Centro de massa Impulso Momento Linear 2018 2

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Rotações, Oscilações e Ondas 
Profa. Andrea Regina Zeni 
A apresentação a seguir é um recurso utilizado em aula. Não substitui o livro. 
Centro de Massa 
 
Momento Linear 
 
Impulso 
Modelo de partícula 
Representa um objeto em movimento como se 
toda sua massa estivesse concentrada em um 
único ponto. 
Modelo de corpo rígido 
É um objeto extenso cujo tamanho e forma 
não se alteram enquanto ele se move. 
Centro de Massa 
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto 
que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse 
concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas 
estivessem aplicadas nesse ponto. 
Centro de Massa 
O centro de massa pode situar-se fora do objeto. 
Centro de 
massa 
Centro de Massa 
A localização do centro de massa é importante para a estabilidade dos corpos 
o objeto está estável 
o objeto está instável e irá cair 
 Faça você a experiência... 
Centro de massa 
Centro de massa 
Centro de massa de um sistema de partículas 






n
i
iicm xm
Mmm
xmxm
x
121
2211 1
Centro de massa de um sistema de partículas 
 Em três dimensões: 









n
i
iicm
n
i
iicm
n
i
iicm
zm
M
z
ym
M
y
xm
M
x
1
1
1
1
1
1



n
i
iicm rm
M
r
1
1
Problema 1 
(1) 
Centro de massa de corpos rígidos 






dmz
M
z
dmy
M
y
dmx
M
x
cm
cm
cm
1
1
1
(2) 
Centro de massa de corpos rígidos 
OBS. 
 
1) Objetos homogêneos: 
 
 
 
 
 
2) Pode-se evitar a integral 
se o objeto tiver um ou 
mais eixos de simetria: 
 
 
 
𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
=
𝑀
𝑉
 
Problema 2 
A figura mostra uma placa quadrada uniforme, da qual quatro partes quadradas iguais 
são removidas dos cantos. 
 
(a)Onde fica o centro de massa da placa original? 
 
Onde fica o centro de massa após a remoção: 
(b) da parte 1; 
(c) das partes 1 e 2; 
(d) das partes 1 e 3; 
(e) das partes 1, 2 e 3; 
(f) das quatro partes? 
 
Responda em termos dos quadrantes, eixos ou pontos (sem realizar nenhum cálculo). 
A figura mostra uma placa quadrada uniforme, da qual quatro partes quadradas iguais 
são removidas dos cantos. 
 
(a)Onde fica o centro de massa da placa original? Origem 
 
Onde fica o centro de massa após a remoção: 
(b) da parte 1; Quarto quadrante 
(c) das partes 1 e 2; Sobre o eixo y, abaixo da origem 
(d) das partes 1 e 3; Origem 
(e) das partes 1, 2 e 3; Terceiro quadrante 
(f) das quatro partes? Origem 
 
Responda em termos dos quadrantes, eixos ou pontos (sem realizar nenhum cálculo). 
Forças internas e forças externas 
Sistema de partículas 
Sistema de partículas 
Segunda lei de Newton para um sistema de partículas 
𝐹 𝑟𝑒𝑠 = 𝑀𝑎 𝑐𝑚 
1) 𝐹 𝑟𝑒𝑠 é resultante de todas as forças externas. 
2) M é a massa total. O sistema é fechado: não entra nem sai 
massa do sistema. 
3) 𝑎 𝑐𝑚 é a aceleração do centro de massa. 
𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑥 = 𝑀𝑎𝑐𝑚,𝑥 
𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑦 = 𝑀𝑎𝑐𝑚,𝑦 
𝐹𝑟𝑒𝑠,𝑧 = 𝑀𝑎𝑐𝑚,𝑧 
(3) 
Forças internas não perturbam o CM 
DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO: 
𝐹 𝑟𝑒𝑠 = 𝑀𝑎 𝑐𝑚 
(3) 
𝑀𝑟 𝑐𝑚 = 𝑚1 𝑟 1 + 𝑚2𝑟 2 + 𝑚3𝑟 3 + …+ 𝑚𝑛 𝑟 𝑛 
 
𝑀
𝑑𝑟 𝑐𝑚
𝑑𝑡
 = 𝑚1
𝑑𝑟 1
𝑑𝑡
+ 𝑚2
𝑑𝑟 2
𝑑𝑡
+ 𝑚3
𝑑𝑟 3
𝑑𝑡
+ ⋯+ 𝑚𝑛
𝑑𝑟 𝑛
𝑑𝑡
 
 
𝑀𝑣 𝑐𝑚 = 𝑚1 𝑣 1 + 𝑚2𝑣 2 + 𝑚3𝑣 3 + …+ 𝑚𝑛 𝑣 𝑛 
 
𝑀
𝑑𝑣 𝑐𝑚
𝑑𝑡
 = 𝑚1
𝑑𝑣 1
𝑑𝑡
+ 𝑚2
𝑑𝑣 2
𝑑𝑡
+ 𝑚3
𝑑𝑣 3
𝑑𝑡
+ ⋯+ 𝑚𝑛
𝑑𝑣 𝑛
𝑑𝑡
 
 
𝑀𝑎 𝑐𝑚 = 𝑚1𝑎 1 + 𝑚2𝑎 2 + 𝑚3𝑎 3 + …+ 𝑚𝑛 𝑎 𝑛 
 
𝑀𝑎 𝑐𝑚 = 𝐹 1 + 𝐹 2 + 𝐹 3 + ⋯+ 𝐹 𝑛 
 
𝑀𝑎 𝑐𝑚 = 𝐹 𝑟𝑒𝑠 
 
Soma das forças internas e externas. Forças internas se cancelam aos 
pares: 3ª lei de Newton. Restam apenas as forças externas: 𝐹 𝑟𝑒𝑠. 
Forças internas não perturbam o CM 
𝑟 𝑐𝑚 =
1
𝑀
 𝑚𝑖𝑟 𝑖
𝑛
𝑖=1 (1) 
 
Problema 4 
PHET 
Momento linear 
Momento linear 
Momento linear de uma partícula: 
vmp


(kg.m/s) (4) 
𝑝 1 = 𝑚1𝑣 1 
𝑚1 
Momento linear 
Momento linear de uma partícula: dt
pd
F
vm
dt
d
F
dt
vd
mF
amF
res
res
res
res








)(
Segunda lei de Newton 
vmp


(kg.m/s) (4) 
(5) 
𝑝 1 = 𝑚1𝑣 1 
𝑚1 
 𝑝 1 
 
 𝑝 2 𝑝 3 
 
 𝑝 4 
Momento linear 
Momento linear de um sistema de partículas: 
𝑃 = 𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 +⋯ + 𝑝 𝑛 
 
𝑃 = 𝑚1𝑣 1+𝑚2𝑣 2+𝑚3𝑣 3+⋯ +𝑚𝑛𝑣 𝑛 
 
𝑃 = 𝑀𝑣 𝑐𝑚 
 𝑝 1 
 
 𝑝 2 𝑝 3 
 
 𝑝 4 
Momento linear 
Momento linear de um sistema de partículas: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑𝑣 𝑐𝑚
𝑑𝑡
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑀𝑎 𝑐𝑚 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐹 𝑟𝑒𝑠 
(6) 
Colisão e Impulso 
Colisão e Impulso 
∆t 
Impulso 
(7) 
(kg.m/s) 
if ppJ
dttFJ



  )(
(8) 
(N.s) 
if
p
p
p
p
t
t
ppJ
pdJ
dt
dt
pd
dttF
dt
pd
tF
f
i
f
i
f
i









 )(
)(
Impulso tFJ méd

(9) 
 (a) (b) 
FΔt = Mudança no momento FΔt = Mudança no momento 
Problema 6