Introdução às Máquinas Rotativas

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Introdução às máquinas rotativas
Máquinas Elétricas
Máquinas CA
Bezerra, E.C.1
1Engenharia Elétrica
Centro de Ciência e Tecnologia
2016
Introdução às máquinas rotativas
Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Table of Contents
1 Introdução às máquinas rotativas
Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Introdução às máquinas rotativas
Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Objetivos
Compreender os princípios de funcionamento das máquinas
elétricas;
Introdução às máquinas rotativas
Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Objetivos
Compreender os princípios de funcionamento das máquinas
elétricas;
Introdução às máquinas rotativas
Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Tensão Máquinas CA
A natureza geral da tensão já foi
discutida no começo deste capítulo,
agora serão apresentadas as
expressões quantitativas.
Considerando o entreferro uniforme
temos a seguinte generalização
Bpico =
4µ0
pig
kfNf
pólos
If (1)
Onde kf é o fator de enrolamento de
campo, Nf é o total de espiras em
série no enrolamento de campo, e If
é a corrente de campo.
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Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Tensão Máquinas CA
B = Bpico cos
(
pólos
2
θr
)
(2)
Onde θr é o ângulo entre o ponto em
questão e o eixo magnético do enrolamento
do rotor (enrolamento de campo).
O fluxo de entreferro por pólo (φp) é dado por
φp = l
∫ pi/pólos
−pi/pólos
Bpico cos
(
pólos
2
θr
)
rdθr
φp =
(
2
pólos
)
2Bpico lr (3)
Onde r é o raio até o entreferro, e l o
comprimento axial do ferro do estator/rotor.
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Tensão Máquinas CA
φp é o fluxo cte gerado pelo enrolamento de
campo, note que a parte desse fluxo que é
concatenado pelo enrolamento de armadura
varia com o girar do rotor. Para analisar esta
variação consideramos o ângulo ωmt .
λa = kenrNfaseφp cos
(
pólos
2
ωmt
)
(4)
Considerar t=0, o eixo do rotor está alinhado
com o eixo da fase a.
O que acontece com λa em ωmt igual a zero
e pi/2?
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Tensão Máquinas CA
λa = kenrNfaseφp cos
(
pólos
2
ωmt
)
Pela lei de Faraday, a tensão induzida na
fase a é
ea =
dλa
dt
Lembrando que a velocidade mecânica do
rotor (em rad/s elétricos - me) é dada por
ωme =
(
pólos
2
)
ωm (5)
ωm é a velocidade do rotor em rad/s. Assim
temos,
ea = −ωmekenrNfaseφp sinωme t (6)
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Tensão gerada
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Tensão Máquinas CC
Será discutido quando for estudado máquinas CC.
Ea =
(
pólos
2pi
) (
Ca
m
)
φpn (7)
Tensão entre as escovas da máquina elementar CC
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Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Objetivos
Nesta seção iremos deduzir as equações de conjugado para uma máquina
elementar ideal.
Para deduzir as equações, como já vimos anteriormente utilizaremos as
equações de energia e co-energia;
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Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Passo a passo do método de circuito acoplado
A máquina será vista como um elemento de circuito cujas indutâncias dependem
da posição angular do rotor.
1 O λ e a co-energia de campo magnético serão expressos em termos das
correntes e indutâncias;
2 O conjugado pode então ser encontrado a partir da derivada parcial da
energia ou co-energia em relação à posição do rotor;
3 As tensões no terminal será a soma das quedas de tensão nas
resistências (Ri) e as tensões da lei de Faraday (dλ/dt);
4 Obtendo assim um conjunto de equações diferenciais não-lineares que
descrevem o desempenho dinâmico da máquina.
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Tensão gerada
Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Passo a passo do método de circuito acoplado
A máquina será vista como um elemento de circuito cujas indutâncias dependem
da posição angular do rotor.
Suponha que os enrolamentos do estator sejam concentrados;
As indutâncias próprias são cte, e a variação da indutância mútua é
Lembre que
θme =
(
pólos
2
)
θm
Para o nosso caso que a máquina tem
apenas 2 pólos θme = θm. Observando a
figura concluímos que
L ′er(θme) = Ler cos(θme) (8)
Note que Ler denota o valor cte da indutância
mútua.
L ′er (θme) para θme = 0 e 2pi, ±pi/2, ±pi?
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Passo a passo do método de circuito acoplado
Partindo do capítulo 3 temos que a função de co-energia é dada por
W ′campo =
1
2
Lee i2e +
1
2
Lrr i2r + Ler ie ir cos
(
pólos
2
θm
)
Note que W ′campo foi espresso em θm porque a equação de T exige que a
derivada seja em relação ao ângulo espacial θm.
Tcampo =
δW’campo(i1, i2, θ)
δθ
∣∣∣∣∣∣
i1 ,i2
=
i21
2
dL11(θ)
dθ
+
i22
2
dL22(θ)
dθ
+ i1i2
dL12(θ)
dθ
Assim o torque existente será apenas o conjugado de excitação, já que o
conjugado de relutância é nulo (indutâncias próprias cte).
Tcampo = −
(
pólos
2
)
Ler ie ir sin θme (9)
O sinal negativo indica que a ação do torque é no sentido de alinhar os eixos, de
maneira a maximizar a indutância mútua.
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Exemplo 4.6 (Fitzgerald)
Aplicando esta análise a máquina síncrona elementar da figura 4.34, temos
a) Deduza uma expressão para o conjugado magnético desenvolvido pela
máquina quando sua velocidade é variada sob controle do dispositivo mecânico
conectado ao seu eixo.
Tcampo = −
(
pólos
2
)
Ler ie ir sin θme
Dados: Pólos = 2, Ir = cte, ie = Ie cosωe t , e θm = ωmt + δ.
Tcampo = −Ler Ie cos(ωe t)Ir sin(ωmt + δ)
Onde ωm é a velocidade angular do rotor, e δ é a posição inicial do rotor.
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Exemplo 4.6 (Fitzgerald)
a) Deduza uma expressão para o conjugado magnético...
Tcampo = −Ler Ie cos(ωe t)Ir sin(ωmt + δ)
Lembre que
sinα cos β =
1
2
[sinα+ β+ sinα − β]
Tcampo = −12Ler Ie Ir {sin[(ωm + ωe)t + δ] + sin[(ωm − ωe)t + δ]}
O torque é formado por duas componentes de amplitudes iguais, mas
velocidades angulares diferentes (Seção 4.5);
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Ondas girantes de FMM em máquinas CA
A FMM de um enrolamento 1φ pode ser decomposta em duas ondas girantes de
FMM, cada com metada da amplitude máxima.
F+g1 =
1
2
Fmax cos(θae − ωe t) e F−g1 =
1
2
Fmax cos(θae + ωe t) (10)
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Ondas girantes de FMM em máquinas CA
A decomposição das FMM é um passo conceitual importante para o
entendimento das máquinas CA;
As ondas progressivas negativas anulam-se;
As ondas progressivas positivas somam-se, resultando em uma única onda
progressiva positiva de fluxo.
Essa resultante produz conjugado útil!
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Ondas girantes de FMM em máquinas CA polifásicas
Assim temos
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Exemplo 4.6 (Fitzgerald)
b) Encontre a velocidade para a qual produz-se conjugado médio quando a
frequência do estator é 60 Hz.
O conjugado médio em um intervalo de tempo suficientemente longo será
0 (exceto quando ωm = ±ωe);
Quando ωm = ωe , o rotor estágirando em sincronismo com a onda de
fluxo do estator (Razão por chamar máquina síncrona).
T = −1
2
Ler Ie Ir [sin(2ωe t + δ) + sin(δ)]
O primeiro termo de seno é um componente cujo valor médio é zero;
O segundo termo é o conjugado médio.
Tmédio = −12Ler Ie Ir sin(δ)
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Exemplo 4.7 (Fitzgerald)
Máq. síncrona, 3φ, 4 pólos, com entreferro uniforme. Considere indutâncias do
enrolamento de armadura cte.
Laa = Lbb = Lcc e Lab = Lbc = Lca
Considere a indutância própria do enrolamento de campo (Lf ) cte. As
indutâncias mútuas entre o enrolamento de campo e os 3 de fase da armadura
variam de acordo com θm
L ′af = Laf cos(2θm)
L ′bf = Lbf cos(2θm − 120◦)
L ′cf = Lcf cos(2θm + 120
◦)
Onde θm é o ângulo entre os eixos magnéticos do enrolamento de campo e o da
fase a.
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Conjugado em máquinas de pólos não salientes
Exemplo 4.7 (Fitzgerald)
Sendo uma máq. 3φ equilibrada, as correntes são dadas por
ia = Ia cos(ωe t + δ)
ib = Ib cos(ωe t + δ − 120◦)
ic = Ic cos(ωe t + δ+ 120◦)
Substituímos esses valores na eq. da co-energia do sistema para obter o
conjugado
W’campo(ia , ib , ic , if , θm) = (termos cte) + L ′af ia if + L
′
bf ib if + L
′
cf ic if
= (termos cte) +
3
2
Laf Ia If cos(2θm − ωe t − δ)
T =
δW’campo
δθm
∣∣∣∣∣∣
ia ,ib ,ic ,if ,θm
= −3Laf Ia If sin(2θm − ωe t − δ)
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Exemplo 4.7 (Fitzgerald)
T = −3Laf Ia If sin(2θm − ωe t − δ)
Considerando os 4 pólos da máquina temos
ωme = (
pólos
2
)ωm = 2ωm
para nosso problema ωme = ωe e ωm = ωs , então
ωs t = (
ωe
2
)t
Assim
T = 3Laf Ia If sin(δ)
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Exemplo 4.7 (Fitzgerald)
Diferente do caso 1φ, o conjugado da máquina 3φ, opera em condições
equilibradas é cte.
T = 3Laf Ia If sin(δ)
Lembre que δ é a posição angular do rotor em t = 0.
Isso é devido ao fato que a onda de FMM do estator consiste em uma única onda
de fluxo girante (resultante), pois todas as componenetes negativas se anulam.
No caso da máquina 1φ em que a corrente do estator produz duas ondas de
fluxo, uma para frente e outra para trás, onda esta que não está em sincronismo
com o rotor e responsável pelo aparecimento da componente variável no tempo
do conjugado.
T = −1
2
Ler Ie Ir [sin(2ωe t + δ) + sin(δ)]
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