos A(-5, 3) e B(-5, -3) ?
Se um ponto A tem abscissa diferente de zero e ordenada nula, em que eixo o ponto se encontra?
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância d(A, B).
 Y Pelo teorema de Pitágoras temos:
 Y2 B(x2, y2) [d(A, B)]2 = [d(A, C)]2 + [d(B,C)]2
 
y2-y1 d(A, B) = 
	 Y1 A(x1,y1) C(x2, y1)
 x
 X1 x2
 x2-x1
EXEMPLOS: 1) Calcular a distância entre os pontos A( -1, 4) e B (3, 2).
Resolução:
d(A, B) = 
d(A, B) = 
d(A, B) = 
d(A, B) = 
d(A, B) = 2 . 
OBS: /x2 – x1/ = /x1 –x2/ (x2 – x1)2 = (x1 –x2)2 
 /y2 – y1/ = /y1 –y2/ (y2 – y1)2 = (y1 –y2)2 
A ordem dos termos nas subtrações não influi no cálculo da distância, conforme vamos observar. 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 2 .2) Sabe-se que o ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa “a” do ponto P.
Resolução: Se P é equidistante de A e B, temos:
d(P,A) = d(P,B) 
 
 = 
 = 
	
 3)Provar que é isósceles o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, -2); B(-3, -1) e C(1, 6).
Resolução:
 A(2, -2) e B(-3, -1)
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) ≈ 5,1
____________________________________________________________
A(2, -2) e C(1, 6)
 d(A, C) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) ≈ 8,06
______________________________________________________________
B(-3, -1) e C(1, 6)
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) ≈ 8,06 Portanto o triângulo ABC é isósceles
EXERCÍCIOS: 1) Calcular a distância entre os pontos:
A( 1, 3) e B (9, 9)
A( -3, 1) e B (5, -14)
A( -4, -2) e B (0, 7)
2) Calcular o comprimento do segmento AB, sendo A( 1/2, -1/3) e B (5/2, 1/3)
Dados os pontos A( 2√3, 3) e B (4√3, 1), calcule d(A, B).
Calcule a distância do ponto M(-12, 9) à origem.
Determine as coordenadas de um ponto A, que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, sabendo que o ponto está a igual distância dos pontos B(7, 2) e C(-2, 1).
A distância do ponto P(a, 1) ao ponto A(0, 2) é igual a 3. Calcule o número “a”.
Calcule o número real “a” de forma que a distância do ponto P(2 a, 3) ao ponto Q(1, 0) seja igual a 3√2.
Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo que seus vértices são A(1, 3); B(7, 3) e C(7, 11).
Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5); B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e calcule o seu perímetro.
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:
Em muitos problemas, precisaremos determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento AB em função das coordenadas das extremidades A e B do segmento. Para isso, consideremos os seguintes casos:
Os pontos A e B de abscissas Xa e Xb ( Xa < Xb), respectivamente, estão no eixo X.
Sendo “M”, de abscissa Xm, o ponto médio do segmento AB, temos:
d(A,M) = d(M,B)
/Xm- Xa/ = /Xb – Xm/
Xm- Xa = Xb – Xm
Xm + Xm = Xa + Xb A M B
2 Xm = Xa + Xb Xa Xm Xb
 Xm = (Xa + Xb)/ 2
Os pontos A e B de ordenadas Ya e Yb ( Ya < Yb), respectivamente, estão no eixo Y.
Sendo “M”, de ordenada Ym, o ponto médio do segmento AB, temos:
d(A,M) = d(M,B)
/Ym- Ya/ = /Yb – Ym/ B Yb
Ym- Ya = Yb – Ym
Ym +Ym = Ya +Yb M Ym
2 Ym = Ya + Yb
Ym = (Ya + Yb) / 2 A Ya
Concluímos que:
A abscissa do ponto médio é a média aritmética das abscissas das extremidades do segmento; a ordenada do ponto médio é a média aritmética das ordenadas das extremidades do segmento.
Exemplo:
Determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB, sendo dados A(-1, 4) e B(5, 2).
Resolução:
Aplicando a fórmula: Xm = (Xa + Xb)/ 2 
 Xm = (-1 + 5) / 2 
 Xm = 2
 Ym = (Ya + Yb) / 2 portanto: M(2, 3)
 Ym = (4 + 2) / 2
 Ym = 3
EXERCÍCIOS
Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(13, 19). Sendo M(-9, 30) o ponto médio do segmento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade do segmento.
Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4); B(2, -6) e C(-4, 2). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo.
Determinar as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades A(1, 2) e B(6, 8).
Obtenha em cada caso, as coordenadas do ponto médio do segmento AB.
A(1, 7) e B(11, 3)
A(-2, 5) e B(-4, -1)
A(0, 3) e B(0, -3)
A(-6, 9) e B(-2, -5)
Sabe-se que M(a, b) é o ponto médio da segmento AB. Se A(11, -7) e B(-9, 0), calcule as coordenadas do ponto M.
Uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são (-2, -2). O ponto médio desse segmento tem coordenadas (3, -2). Determinar as coordenadas X e Y da outra extremidade do segmento.
Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados de um triângulo são M(-2, 1); N(5, 2) e P(2, -3).
Determinar as coordenadas do ponto B, simétrico do ponto A(-1, 2) em relação ao ponto 
C(3, 4), em um segmento.
Calcule o comprimento das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0); B(4, -6) e C(-1, -3).
Determinar as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades A(-2, -1) e B(3, 2).
 No plano cartesiano, os pontos A(-1, 1); B(3, 1); C(3, 5) e D(-1, 5) são os vértices de um quadrado. Determine as coordenadas do centro desse quadrado.
Dada a reta real:
 M A B C x
 K -6 -1 9
Determine a abscissa K do ponto M tal que: MA = AB + AC + BC
Dados A(2, -5) e B(7, 7), calcule d(A,B).
Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos M(1, 4) e N(-1, 2). Determine as coordenadas do ponto P.
Seja A um ponto do eixo das ordenadas. Dado o ponto B(-3, -2), calcule as coordenadas do ponto A de forma que o comprimento do segmento AB seja igual a 5.
Dados P(x, 2); A(4, -2) e B(2, -8), calcule o número real x de modo que o ponto P seja equidistante de A e B. (Sendo que os pontos A e B não são colineares)
Um quadrilátero ABCD está definido pelos pontos A(-1, -1); B(1, 1); C(3, 1) e D(-1, -3). Calcule o perímetro desse quadrilátero.
São dados os pontos A(2, y); B(1, -4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de Y para que o triângulo ABC seja retângulo em B?
O ESTUDO DA RETA
Condição de alinhamento de três pontos: Dados três pontos A(X1, Y1); B(X2, Y2) e C(X3, Y3) dizemos que os pontos estão alinhados se e somente se:
 =0
Exemplo:
Determinar o valor de “m” para que os pontos A(m, 3); B(-2, -5) e C(-1, -3) sejam colineares.
Resolução:
 =0 
 =0 → -5m -3 +6 -5 + 3m = 6 =0 → -2m +4 = 0 → -2m = -4 → m = -4 / -2 → m= 2
 
Determinar o valor de “a” para que os pontos A(2, 1); B(a+1, 2) e C(-3, -1) sejam os vértices de um triângulo.
Resolução: OBS: Para que A,B e C sejam os vértices de um triângulo, não devem estar alinhados.
 ≠ 0 → ≠ 0 → 4- 3 –(a+ 1) +6 + 2 – ( a + 1 ) ≠ 0 
 
→ 4- 3 –a-1 +6 + 2 – a - 1 ) ≠ 0 → -2 a + 7 ≠ 0 → a ≠ -7/ -2 → a ≠ 7/ 2 → a ≠ 3,5
EXERCÍCIOS
Verifique se os pontos A,B e C estão alinhados:
A(0, 2); B(-3, 1) e C(4, 5)
A(-2, 6); B(4, 8) e C(1, 7)
A(-1, 3); B(2, 4) e C(-4, 10)
Determinar o valor de “m” para que os pontos A(0, -3); B(-2m, 11) e C(-1, 10m) estejam em linha reta.
Determinar o valor de “t” sabendo que os pontos A(1/2, t); B(2/3, 0) e C(-1,6) são colineares.
Os pontos A(-1, 2); B(3, 1) e C(a, b ) são colineares. Calcule “a” e “b” de modo que o ponto C esteja localizado sobre o eixo das abscissas.
Seja “P” o ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos pontos A(-1, -2) e B(4, 2), calcule as coordenadas do ponto “P”. 
Determine “x” de modo que os pontos A(1, 3); B(x, 1) e C(3, 5) sejam os vértices de um triângulo.
INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA:
Inclinação: A figura a seguir nos mostra uma reta r, não paralela ao eixo x. Seja α o ângulo que a reta forma com o eixo x, medido do eixo para r no sentido anti-horário. 
 y
 A medida do ângulo α é chamada Inclinação da reta r.
 r
 α
 x
COEFICIENTE ANGULAR ou DECLIVIDADE: 
Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja:
 m = tg α
Pode ocorrer:
 Y
 Se 0° < α < 90° tg α > 0 m > 0 
 r 
 α
 X
 Y
 r 
 Se 90° < α < 180° tg α < 0 m < 0 
 
 α
 X
 
 Y
 r 
 Se α = 90° tg α não é definida
 r é vertical
 α
 X
 
 Y
 
 Se α = 0° tg α = o° m = 0
 r 
 α
 X
 
OBS: Pelos gráficos, podemos observar que α é único e tal que 0° ≤ α ≤ 180°.
O CÁCULO DO COEFICIENTE ANGULAR:
Consideremos a reta r que passa pelos pontos A (x1, y1) e B (x2, y2).
 No triângulo retângulo abaixo, temos: (obs: k =m)
 Tg α = (Y2 - Y1)/ x2 – x1 
 m = (Y2 - Y1)/ x2 – x1 com x1 ≠ x2
 
Devemos observar que a fórmula acima vale, também, para o caso de 90° < α < 180°.
EXEMPLOS: 
Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (3, 2) e B(-3, -1) e esboçar seu gráfico no plano cartesiano.
Resolução: O cálculo do coeficiente angular → m = (Y2 - Y1)/ x2 – x1 
 m= 
 m= 1/2
 r
Esboço do gráfico: y 
 2 A 
 
 -3 3 X
 -1
 B
O crescimento y de uma cultura biológica passa de 8 cm2 para 10 cm2, enquanto o tempo x aumenta de 1 para 2 horas. Determinar a taxa média de crescimento dessa cultura.
Resolução: m = (Y2 - Y1)/ x2 – x1 
 M = → m = 2 A Taxa de crescimento é de 2 cm2/hora. 
EXERCÍCIOS:
Determinar o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos A e B e faça e faça o gráfico de cada reta, quando:
A(-1, 4) e B(3, 2)
A(4, 3) e B(-2, 3)
A(2, 5) e B(-2, -1)
A(4, -1) e B(4, 4)
Um cientista verifica que, quando a pressão de um gás é de 1 atm o volume é de 20 cm3 e, quando a pressão é de 7 atm, o volume é de 8 cm3. Calcule a taxa média de volume representada pela declividade entre P1 e P2.
Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produção y diminui de $ 100,00 para $ 80,00. Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos.
EQUAÇÃO DA RETA:
Quando estudamos função, verificamos que uma função do 1º grau é definida por uma equação do 1º grau com duas variáveis e que o seu gráfico é uma reta. Reciprocamente, podemos dizer que uma linha reta é representada por uma equação do 1º grau com duas variáveis.
Vamos ver essa representação:
Equação de uma reta que passa por um ponto P (x1, y1) e que cujo coeficiente angular é n.
Consideremos a reta r que passa pelo ponto P (x1, y1) e tem um coeficiente angular m.
 
 Y r 
 * P(x1, y1) 
 x
 
Marcando o ponto Q(x, y) sobre a reta r, com Q ≠ P, vamos determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois pontos. 
 
 Y * Q (x, y) 
 * P(x1, y1) 
 X Utilizando a fórmula do coeficiente angular, temos: 
 r 
 m = 
 m = → 
 y – y1 = m .(x – x1)
 Equação de uma reta que passa por um ponto P (x1, y1) e que cujo coeficiente angular é n.
OBS: Se a reta r é vertical, então todos os pontos da reta têm a mesma abscissa. Assim, o ponto Q (x, y) é um ponto qualquer da reta se, e somente se, x = x1. 
 Y
 * Q(x, y) 
 
 * P(x1, y1) 
 X
 r
 
Exemplos: 
Determinar a equação de uma reta r que passa pelo ponto A(-1, 4) e tem coeficiente angular 2.
Resolução: y – y1 = m .(x – x1)
 Y – 4 = 2.(x –(-1))
 Y - 4 = 2. (x + 1)
 Y – 4 = 2 x + 2 
 2x – y + 6 = 0
Determinar a equação de uma reta que passa pelo ponto P (2, 5) e tem uma inclinação de 60°.
Resolução: y – y1 = m.(x – x1)
 Y – 5 = √3.(x –2)
 Y - 5 = √3.x –2 √3
 √3.x – y + 5 – 2 √3 = 0
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação de uma reta que passa pelo ponto A(2, -3) e tem coeficiente angular 1/2.
Uma reta r passa pelo ponto P(2, 4) e tem coeficiente angular m = -3. Determinar a equação (geral) da reta r.
Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(-1, -4) é de 45°.
Determinar a equação (geral) da reta que passa pelo ponto P(4, 1) e tem uma inclinação de 45°.
Dado o ponto A (-2, 3), calcule as coordenadas do ponto B(3k, k +1) de modo que o coeficiente angular da reta AB seja ½.
Ache a equação Geral da reta r em cada caso: 
 a) r
 y 
 
 1 30°
 X
 3 
 
 y 
 4 
 135°
 X
 -4
 r
 
b)Equação Reduzida da reta: Já sabemos que a equação da reta, se forem conhecidos um ponto P(x1, y1) da reta e o coeficiente angular m é dada por:
 y – y1 = m.(x – x1)
 Se escolhermos o ponto particular de coordenadas (0, n) para o ponto (x1, y1), teremos a equação: y – y1 = m .(x – x1)
 Y – n = m.(x – 0)
 Y - n = m. x onde: m = coeficiente angular 
 Y = m. x + n n = coeficiente Linear
EXEMPLO: Escrever na forma reduzida a equação da reta que passa pelo ponto A(1, 5) e tem coeficiente angular -2.
 
 y – y1 = m .(x – x1)
 Y – 5 = -2.(x – 1)
 Y - 5 = -2. X + 2
 Y = -2. x + 2 + 5
 Y = -2x +7 
EXERCÍCIOS:
Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular 2 e que cruza o eixo y no ponto (0, -3).
A equação reduzida de uma reta é y = 4x -1.
Calcule:
O ponto da reta de abscissa 2;
O ponto de intersecção da reta com o eixo OX;
O ponto de intersecção da reta com o eixo Oy. 
Dada a reta que tem como equação 3x +4y = 7, determine o coeficiente angular da reta.
Uma reta passa pelo ponto P(-2, -4) e tem coeficiente angular -2/3. Determine o coeficiente linear da reta.
c)Equação Segmentária da reta:
Consideremos uma reta r, tal que:
 Y 
 r 
 B (0, q) 
 
 
 A (p,0) 
 x
 
 
* “r” intercepta o eixo x no ponto A ( p,0) 
* “r” intercepta o eixo y no ponto B ( 0,q)
Daí: se m = y2 –y1 / x2 – x1
 m= → → m = então a equação da reta será:
y – y1 = m .(x – x1)
 Y – 0 = . (x – p)
 Y = x + . p
 Y = x + 
 Py = -q x + p q
 (q x + p y) / pq = (pq)/ pq → + = 1 ← Equação segmentária da reta
EXEMPLO: Determinar a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(-4, 0) e B(0, 8).
Resolução: Se A(-4, 0) e B(0, 8), então p = -4 e q = 8, temos:
 + = 1 → + = 1 
 Y 
 r 
 B (0, 8) 
 
 
 A (-4,0) 
 x
 
EXERCÍCIOS:
Ache a equação segmentária da reta r, indicada na figura:
 y 
 
 r 
 10 x 
 -5 
 
Escreva a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, 2).
Uma reta r passa pelos pontos P1 (3, 0) e P2(0, -4). Escreva a equação da reta r na forma segmentária. 
Escreva a equação segmentária da reta cujas intersecções com o eixo x e com o eixo y são, respectivamente, os pontos P1 (5, 0) e Q(0, -3). 
*************************************************************************************
EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 
 
 y 2 * B(x2, y2)
 y * P(x, y)y1 * A(x1, y1) 
 X 
 X1 x x2 
Considerando a reta r indicada na figura e os ponto A(x1, y1) e B(x2, y2) sobre ela.
Seja P(x, y) um ponto qualquer dessa reta. Se os pontos P, A e B são colineares, temos:
 =0 → xy1 +x2y + x1 y2 – x2 y1 – x y2 – x1 y = 0
→ (y1 -y2)x + (x2- x1).y +(x1 y2 – x 2y1) = 0
FAZENDO:
y1 -y2 = a
x2- x1 = b
x1 y2 – x 2y1 = c → Obtemos a equação geral da reta r:
 ax + by +c = 0
Assim, podemos afirmar:
Toda reta possui uma equação da forma ax + by +c = 0, onde “a” e “b” não são nulos, que é chamada Equação Geral da reta.
O coeficiente angular da reta é dado por:
m = = → m = 
 EXEMPLOS:
O ponto M(a2 -1, 3a) pertence à reta de equação x + y – 3 = 0. Calcular as coordenadas do ponto M.
Resolução: x + y – 3 = 0
 a2 -1 +3.a - 3 = 0 → a2 + 3 a – 4 = 0 → ∆ = 25 → a’ = 1 e a”= - 4
Se a = 1 → M(0, 3) Se a = -4 → M(15, -12)
Seja a reta determinada pelos pontos A(-1, 4) e B(5, -2). Determinar a equação geral da reta dessa reta.
Resolução: 
 r Y Como os pontos P, A e B devem estar alinhados, e de
 A * 4 acordo com a condição de alinhamento de 3 pontos,
 Temos: 
 * P(x,y) 
 
 5 x
 -1 
 -2 * B 
 =0 → 
 =0 → x + y – 3 = 0
Os pontos A(1, 2); B(3,1) e C(2, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar a equação geral das retas suportes dos lados desse triângulo.
Resolução:
Equação da reta suporte AB: 
 =0 → x + 2y – 5 = 0
Equação da reta suporte AC: 
 =0 → 2x - y = 0
Equação da reta suporte BC: 
 =0 → 3x + y – 10 = 0
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos:
(-1, -2) e (5, 2)
(2, -1) e (-3, 2)
(1/2, 2/3) e (-1/4, 1)
Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos P(2, 3) e pelo ponto Q, simétrico de P em relação à origem.
Verifique se o ponto A(2, 2) pertence à reta de equação 2x + 3y – 10 = 0
A reta de equação 3kx +(k – 3) y - 4 = 0 passa pelo ponto P(2, 1). Calcule:
o valor de k, 
escreva a equação geral da reta e 
determine o seu coeficiente angular.
Determine a equação geral da reta em cada caso:
y
 r
 7 
 4 
 
 X 
 1 2
 
 r
 y
 
 2 
 
 -1 
 X 
 
 -2
c) y
 
 r 
 3 
 
 - 1 2 X 
 -12
 
 r
d) y
 
 6 
 
 
 0 6 X 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS:
Até o momento mostramos que as equações Geral, Reduzida e Segmentária relacionam diretamente entre si e as coordenadas x e y.
Porém, podemos escrever a equação de uma reta em função de uma terceira variável t, denominada Parâmetro, da seguinte forma:
X = x1 + t. v1
Y = y2 + t .v2 com t є R, v1 ≠ 0 e v2 ≠ 0.
A esse sistema damos o nome de representação paramétrica ou equações paramétricas da reta.
Para obtermos a equação Geral de uma reta definida por equações paramétricas, eliminamos o parâmetro “t” entre essas duas equações. 
Exemplo: Determinar a equação Geral de uma reta definida pelas equações paramétricas:
Resolução:
X = 4 + 2 t X = 4 + 2 t → (x -4)/2 = t e y = 1 - t → y-1 = -t →-y +1 = t 
y = 1 - t -y +1 = (x -4) /2 → -2y + 2 = x – 4 → x +2y -4 -2 = 0 →
 x + 2y -6 = 0
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação Geral das retas definidas por:
X = 1 + t 
Y = 5 – 3t
X = t
Y = (t/2) +5
Seja a reta definida por:
X= 3 – 2k
Y = 4 + k
Determinar os pontos de intersecção com os eixos coordenados.
Ache o ponto da reta cuja abscissa é ½.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS:
Consideremos as retas l1: y1 = m1 x + n1 e l2: y2 = m2 x + n2 de inclinações α1 e α2, respectivamente:
Pode ocorrer:
1º Caso: α1 = α2
 Neste caso, l1 e l2 são paralelas, conforme observamos: 
 y 
 l2 l1 
 
 0 α2 α1 X 
 l1 y 
 l20 α2 α1 X 
Se α1 = α2 → tg α1 = tgα2 → m1 = m2
 No caso particular de α1 = α2 = 90°, as retas l1 e l2 são verticais.
 y l2 l1 
 
 
 0 α2 α1 X 
2º Caso: α1 ≠ α2
 Neste caso, l1 e l2 não são paralelas, ou seja, l1 e l2 são concorrentes.
 
 y l1 l2 
 
 
 0 α2 α1 X 
Se α1 ≠ α2 → tg α1 ≠ tgα2 → m1 ≠ m2
RESUMINDO:
Reta l1: y1 = m1 x + n1
Reta l2: y2 = m2 x + n2
Se: m1 ≠ m2 → l1 e l2 são concorrentes.
 m1 = m2 e n1 ≠ n2 → l1 e l2 são Paralelas distintas.
 m1 = m2 e n1 = n2 → l1 e l2 são Paralelas coincidentes.
EXEMPLOS:
	1)Determinar a posição da reta r, de equação 2x –3y + 5 = 0, em relação à reta s, de equação 
4 x – 6y – 1 = 0 .
Resolução: Calcular o coeficiente angular m1 da reta r:
2x –3y + 5 = 0 → -3y = - 2x – 5 → 3y = 2 x + 5 → y = (2 x + 5)/ 6 → y = 2/3 x + 5/3 → m1 = 2/3
Calcular o coeficiente angular m2 da reta s:
4 x – 6y – 1 = 0 → -6y = -4x + 1 → 6y = 4x -1 → y = (4x -1)/ 6 → y = 4/6 x – 1/6 → y = 2/3 x – 1/6→
m2 = 2/3 
Comparando m1 e m2 temos: m1 = m2 → portanto: r //s.
2)Para que valores de “a”, as retas l1 e l2, de equações 2x +(a – 2) y – 5 = 0 e 4x +ay -1 = 0, respectivamente, são concorrentes?
Resolução: (Se l1 e l2 são concorrentes m1 ≠ m2).
Calcular o coeficiente angular m1 da reta l1: 
2x +(a – 2) y – 5 = 0 → (a -2) y = -2x + 5 → y = (- 2 x + 5) / a-2 → y = -2 x / (a -2) + 5/ (a -2) →
→ m1 = 
Calcular o coeficiente angular m2 da reta l2: 
4x +ay -1 = 0 → ay = -4 x + 1 → y = → y = + → m2 = -4/a
Se l1 e l2 são concorrentes então m1 ≠ m2. 
 ≠ → ≠ → -2 . a ≠ -4 a +8 → -2 a + 4 a ≠ 8 → 2 a ≠ 8 → 
a ≠ 8/2 → a ≠ 4
3)Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A(3, -5) e é paralela à reta de equação 8x – 2y +1 =0.
Resolução: Calcular o coeficiente angular m da equação 8x – 2y +1 =0.
8x – 2y +1 =0 → 8x + 1 = 2y → y = → y = 4x + → m = 4
A reta pedida deve ter o coeficiente angular m = 4 e passar pelo ponto A(3, -5).
y – y1 = m.(x – x1)
y –(- 5) = 4 (x – 3) → y+ 5 = 4x – 12 → 4x –y -12 -5 =0 → 4x –y -17 = 0
		
4)Na figura, ABCD é um quadrado. Determinar a equação Geral da reta suporte do lado AB.
 
 y 
 8 D(4, 8)
 6 C(8, 6) 
 
 A 
 2
 B(6,2) x
 4 6 8
Resolução: Num quadrado os lados opostos são paralelos; logo a reta suporte do lado AB é paralela à reta suporte do lado CD.
Calcular o coeficiente angular m da reta CD: 
m = = → m = 
A reta suporte do lado AB deve ter coeficiente angular m = e passar pelo ponto B(6, 2).
y – y1 = m.(x – x1)
y –2= . (x – 6) → y – 2 = + 3 → - y + 2 + 3 = 0 → - y + 5 = 0 →
→ = → x + 2 y – 10 = 0
EXERCÍCIOS:
Qual é a posição da reta r, de equação 6 x + 4 y – 3 = 0, em relação a reta s, de equação 
9x + 6 y – 1 = 0?
As retas l1 e l2, de equações + = 1 e 2 x – y + 5 = 0, respectivamente, são paralelas ou concorrentes?
As retas r e s, de equações – px + 8 y + 1 = 0 e 2 x = p y – 1, respectivamente, são paralelas. Nestas condições, calcular o valor de p.
Ache a equação geral da reta r que é paralela à reta s de equação 3 x – 2 y + 1 = 0 e que passa pelo ponto A(- 2, 5).
Dados os pontos A(2, 3) e B(-1, - 4), determine a equação Geral da reta “l “paralela a uma reta determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo ponto C (- 1, 2).
Observe a figura e determine a equação geral da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta determinada pelos pontos B e C.
 
 y 
 
 A(-2, 2) * 2
 -1 1 * B(3, 1) X 
 -2 3 
 C(-1, -3) * -3
 
Determine os valores de “m” para que as retas l1 e l2, de equações (1 – m) x – 10 y + 3 = 0 e
 (m + 2) x + 4 y – 11 m – 18 = 0, sejam concorrentes.
INTERSECÇÃO DE RETAS:
Consideremos duas retas l1 e l2, que se interceptam num ponto P(a, b).
Como o ponto P, intersecção das retas, pertence às duas retas, suas coordenadas (a, b) devem satisfazer as equações das duas retas, simultaneamente. Algebricamente, sabemos que um par ordenado satisfaz, simultaneamente, duas equações quando este par é a solução de um sistema formado por essas equações. Assim, obtemos as coordenadas (a, b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas. 
Exemplos:
As retas r e s, de equações x + y – 4 = 0 e 2x – y + 1 = 0, respectivamente, se interceptam num ponto P(a, b). Determinar as coordenadas do ponto P.
Resolução: Devemos resolver o Sistema 
 3 x – 3 = 0 → x = 1 
 Substituir na 1ª equação → 1 + y – 4 = 0 → y = 3
Portanto, o ponto de intersecção é: P(1, 3)
As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: 
X + 6 y – 11 = 0; 3x – 2y + 7 = 0 e x – 6 y – 5 = 0. Determine as coordenadas dos vértices do triângulo.
Resolução: l1: reta de equação X + 6 y – 11 = 0
 l2: reta de equação 3X - 2 y + 7 = 0
 l3: reta de equação X - 6 y – 5 = 0
 l2 l1
 A 
 B C l3
O cálculo do vértice A, ponto de intersecção de l1 e l2
 
 - 3 x – 18 y= -33 
 3 x – 2y = -7 
 - 20y = - 40 → y= 2 
 Substituindo na primeira equação temos: x + 6 y = 11 → x + 6 . 2 = 11 → x + 12 = 11 → x = - 1
Logo, A(-1, 2)
O cálculo do vértice B, ponto de intersecção de l1 e l3
 → 2x = 16 → x = 8	
Substituindo na 1ª equação, temos: x + 6 y = 11 → 8 + 6 y = 11 → 6y = 11 – 8 → 6 y = 3 → y = →
y = → B(8, ) 
O cálculo do vértice c, ponto de intersecção de l2 e l3
 → → -8x = 26 → x = 
Substituindo na 1ª equação, temos: 3x -2 y = -7 →3. )-2 y = -7 → -2y = - 7 → tirar o mmc dos denominadores - 2y = → - 2y = → y = Portanto: C ( , )
EXERCÍCIOS: 
Determine as coordenadas do ponto P(a, b), intersecção das retas r e s em cada caso:
r: 2x + y – 1 = 0 e s: 3x + 2y – 4 = 0
r: x +2y – 3 = 0 e s: x - 2y + 7 = 0
r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: 2x - 4y + 13 = 0
Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4) e uma reta s é determinada pelos pontos C(-4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de intersecção das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto P.
Determine os pontos de intersecção da reta de equação x + 2y – 4 = 0 com os eixos x e y.
Determine a equação geral da reta que passa pela origem dos eixos coordenados e pela intersecção das retas 2x + y -6 = 0 e x – 3y + 11 = 0.
Retas Perpendiculares:
Consideremos duas retas l1 e l2 concorrentes num ponto P, de tal forma que l1 e l2
 Y l1 l2 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARIDADE:
 Duas retas l1 e l2 de coeficientes angulares m1 e m2, 
 P respectivamente, são perpendiculares se, e somente se,
 m1= 	
 x
Exemplo:
Determinar o valor de k para que a reta l1, de equação kx – 9y -1 = 0, seja perpendicular à reta l2, de equação 2x + 6y -3 = 0.
Resolução: Se m1 é o coeficiente angular de l1;
 Se m2 é o coeficiente angular de l2.
O cálculo de m1 : kx – 9y -1 = 0 → kx – 1 = 9 y → y = → y = - portanto m1 =
O cálculo de m2 : 2x + 6y -3 = 0 → 6y = - 2 x +3 → y = → y = + → y = + → 
Portanto m2= 
Aplicando a condição de perpendicularidade:
l1 é perpendicular l2 → m1= 
 = → k = 27 
 2)Dada a reta r de equação 2 x – y + 5 = 0 e o ponto P(3; 5), determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
Resolução: Se m1 é o coeficiente angular de r s
 Se m2 é o coeficiente angular de s.
 r
 * P(3; 5) 
Cálculo de m1: 2 x – y + 5 = 0 → 2 x + 5 = y portanto: m1 = 2 
Cálculo de m2: (se r é perpendicular a s) então → m1= 
2 = → 2 m2 = - 1 → m2 = 
Cálculo da equação da reta s :
 y – y1 = m.(x – x1)
 y – 5 = . ( x – 3 ) 
 y – 5 = + 
 y – 5 = 
2 (y – 5) = - x + 3
2y – 10 = - x + 3
X + 2 y – 10 – 3 = 0 → x + 2 y – 13 = 0 ← Equação da reta s.
Exercícios:
Dados os pontos A(1; 3) e B(-3; - 5) determinar a equação da reta mediatriz desse segmento.
São dados um ponto P(2; 6) e uma reta r de equação x + y – 2 = 0. Determinar as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r.
(Exercícios extras 3; 4; 5; 6; 7 e 8)
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
A distância entre um ponto A e uma reta r é a medida do segmento de reta perpendicular à reta e que tem uma extremidade em A e outra na reta r.
 * A
 d(A, B)
 * B r
Em que: B é a projeção ortogonal de A sobre r;
d(A,B) é a distância entre A e B.
Exemplo:
Determinar a distância entre o ponto A(2; 1) e a reta r, de equação x+ 2y – 14 = 0.
Resolução: 
 * A (2; 1)
 
 * B r
 S
m1: coeficiente angular da reta r;
A reta s é perpendicular a reta r, passando por A;
m2: coeficiente angular da reta s.
Reta r:
O cálculo de m1: 
x+ 2y – 14 = 0 → 2y = - x + 14 → y = → m1 = 
O cálculo de m2: (reta s) r é perpendicular a reta r
m1= → = → m2 = 2
O cálculo da equação da reta s: (passa pelo ponto A(2; 1) )
y – y1 = m.(x – x1)
y – 1 = 2. (x – 2) → y – 1 = 2 x – 4 → 2x – y – 4 + 1 = 0 → 2 x – y – 3 = 0
O cálculo da coordenada do ponto B, intersecção de r e s:
x+ 2y – 14 = 0 → x+ 2y = 14 
2 x – y – 3 = 0 . (2) → 4x – 2 y = 6 
 5x = 20 → x = 4 substituir na primeira equação → x+ 2y = 14 → 4 + 2 y = 14 → y = 5 portanto B(4; 5) 
 
O cálculo da distância entre A e B: d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = 
 d(A, B) = ou d(A, B) = 2 √5
Este processo é trabalhoso e lento →Existe uma fórmula que nos permite resolver o mesmo problema de uma maneira mais simples, rápida e menos trabalhosa. 
Dados o ponto P(xp; yp) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada pela fórmula:
 * P(xp;yp)
 d(P, r)
 r: ax + by + c = 0
 d(P,r) = /a. Xp + b. Yp + c/
 
Determinar a distância entre o ponto A(2; 1) e a reta r, de equação x+ 2y – 14 = 0.
Resolução: 
 d(P,r) = /a. Xp + b. Yp + c/
 
d(P,r)= / 1. (2) + 2 . (1) + (- 14)/ → 
 
d(P,r)= / 2 + 2 - 14/ → /- 10/ → 
 
 10 . 	 = → 2 √5
 . 
Determinar o valor de “a” para que a distância do ponto P(-1; a) à reta r, de equação 3x + 4y – 5 =0, seja igual a 2 unidades. 
Resolução: 
 d(P,r) = /a. Xp + b. Yp + c/
 
2 = / 3. (-1) + 4 . a + (- 5)/ → 
 
2 = / -3 + 4 . a - 5/ → 
 
2 = / 4 . a - 8/ → 2 . 5 = / 4. a– 8/ → /4.a – 8/ = 10 → 
 
→ → 4.a = 18 → a = 18/4 → a = 9/2
 → 4.a = - 10 + 8 4.a = - 2 → a = -1/2
EXERCÍCIOS:
Calcule a distância do ponto P à reta r em cada caso:
P (5; 7) e r: 4x – 3y +2 = 0
P (1; -2) e r: -3/4 x =1
P (-1; 4) e r: x + y = 0
P (2; 6) e r: 2x + 1 = 0
CIRCUNFERÊNCIA:
DEFINIÇÃO: Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência.
 A * Em que: = == r (raio da circunferência) . C
 D * * B
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA:
Considere o plano cartesiano de centro C(a, b) e raio r, conforme indica a figura: 
 
 y * P(x, y) 
C(a,b)
 b ** 
 a x 
O ponto P(x, y) pertence à circunferência se: 
d(P, C) = r → = r
 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ← Equação reduzida da circunferência.
No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 0, a equação será:
 (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 → x 2 + y 2 = r2 
Exemplos:
Determinar a equação reduzida da circunferência com centro no ponto C(4, 7) e raio r = 2.
Resolução: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 (x – 4)2 + (y – 7)2 = 22 
 (x – 4)2 + (y – 7)2 = 4 ← solução
Determinar a equação reduzida da circunferência com centro no ponto C(2; 3) e que passa pelo ponto P(- 1; 2).
Resolução: 
 d(P, C) = r → 
 * P (- 1; 2) .C(2,3)
 D * r = 
 r = 
 r =
 r = 
Utilizando a equação reduzida da circunferência temos:
 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 (x – 2)2 + (y – 3)2 = (√10)2 
 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10 ← solução 
Achar a equação reduzida da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A(0; - 8) e B(6; 0).
Resolução: 
 A (0; -8) .C(a ,b)
 D * 
 
 B(6; 0) 
 
O ponto C(a, b) é o ponto médio de AB, logo:
Xm = (Xa + Xb) /2 → a = (0 + 6) / 2 = 3
Ym = (Ya +Yb) / 2 →b = (-8 + 0) / 2 = - 4 
 C(a, b) → C(3, - 4)
O raio é dado por: r = d(C, A) → r = 
 r = 
 r = 
 
 r = → r = → r = → r = 5 
 
Utilizando a equação reduzida da circunferência temos:
 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 (x – 3)2 + (y – (- 4))2 = 52 
 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25 ← solução 
Achar a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos A(0; 1) e B(1; 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2.
Resolução: 
 
 B(1, 4) .C(2 ,y)
 4 * B(1, 4) 
 
y
 A(0, 1) *
x 
2 
d(C, B) = d (C, A)
 = 
(2-1)2 + (y – 4)2 = (2 – 0)2 + (y – 1)2
1 + y2 – 2 y 4 + 42 = 4 + y2 – 2 y.1 + 12 
Y2 – 8 y +1 + 16 = y2 – 2 y + 4 + 1 
Y2 – 8 y +17 = y2 – 2 y + 5 
 – 8 y + 2y = 5 – 17
- 6 y = - 12 → y = 2 C(2, y) → C(2, 2)
A medida do raio é dada por:
r = d(C, A)
r= 
r= 
r= → 
A equação da circunferência é:
 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 (x – 2)2 + (y – 2)2 = () 2→ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
EXERCÍCIOS:
Determinar nos casos a seguir, a equação da circunferência:
De centro C(2, 5) e raio igual a 3;
De centro C(0, -2) e raio igual a 4;
De centro C(-1, -4) e raio igual a ;
De centro C(0, 0) e raio igual a 1;
De centro C(-3, 6) e diâmetro igual a 8.
Determinar as coordenadas do centro e o raio das seguintes circunferências:
(x – 5)2 + (y + 6)2 = 8
x 2 + (y - 4)2 = 25
Determinar as fórmulas das equações reduzidas das circunferências de centro C representadas nas figuras a seguir:
 : y 
 
 .C(a ,b)
 B(1, 4) 
 
4
 
 
 1 x
 2 5 
b) 
 y
 6 C 4
 B(1, 4) 
 
 
 
 
 2 x
 
c)
 y 
 
 - 2 x
 C 
 
 
 	
 - 3 
 2 
 
 
	
d) y
 4 C 
 B(1, 4) 
 
 - 4 4 x
 
 
 - 4 
 
Determine a equação reduzida da circunferência com centrono ponto C e que passa pelo ponto P, nos seguintes casos: 
C(- 1 ; 2) e P(2, 0)
C(0; 1) e P(1; 2)
C(1; 2) e P( -2 ; 6)
O ponto P(- 3; b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0; 3) e de raio igual a 5. Calcule o valor de b.
Determine a equação reduzida da circunferência em que os pontos A(4; -2) e B(2;0) são extremos de um diâmetro.
Determine as equações reduzidas das circunferências de raio igual a 2 que passam pelos pontos A(0; 0) e B(2;2).
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA:
Um ponto pode ser interno, externo ou pode pertencer a uma circunferência de raio r.
 
 λ λ λ * P
 * P C
 R
 
R
 C
R
P
C
R
 
 
 d(P,C) < R d(P,C) = R d(P,C) > R
 P é interno P circunferência P é externo
Se a circunferência λ tem centro C(a, b) e raio r, podemos obter a posição do ponto P(x, y) em relação à circunferência da seguinte forma:
D(P,C) = r → ( ) 2 = r2
 = r2
 - r2 = 0 (P є λ)
D(P,C) > r → ( ) 2 > r2
 - r2 > 0
 - r2 > 0 (P é externo a λ)
D(P,C) < r → ( ) 2 < r2
 - r2 > 0
 - r2 < 0 (P é interno a λ)
EXEMPLOS:
Determinar a posição dos pontos A(-2; 3); B(-4; 6) e C(4; 2) em relação à circunferência de equação x2 +y2 + 8 x – 20 = 0.
Resolução: Substituindo as coordenadas dos pontos A; B e C no 1º membro da equação da circunferência, fica:
A(-2; 3) x2 +y2 + 8 x – 20 = 0
 (-2)2 + 32 + 8 . (-2) – 20 = 0
 4 + 9 + (-16) – 20 = 0
 - 23 < 0 logo, A é ponto interno
 B(-4; 6) x2 +y2 + 8 x – 20 = 0
 (-4)2 + 62 + 8 . (-4) – 20 = 0
 52 – 52 = 0
 0 = 0 o ponto B pertence à circunferência.
C(4; 2) x2 +y2 + 8 x – 20 = 0
 42 + 22 + 8 . 4 – 20 = 0
 52 – 20 = 0
 32 = 0 
 32 > 0 o ponto C é externo à circunferência.
EXERCÍCIOS:
Qual a posição do ponto A(-3; 4) em relação a cada uma das circunferências definidas por:
2 x2 + 2 y2 + x + y – 4 = 0
x2 + y2 -2 x + 4y – 3 = 0
x2 + y2 -8 x -20 y + 10 = 0
Qual a posição do ponto A(2; -2) em relação à circunferência de equação 
x2 + y2 -2x -8y – 9 = 0 ?
 
 
 
Bibliografia:
Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval. MATEMÁTICA. Vol. 3. São Paulo: Moderna, 1994.
Gelson Iezzi [et al.]. Fundamentos de Matemática Elementar (Geometria Analítica). Vol. 7. São Paulo: Atual, 1985.
Gentil, Nelson; Santos, Carlos Alberto Marcondes; Grecco, Antônio Carlos; Grecco, Sérgio Emílio; Bellotto Filho, Antônio. Matemática para o Segundo Grau. Vol. 3 . São Paulo: Ática S.A., 1990.
Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto. MATEMÁTICA 3. São Paulo: FTD, 1992.
Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo. Geometria Analítica. 2ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2010.