Exercícios equação do 2° grau 02

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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo 
Matemática Zero 2.0 – Aula 22 – Equações do Segundo Grau – (Parte 1 de 2) 
Endereço: https://youtu.be/4R4rIoCcMM0 
Gabaritos nas últimas páginas! 
 
Nota: Essa aula é de equações do segundo grau. Não faz sentido aqui 
exercícios que envolvam os conceitos de “parábola”, “vértice”, “pontos” 
que são exclusivos de funções. Assim sendo, tais conceitos serão tratados 
nas devidas aulas. 
 
E1: Resolva em R as equações abaixo: 
a) 2x 5x 6 0− + = b) 
2x 16x 64 0− + = c) 
2x 6x 13 0− + = 
d) 
2x 14x 49 0− + = e) 
23x 5x 2 0− + = f) 2 45 0
2
x x− − = 
g) 
2x x 2 0+ + = h) 
24x 12x 9 0− + = i) 
2x 8x 25 0− + = 
j) 
2x 2x 7 0− + = k) 
2x 5 3x 0− + = l) 
28 x 3x 0+ + = 
E2: Resolva em R as equações abaixo: 
a) 2x x 0− = b) 22x 0= c) 2x 9 0− = d) 24x 9 0− = 
e) 2x 2x 0+ = f) 28x 16x 0+ = g) 2 23x 4 28 x− = + h) 2x 9x 0− = 
i) 2x 1 0− = j) 2x 6 10− = k) 21 4x 8− = − l) 2x 11x 0+ = 
m) ( ) ( )x 5 x 1 5 0− + + = n) ( )( )3x 2 3x 2 77− + = 
 
E3: Resolva as seguintes equações em R: 
a) 2 1 1
2 2
x x x− = − − b) ( )2x 2 3− = c) ( ) ( )25x 3 11 4x 1 1− − + = 
d) ( )( )4x 1 2x 2 12− + = e) 2 x 1 2xx
2 3 3
− = − f) 2
3x 1 2
x
2 3
+
− = 
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E4: Encontre uma equação: 
a) de raízes 2 e 3 e que o coeficiente de �� seja 1. 
b) de raízes -1 e 5 e que o coeficiente de �� seja 3. 
 
E5: Na equação 2x 5x c 0− + = , uma das soluções vale 3. Quanto vale c? 
 
E6: Na equação 2x bx 15 0+ + = , uma das soluções vale 5. Quanto vale b? 
 
E7: O trinômio do segundo grau ( )y = 2m 1 x² 4mx m+ + + , em que m é um 
número real, é sempre positivo, se e somente se: 
a) 
1
m
2
> b) 
1
0 m
2
< < c)
1
m
2
< d) 
1
m 0
2
− < < 
 
E8: Um móvel de R$ 360,00 deveria ser comprado por um grupo de 
rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os 
outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15,00 cada um. 
Qual era a quantidade inicial de rapazes? 
a) 8 b) 12 c) 15 d) 20 
 
E9: Se as raízes da equação 22x 5x 4 0− − = são m e n, o valor de 
1 1
m n
+ é: 
a)
5
4
− b)
3
2
− c)
3
4
 d)
7
4
 e) 
5
2
 
 
 
 
E10: A soma das soluções inteiras da equação 2 2 2(x 1)(x 25)(x 5x 6) 0+ − − + = 
é: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11 
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E11: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou 
os números super especiais! 
"Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é 
igual à soma de todos os seus algarismos". 
Por exemplo, 4561 é super especial, pois: 4² = 16 = 4 + 5 + 6 + 1. 
a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo 
das centenas seja 3. 
b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro 
algarismos, cujos três últimos algarismos são 1, 8 e 3. Juntos (183), eles 
formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. 
Represente por "x", o 1º algarismo do número super especial que Isabel 
descobriu. Escreva uma equação do 2° grau que expressa a propriedade 
inventada por ela. 
c) Resolva a equação do 2° grau obtida no item anterior e determine o 
número super especial que Isabel descobriu. 
 
 
E12: Para qual valor de "a" a equação ( ) ( ) ( ) ( )x 2 2ax 3 x 2 ax 1 0− ⋅ − + − − + = 
tem duas raízes reais e iguais? 
a)-1 b) 0 c) 1 d) 2 
 
E13 (ITA 2015): Considere a equação 
2
a b
5
11 x x
2
− =
− −
, com a e b números 
inteiros positivos. Das afirmações: 
I. Se a 1= e b 2= , então x 0= é uma solução da equação. 
II. Se x é solução da equação, então 
1
, x 1 e x 1x .
2
≠ ≠ − ≠ 
III.
2
x
3
= não pode ser solução da equação. 
 É (são) verdadeira(s) 
a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
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E14: 10. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função 2y 2x 5x a 3= − + − 
onde 
1 1 4
p q 3
+ = assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, 
pode haver mais de uma alternativa verdadeira): 
01) O valor de a é um número inteiro. 
02) O valor de a está entre – 20 e 20. 
04) O valor de a é um número positivo. 
08) O valor de a é um número menor que 10. 
16) O valor de a é um número fracionário. 
 
E15: Resolva a equação: �� � 4 � 0. Considere U =ℂ . 
 
E16: Resolva a equação: �� � 25�� 	� 	144 � 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
E1: Resolva em R as equações abaixo: 
a) 2x 5x 6 0− + = 
Há duas formas principais de se calcular: por Soma e Produto ou por Bhaskara. 
Forma 1: Soma e Produto. 
Sabemos que: S � � �� � � �� 
Assim sendo, nosso item a fica assim: S � � ��� � 5 � � �� � 6 
Vamos pensar apenas no produto, desconsiderando qualquer sinal negativo (tanto do 
produto quanto da soma). Selecione os pares de números naturais que multiplicados 
dão 6: 1 e 6, 2 e 3 apenas (note que a ordem não faz diferença aqui: 3 e 2 e 2 e 3 são 
a mesma coisa). 
Algum resultado dá soma 5? Sim, o 2 e 3. Pronto! Achamos 2 números que 
multiplicados dão 6 e que somados dão 5. Logo, as raízes são 2 e 3. 
 
Forma 2: Bhaskara 
Vamos calcular o discriminante �Δ ) da equação. Temos 3 possibilidades: Δ � 0 : Nesse caso, a equação não possui raizes reais. Se não nos interessa as raízes 
complexas, paramos por aqui. Δ � 0: Nesse caso, a equação possui 2 raízes reais e iguais. Δ � 0: Nesse caso, a equação possui 2 raízes reais e distintas (diferentes). Δ � b� � 4ac 
Δ � ��5�� � 4 ⋅ 1 ⋅ 6 � 25 � 24 � 1 (duas raízes reais e distintas, pois Δ � 0 
Podemos então usar a fórmula de Bhaskara: x � ��"√$�� 
5 1 6
x 3
2 2
( 5) 5 1
x x ou
2 2
5 1 4
x 2
2 2
1
1
+ = = =
− − ± ±
= ⇔ = ⇔ 
 −
⋅
 = = =

 
 
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% � &2,3)	
 
Nota: ao invés de usarmos a fórmula 
b
x
2a
− ±
=
∆
, podemos usar
2b 4ac
x
2a
b− ± −
= 
Usaremos Bhaskara para resolver as equações abaixo. Se houver qualquer 
dúvida no processo, pergunte. 
b) 2x 16x 64 0− + = V {8}=
2
16 0
x 8
( 16) 4 16 256 256
2
1 64
1 2
16 0
x x x ou
2 2
16 0
x
( 6)
2
8
1
+ = =
− − ± − ± − ±
= ⇔
⋅
= ⇔ = 
⋅
⋅
−
 −
 = =

 
c) 2x 6x 13 0− + = V =∅ 
2
Como 0, a equação não possui raízes
( 6) 4 6 36 52 6
x x
1 1
 reai
3
1
6 16
x
2
s
2 2
.∆
− − ± − ± − ±
= ⇔
<
= =
⋅ ⋅
⋅
−
⇔ 
 
d) 2x 14x 49 0− + = V {7}=
2
14 0
x 7
( 14) 4 14 196 196
2
1 49
1 2
14 0
x x x ou
2 2
14 0
x
( 4)
2
7
1
+ = =
− − ± − ± − ±
= ⇔
⋅
= ⇔ = 
⋅
⋅
−
 −
 = =

 
e) 23x 5x 2 0− + = 
2
V 1,
3
 =  
 
 
2
5 1
x 1
( 5) 4 5 24 5 1
x x x
( 5) 25
ou
2 6
5 1 4 2
x
3
6
3 2
3 6
6 6
+ = =
− − ± − ± − ±
= ⇔
⋅ ⋅
⋅
= ⇔ = 
−
= = =
−



 
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f) 22x x 45 0− − =
9
V 5,
2
 = − 
 
2
1 19
x 5
( 1) 4 1 360 1 19
x x x ou
2 4
4
2 ( 45)
2 4
4
1 1
( 1) 1
9 9
x
2
+ = =
− − ± − ± + ±
= ⇔ = ⇔
⋅ ⋅
= 
 −
 = = −
−

−
⋅
 
g)2x x 2 0+ + = V =∅ 
2
Como 0, a equação não possui
1 4 1 8 1 7
x x x
2
1 2
 raízes r
1
2
e
1
a
1
i
2
s.∆
− ± − − ± − ± −
= ⇔ =
⋅ ⋅
⋅
<
⇔ = 
 
h) 24x 12x 9 0− + =
3
V
2
 =  
 
 
2
12 0 12 3
x
2
( 12) 4 12 144 1
: 4
: 4
( 2 0
x x x ou
2 8
1
1
2 0 3
x
8 8
4 9
4 8
8
2) 14
2
4
+ = = =
− − ± − ± − ±
= ⇔ = ⇔ = 
 −
 = =
⋅ ⋅

−
⋅
 
i) 2x 8x 25 0− + = V =∅ 
2
Como 0, a equação não possui raízes reais
1 25(8) 4 8
x x
1 4
6
4
.
(8) 3
∆ <
⋅ ⋅− ± − − ± −
⋅
= ⇔ = 
 
 
 
 
 
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j) 22x 2x 7 x x0 2 7 0−⇔ += ++ =− 
1 57 1 57
V ,
4 4
 − + 
=  
  
 
2
1 57 1 57
x
(1) 4 1 56 1 5(1
4 4
( 7
x x x ou
2 4
1 57 1 5
2) 7
( 2) 4
4 4
)
7
x
1
−
⋅ − ⋅
 − + −
= =
− ± − − ± + − ± 
= ⇔ = ⇔ = 
− 
− − + = =
⋅ −

−
−
 
k) 2 23x x 5x 3x 0 05− + = ⇔ + − = 
1 61 1 61
V ,
6 6
 − + − − 
=  
  
 
2(1) 1
1 61
x
1 4 1 60 1 61
x
6
3 ( 5)
x x ou
2 6
1 6
6
6
1
x
3
 − +
=
− ± − − ± + − ± 
= ⇔ = ⇔ =
⋅ ⋅


−
−
−
=

⋅


 
 
l) 22 x 3x 88 3x 0 0x+ + = ⇔ + + = V =∅ 
2
Como 
(
0, a equação não possui raízes 
3 4 3 32 3 23
x x
1 (8)3)
rea
9
2 21
x
i
2
s.∆
− ± − − ± − − ± −
= ⇔ =
<
⋅ ⋅
⋅
⇔ = 
 
 
 
 
 
 
 
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E2: Resolva em R as equações abaixo: 
a) 2
x 0
x(x 1) 0 
x 1 0 x 1
x V { }0 0,1x
 =
⇔ − = ⇔ 
−
=
= ⇔ =
− = 
b) 2 22
0
x x V {0}0 x 0 0 
2
2x ⇔ = ⇔ = =⇔ == 
c) 22
x 3
x 9 ou 
x 3
x V {9 30 3, }
=

⇔ = ⇔ 
 = −
= −

− = 
outra maneira, lembrando que a�	– b� 	� 	 �a � b��a � b�: 
2
x 3
(x 3)(x 3) 0 ou 
x 3
V { 3, 3}x 9 0
=

⇔ + − = ⇔  =

−
= −
− = 
d) 2
3
2 x 3 0 x
2
(2 x 3)(2 x 3) 0 ou 
3
2 x 3
4
3 3
V= ,
2
x
2
0
0
x
2
9
 + = ⇔ = −

⇔ + − = ⇔ 

 − = ⇔ =
 −− =




 
e) 2
x 0
x(x 2) 0 ou 
(x 2
V {0, 2
) 0 x
2
2
0 }x x
=

⇔ + = ⇔ 
 + = ⇔
=
= −
−+ = 
f) 2
0
8x 0 x x 0
8
8x(x 2) 0 ou 
x 2 0 x
8x 16x V {0, 2}0
2
 = ⇔ = ⇔ =

⇔ + = ⇔ 
 + = ⇔ =
=
−


−+ = 
g) 
2 2 2 2
2 2
2 2 3x x 4 28 0 2x 32 0 2(x 16) 0
x 4 0 x 4
0
(x 16) x 16 0 (x 4)(x V4 { 4, 4) 0 ou 
3x 4 28 x
4
}
2
x 0 x 4
⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
+ = ⇔ = −

− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ 
 − = ⇔ =
= −
− = +
 
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h) 2
x 0
x(x 9) 0 ou
x 9 0 x 9
x 9x 0 V={0, 9}
=

⇔ − = ⇔ 
 − = ⇔ =
− = 
i) 2 V
x
{ 1, 1}
1 0 x 1
(x 1)(x 1) 0 ou 
x 1 0 x 1
x 1 0
+ = ⇔ = −

⇔ + − = ⇔ = −
 − = ⇔ =
− = 
j) 22
x 4 0 x 4
x 16 0 (x 4)(xx 6 1 V { 4, 4) 0 ou 
x 4 0 x
4} 
4
0
− = ⇔ =

⇔ − = ⇔ − + = ⇔ 
 + = ⇔
−

=
= −
− = 
 
k) 2 2 22 1 8 4x 0 4x 9 0 ( 1) 4x1 4x 8 9 0×⇔ + − = ⇔− − + = ⇔ −= − =− ⇔ 
2 2
3
x
2
9
4x 9 x ou 
4
3
x
2
3 3
V= ,
2 2
 −
 =

= ⇔ = ⇔ 

 =


−


 
l) 2
x 0
x(x 11) V {0, 11}0 oux 1
x 1 x 1
0
1 1
1
0
x
=

⇔ + = ⇔ 
 + = ⇔ = −
= −+ = 
m) ( )( ) 2 2x 5 x 1 x 4x 5 x 4x5 0 5 0 x(x 4)0 0+ = ⇔ + = − = ⇔ −− ⇔+ − =− ⇔ 
x 0
x(x 4) 0 ou 
x
V={0,4}
4
=
− = ⇔ 
 =
 
n) ( )( ) 2 2 29x 4 77 9x 4 773x 2 3x 2 0 97 817 x 0⇔ − = ⇔ − − = ⇔ −+ = =− 
2 2 209(x 9) 0 x 9 x 9 0 (x 3)(x 3) 0
9
x 3 0
V { 3, 
x
3
3
ou 
x 3
}
3 0 x
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔
=
+ = ⇔ = −


 − = ⇔ =
−
 
 
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E3: Resolva as seguintes equações em R: 
a) 2 2 2 2 22x x x 1 1 02x 1 1 xx 2x 3x 0⇔ + +− = − − − = ⇔ + − =− ⇔ 
21 1 4 3( 2) 1 1 24 1 25
x x x
2 3 6 6
1 5 2
x x
6 3
1 5
x ou 
6
1
2
V= ,
5
x x 1
6
1
3
− ± − ⋅ − − ± + − ±
= ⇔ = ⇔ = ⇔
⋅
− + = ⇔ =
− ±
= ⇔ 
 − −
 =
 −
= −


⇔


 
b) ( )2x 2 3− = ⇔ 
x 2 3 x 3 2
ou 
x 2 3
V={ 3 2, 3 2}
x 3 2
 − = + ⇔ = +



− = − ⇔ = −
− + +
+
 
c) ( ) ( ) 22 15x 3 2511 x 30x 9 44x 11 1 14x 1 ⇔ − + − − +− + = =− ⇔ 
2
2 74 ( 74) 4 25( 3) 74 5476 30025x 74x 3 0 x x
2 25 50
74 76
x x 3
50
74 5776 74 76
x x ou
50 50
74 76 1
x x
5
1
V ,3
0
25
25
± − − ⋅ − ± +
− − = ⇔ = ⇔ = ⇔
⋅
+ = ⇔ =
± ±
= ⇔ = ⇔ 
 −
 =
 = −
⇔ =



−


 
d) ( ) ( ) 2 28x 6x 2 12 8x 6x 2 14x 1 2x 2 22 1 0+ − = ⇔− −= + −+ =⇔ ⇔ 
2
2 6 6 4 8 ( 14) 6 36 4488x 6x 14 0 x x
2 8 16
6 22
x x 1
16
6 484 6 22
x x ou 
16 16
7
V= 1,
6 22 7
x x
16 4
4
− ± − ⋅ ⋅ − − ± +
+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
⋅
− + = ⇔ =
− ± − ±
= ⇔ =  −⇔ 
 − −
 = ⇔ = −





 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
Página 12 de 21 
 
e) 
2
2 26x 3x 2 4x 6x 3x 2 4x
6
x 1 2x
x
2 3 3 6
− = −
− −
⇔ = ⇔ − = − ⇔ 
2
2
2
6x 3x 4x 2 0
1 1 4 6 ( 2) 1 1 48 1 49
6x x 2 0 x x x
2 6 12 12
1 7 1
x x
12 2
1 7
x ou 
12
1 7 2
x
12 3
1 2
V= ,
2 3
− + − = ⇔
− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±
+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
⋅
− + = ⇔ =
− ±
= ⇔ 
 − −
 =
 −
⇔


−


 
 
 
f) 
2
2 2 26x 3(3x 1) 4 6x 3(3x 1) 4 6x 9x 3 4
6 6
3x 1 2
x
2 3
− +
= ⇔ − + = ⇔ −
+
= −⇔ =− ⇔ 
2
2 2 9 ( 9) 4 6 ( 7)6x 9x 3 4 0 6x 9x 7 0 x
2 6
9 249
x
12
9 249
x ou 
12
9 249
x
12
9 249 9 249
V= ,
12 12
± − − ⋅ ⋅ −
− − − = ⇔ − − = ⇔ = ⇔
⋅
 +
=
± 
= ⇔ 

− =

 + − 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E4: Encontre uma equação: 
a) de raízes 2 e 3 e que o coeficiente de �� seja 1. 
A forma fatorada da equação do 2º grau é: a	�x �	x���x � x�� � 0 em 
que �� e �� são as raízes da equação e a é o coeficiente de x². Assim 
sendo, temos: 
1�x � 2��x � 3� � 0 ⇔ 1�x� � 5x � 6� � 0 ⇔ x� � 5x � 6 � 0 
Outra forma de se fazer (mais conhecida): se duas raízes possuem soma S 
e produto valendo P, então x� � Sx � P � 0 é uma equação que 
apresenta essas duas raízes. Sabendo disso, temos: 
Raízes 2 e 3: -	 � 	5 e �	 � 	6. Logo, temos: x� � 5x � 6 � 0. 
Nota: existem INFINITAS equações com raízes 2 e 3 (aliás, existem infinitas 
equações com qualquer par de raízes que vc quiser). Para encontrar outra 
equação que também contenha as mesmas raízes, basta multiplicar a 
equação por um real qualquer (exceto zero). 
Por exemplo: na equação x� � 5x � 6 � 0 (de raízes 2 e 3) podemos 
multiplicá-la por 2 e obteremos 2�� � 10� � 12 � 0. Verifique as raízes 
dessa equação. Você verá que também são 2 e 3. E isso permite responder 
o item b. 
 
b) de raízes -1 e 5 e que o coeficiente de �� seja 3. 
Podemos novamente usar a fórmula a	�x �	x���x � x�� � 0 . Isso 
resultará em 3.� � ��1�/�� � 5� � 0 ⇔ 3�� � 1��� � 5� � 0. 
Desenvolvendo o primeiro membro, obteremos: 3x� � 12x � 15 � 0 
Outra forma de se fazer: usamos x� � Sx � P � 0 (e multiplicamos o 
resultado obtido por 3 para que o coeficiente de �� se torne 3). 
Raízes -1 e 5: -	 � 	4 e �	 � 	�5. Logo,temos: x� � 4x � 5 � 0. 
Multiplicando todos os termos por 3: 3x� � 12x � 15 � 0 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E5: Na equação 2x 5x c 0− + = , uma das soluções vale 3. Quanto vale c? 
Lembrando da forma x� � Sx � P � 0 , por comparação, temos que - � 5. Se a 
soma vale 5 e a outra raiz vale 3 então: 3	 � 	0	 � 	5 ⇔ 0 � 2 
Logo, a outra raiz vale 2. E como c = P, então temos que 1 � 	3 ⋅ 	2	 � 	6 	
 
E6: Na equação 2x bx 15 0+ + = , uma das soluções vale 5. Quanto vale b? 
Muito parecido com o E5: Sabemos que P	 � 	15 (pois c = 15) e que uma das raízes 
vale 5. Então temos: 0 ⋅ 	5 � 15 ⇔ 0 � ��� ⇔ 0 � 3 
Logo, as raízes são 5 e 3. Como b representa – 	- e a soma (S) vale 8, temos então que 2	 � 	�	8 . 
 
E7: O trinômio do segundo grau ( )y = 2m 1 x² 4mx m+ + + , em que m é um número 
real, é sempre positivo, se e somente se: 
a) 
1
m
2
> b) 
1
0 m
2
< < c)
1
m
2
< d) 
1
m 0
2
− < < 
Nota: esse exercício exige conhecimentos um pouco mais avançados de inequação. Se 
preferir, marque REVISAR e volte aqui quando dominar inequação. 
 
Para que a equação sempre forneça um valor positivo, duas coisas precisam acontecer: 
a) O discriminante �Δ) deve ser negativo (se o delta é negativo a equação não tem 
raízes. 
b) O a (coeficiente de x²) deve ser maior que zero. Isso será melhor visto em 
funções. 
Assim, sendo temos: 4 25 � 1 � 0 ⇔ 25 � �1 ⇔ 5 � � ��2� � 461 � 0 	�45�� � 4 ⋅ �25 � 1� ⋅ 5 � 0 
Vamos simplificar a segunda condição: �45�� � 45 ⋅ �25 � 1� � 0 ⇔ 165� � 85� � 45 � 0 ⇔ 85� � 45 � 0 
4m�2m � 1� � 0 45 � 05 � 12 
Assim, sendo, temos que 0 � 5 � �� ALTERNATIVA B 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E8: Um móvel de R$ 360,00 deveria ser comprado por um grupo de 
rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os 
outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15,00 cada um. 
Qual era a quantidade inicial de rapazes? 
a) 8 b) 12 c) 15 d) 20 
Seja x a quantidade de rapazes. No começo, o valor de 360 precisaria ser 
dividido entre todos, ou seja, cada um pagaria 
�89: � y. 
Como 4 desistiram, esses 360 precisam ser divididos pelos rapazes 
restantes ( x – 4): 
�89:��. Note que cada rapaz não paga mais y, mas sim o 
valor y acrescido de R$ 15,00 (0	 � 15). Assim, temos 2 equações: 
I) 
�89: � y ⇔ y � �89: 
II) 
�89<�� � 0 � 15 ⇔ 0 �	 �89<��� 15 
Como y vale 
�89: (I) e também vale �89<��� 15 (II) podemos igualar essas 
duas expressões: 
�89<��� 15 � �89: ⇔ �89<���<�<���:�:��� � �89�<���:�:��� ⇔ 
Nota: cortamos os denominadores pois obviamente o número de rapazes 
não é nulo e há mais de 4 rapazes. Isso não afetará nossa equação. 360� � 15��� � 4� � 360�� � 4� ⇔ 360� � 15�� � 60� � 360� � 1440 ⇔ �15�� � 60� � �1440 ∶ ��15� ⇔ �� � 4� � 96 ⇔ �� � 4� � 96 � 0 ⇔ ?� � �8	�@ãB	1B@Cé5�� � 12 
Como não faz sentido termos -8 rapazes, então a resposta é 12. 
ALTERNATIVA B 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E9: Se as raízes da equação 22x 5x 4 0− − = são m e n, o valor de 
1 1
m n
+ é: 
a)
5
4
− b)
3
2
− c)
3
4
 d)
7
4
 e)
5
2
 15 � 1@ � @ �55@ � -� 
 
Note que @ �5 representa a soma das raízes (S) e mn representa o 
produto (P). Por isso, tivemos 
EF - � � G� � � ��� � �� � � �� � � �� � �2 
Logo, 
EF � HI�� � �� ⋅ J ���K � � �� 
 
ALTERNATIVA A	
 
E10: A soma das soluções inteiras da equação 2 2 2(x 1)(x 25)(x 5x 6) 0+ − − + = 
é: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11 
 
2 2
2 2 2 2
2
x 1 0 x 1 (sem solução real)
ou
(x 1)(x 25)(x 5x 6) 0 x 25 0 x 5 ou x 5
ou
x 5x 6 0 x 2 ou x 3
 + = ⇔ = −



+ − − + = ⇔ − = ⇔ = = −


 − + = ⇔ = =
 
5 � 5 � 2 � 3 � 5 
ALTERNATIVA C	
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E11: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou 
os números super especiais! 
"Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é 
igual à soma de todos os seus algarismos". 
Por exemplo, 4561 é super especial, pois: 4² = 16 = 4 + 5 + 6 + 1. 
a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo 
das centenas seja 3. 
b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro 
algarismos, cujos três últimos algarismos são 1, 8 e 3. Juntos (183), eles 
formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. 
Represente por "x", o 1o algarismo do número super especial que Isabel 
descobriu. Escreva uma equação do 2° grau que expressa a propriedade 
inventada por ela. 
c) Resolva a equação do 2° grau obtida no item anterior e determine o 
número super especial que Isabel descobriu. 
 
a) Temos que o primeiro algarismo deve valer 3 e os dois seguintes 
somados com o primeiro devem resultar em 9 (que é 3²): 324, por 
exemplo. Há outras respostas possíveis, como 342. 
 
b) Mesma lógica do item a, porém mais algébrica: a é o primeiro algarismo 
e os demais, somados com x devem resultar em x². 
Assim sendo: �� � � � 1 � 8 � 3 ⇔ �� � � � 12 ⇔ �� � � � 12 � 0 
 
c) 
2
1 7
x x 4
2
1 1 4 1 ( 12) 1 49 1 7
x x x ou
2 1 2 2
1 7
x x 3 (não convém)
2
+ = ⇔ =
± − ⋅ ⋅ − ± ±
= ⇔ = ⇔ = 
⋅  −
 = ⇔ = −

 
Logo, x = 4. 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E12: Para qual valor de "a" a equação ( ) ( ) ( ) ( )x 2 2ax 3 x 2 ax 1 0− ⋅ − + − − + = 
tem duas raízes reais e iguais? 
a)-1 b) 0 c) 1 d) 2 
( ) ( ) ( ) ( )x 2 2ax 3 x 2 ax 1 0− ⋅ − + − − + = 
Podemos deixar o �� � 2� em evidência: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
x 2 [ 2ax 3 ax 1 ] 0
x 2 [2ax 3 ax 1] 0
x 2 [ax 3 1] 0
x 2 [ax 2] 0
− ⋅ − + − + =
− ⋅ − − + =
− ⋅ − + =
− ⋅ − =
 
Note que já temos �� � 2�. Para que tenhamos duas raízes iguais o outro 
fator também deve ser �� � 2�: Logo 6 � 1 
ALTERNATIVA C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E13 (ITA 2015): Considere a equação 
2
a b
5
11 x x
2
− =
− −
, com a e b números 
inteiros positivos. Das afirmações: 
I. Se a 1= e b 2= , então x 0= é uma solução da equação. 
2
1 2 1 2
5 5 1 2 ( 2) 5 5 5 VERDADEIRO
1 11 0 10
2 2
− = ⇔ − = ⇔ − ⋅ − = ⇔ =
− − −
 
II. Se x é solução da equação, então 
1
, x 1 e x 1x .
2
≠ ≠ − ≠ 
Os denominadores não podem ser nulos: 
2 2 21 x 0 x 1 e x 1
1 1
x 0 x
2 2
− ≠ ⇔ ≠ ≠ −
− ≠ ⇔ ≠
VERDADEIRO 
 
III.
2
x
3
= não pode ser solução da equação. 
2
a b a b a b a b
5 5 5 5
2 1 4 4 3 9 4 1 5 12 11 3 2 9 6 9 6 9 63
9 6 9a
a b 5 6b 5 9a 30b 25
5 1 5
3(3a 10b) 25
(5)
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
− −  − −− 
 
⋅ − ⋅ ×= ⇔ − = ⇔ − = ⇔
− =
 
Aqui nós temos um absurdo: como a e b são inteiros, a expressão 
(36 � 102� é obviamente inteira. Ou seja, se temos 2 inteiros que 
multiplicados resultam em 25, ambos são divisores de 25 
necessariamente. Ocorre que 3 não é divisor de 25 (temos um absurdo 
aqui) Logo, realmente 
2
x
3
= não pode ser solução. 
 
 É (são) verdadeira(s) 
a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
ALTERNATIVA E (Todas Corretas) 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E14: 10. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função 2y 2x 5x a 3= − + − 
onde 
1 1 4
p q 3
+ = assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim,pode haver mais de uma alternativa verdadeira): 
Inicialmente, temos: 
1 1 4 p q 4 S 4
 
p q 3 pq 3 P 3
+
+ = ⇔ = = 
- � �26 � ��52 � 52 � � �� � ���� ’ 
Assim, temos: 
5
S 4 4 5 2 4 5 42 4(a 3) 5 3
a 3P 3 3 2 (a 3) 3 a 3 3
2
27
4a 12 15 4a 12 15 4a 27 a a 6,75
4
= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ − = ⋅ ⇔
− − −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
Agora, fica fácil avaliar:	
 
01) O valor de a é um número inteiro. Falso, 6,75 não é inteiro. 
02) O valor de a está entre – 20 e 20. Verdadeiro 6,75 está entre -20 e 20. 
04) O valor de a é um número positivo. Verdadeiro 6,75 é positivo. 
08) O valor de a é um número menor que 10. Verdadeiro, 6,75 < 10 
16) O valor de a é um número fracionário. Verdadeiro 
�L� 
 
E15: Resolva a equação: �� � 4 � 0. Considere U =ℂ . 
Lembrando que M� � �1, temos: 
�� � �4 ⇔ �� � 4 ⋅ ��1� ⇔ �� � 4 ⋅ M� ⇔ � � "√4M� ⇔ ?� � �2M� � �2M 
Nota: essa solução só é válida, pois U =ℂ . Se tivéssemos U = ℝ não 
teríamos soluções. 
 
 
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 
 
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E16: Resolva a equação: �� � 25�� 	� 	144 � 0 
Fazendo �� � 	0 , temos: 
y� � 25y � 144 � 0 
y � 25 " N��25�� � 4 ⋅ 1 ⋅ 1442 ⋅ 1 ⇔ y � 25 " √625 � 5762 ⇔ 
y � 25 " √492 ⇔ y � 25 " 72 PQR
QSy � 25 � 72 ⇔ y � 16BTy � 25 � 72 ⇔ y � 9
	
Ótimo, encontramos os valores de y que satisfazem a equação. No entanto, 
não queremos encontrar y e sim x. Vamos lembrar da transformação que 
fizemos no começo: �� � 	0 
Substituindo y por ��, temos: 
y � 16 ⇔ x� � 16 ⇔ U x � �4BTx � �4 
y � 9 ⇔ x� � 9 ⇔ U x � �3BTx � �3 
% � &�4, 4,�3, 3)