Aula 4 Vetores

Prévia do material em texto

Vetores - Aula 4
1 de marc¸o de 2018
Sistemas de coordenadas; quantidade escalar; quantidade vetorial; propri-
edades de vetores; componentes vetoriais; vetor unita´rio.
1 Sistemas de Coordenadas
Para se localizar uma part´ıcula ou um objeto qualquer em um espac¸o bidimensional e´
necessa´rio o uso de um sistema de coordenadas, por exemplo, o sistema de coordenadas
cartesianas, em que dois eixos perpendiculares se interceptam em um ponto definido
como a origem (veja Figura 1)
Figura 1: Designac¸a˜o de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas. Cada ponto
e´ rotulado com coordenadas (x, y).
Pode-se tambe´m representar um ponto por suas coordenadas polares (r, θ), como
apresentado na Figura 2. Nesse sistema, r e´ a distaˆncia entre a origem e o ponto
cujas coordenadas cartesianas sa˜o (x, y) e θ e´ o aˆngulo entre um determinado eixo
(normalmente o eixo-x ) e a linha reta que liga a origem ao ponto.
1
Figura 2: (a) As coordenadas polares de um ponto sa˜o representadas pela distaˆncia r e
o aˆngulo θ. (b) Triaˆngulo retaˆngulo usado para relacionar (x, y) a (r, θ).
Partindo das coordenadas polares de qualquer ponto do plano, e´ poss´ıvel calcular as
coordenadas cartesianas do mesmo usando as seguintes equac¸o˜es:
x = r cos θ (1)
y = r sin θ (2)
Por outro lado, se conhecemos as coordenadas cartesianas, podemos encontrar as
coordenadas polares:
r =√x2 + y2 (3)
tan θ = y
x
(4)
——————————
Exemplo 1. Encontre as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas cartesianas
sa˜o (-3,51, -2,60). (R - r = 4,37 e θ = 217°)
——————————
2
2 Vetores e Escalares
Uma quantidade escalar e´ completamente definida por um u´nico
valor com sua unidade correta.
Exemplos de quantidades escalares sa˜o temperatura, massa, volume e tempo. As
operac¸o˜es aritme´ticas ba´sicas sa˜o suficientes para manipular estas quantidades.
Se voceˆ vai se aventurar no mar em uma pequena embarcac¸a˜o e precisa conhecer a
velocidade do vento, na˜o basta somente o valor da velocidade, mas tambe´m a direc¸a˜o
da mesma. Desta forma, a velocidade e´ uma quantidade vetorial.
Uma quantidade vetorial e´ completamente especificada por seu
valor (com sua unidade correta) e mais sua direc¸a˜o.
Exemplos de quantidades vetoriais sa˜o deslocamento, acelerac¸a˜o, forc¸a e campo ele´trico.
Neste texto, vetores sa˜o representados por letras com uma seta sobre elas, por exemplo,
o vetor A e´ representado por A⃗. A magnitude ou mo´dulo do vetor A e´ representada por
A ou ∣A∣.
2.1 Igualdade entre vetores
Dois vetores A⃗ e B⃗ sa˜o iguais se eles possuem a mesma magnitude, mesma direc¸a˜o e
sentido, ou seja:
A⃗ = B⃗ se e somente se ∣A∣ = ∣B∣ e direc¸a˜o e sentido de ambos sa˜o os mesmos.
Por exemplo, todos os vetores apresentados na Figura 3 sa˜o iguais, embora tenham
diferentes pontos de partida, mas eles possuem os mesmos mo´dulo, direc¸a˜o e sentido.
Figura 3: Todos estes vetores sa˜o
iguais, pois possuem mesmo
tamanho, direc¸a˜o e sentido.
3
2.2 Adic¸a˜o de Vetores
A adic¸a˜o de vetores pode ser feita de forma gra´fica, em que se representam os mesmos
em uma mesma escala. Para se adicionar dois vetores graficamente, desenha-se um
dos vetores e depois desenha-se o outro iniciando na ponta da seta do primeiro. o
vetor resultante e´ aquele que inicia no in´ıcio do primeiro e finaliza na ponta da seta do
segundo, conforme pode ser visto na Figura 4. (Para se somar treˆs ou mais vetores,
usa-se a mesma regra)
Figura 4: Soma de vetores: A⃗ + B⃗ = C⃗.
A soma de vetores e´ uma operac¸a˜o comutativa, ou seja:
A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗
A soma de vetores e´ uma operac¸a˜o associativa, ou seja:
A⃗ + (B⃗ + C⃗) = (A⃗ + B⃗) + C⃗
Para se encontrar o vetor resultante da soma alge´brica de dois vetores, usa-se a lei dos
cossenos para o mo´dulo (Veja a Figura 5).
∣R∣ =√∣A∣2 + ∣B∣2 − 2∣A∣∣B∣ cos θ
4
sendo θ o aˆngulo entre os vetores A⃗ e B⃗
E a lei dos senos para a direc¸a˜o (veja Figura 5)
sinβ
B
= sin θ
R⇒ sinβ = B
R
sin θ
Como a direc¸a˜o e´ dada em relac¸a˜o ao eixo-x, enta˜o, a direc¸a˜o do vetor R⃗ e´ igual a
90° − β
Figura 5: Observe os aˆngulos da figura e veja a soma alge´brica no texto.
2.3 Negativo de um vetor e subtrac¸a˜o de vetores
O negativo de um vetor A⃗ e´ definido como o vetor que quando somado com A⃗ o resultado
e´ zero, isto e´:
A⃗ + (−A⃗) = 0
Os vetores A⃗ e −A⃗ possuem a mesma magnitude, mas direc¸o˜es opostas (ou mesma
direc¸a˜o e sentidos opostos).
A operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores faz uso da definic¸a˜o de negativo de um vetor.
Define-se a operac¸a˜o de subtrac¸a˜o
5
A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗)
A construc¸a˜o geome´trica para a subtrac¸a˜o de dois vetores e´ apresentada na Figura 6
Figura 6: Exemplo da subtrac¸a˜o de dois vetores.
2.4 Vetor Unita´rio e Componentes de um Vetor
A projec¸a˜o de um vetor sobre uma dada coordenada e´ denominada de componente do
vetor. Se a projec¸a˜o se da´ sobre a coordenada-x, diz-se que e´ a componente-x do vetor.
Se for na direc¸a˜o-y diz-se ser a componente-y do vetor.
Qualquer vetor pode ser completamente descrito por suas compo-
nentes.
Considere o vetor A⃗ apresentado na Figura 7, o mesmo pode ser descrito como a soma
vetorial de suas duas componentes perpendiculares A⃗x e A⃗y, ou seja:
A⃗ = A⃗x + A⃗y
sendo A⃗x paralela ao eixo-x e A⃗y paralela ao eixo-y, conforme pode ser visto na figura.
6
Figura 7: O vetor A⃗ e suas duas componentes perpendiculares entre si, A⃗x e A⃗y.
Para simplificar, daqui em diante escreveremos as componentes como Ax e Ay, sem a
seta.
Da definic¸a˜o de seno e cosseno, tem-se que sin θ = Ay/A e cos θ = Ax/A. Assim, os
valores das componentes sa˜o:
Ax = A cos θ (5)
Ay = A sin θ (6)
Desta forma, a magnitude e a direc¸a˜o do vetor A⃗ podem ser expressas da seguinte
forma:
A =√A2x +A2y (7)
θ = tan−1 (Ay
Ax
) (8)
7
Lembre que qualquer componente de um vetor sera´ sempre menor
que o vetor.
2.5 Vetores Unita´rios
Um vetor unita´rio e´ um vetor adimensional cujo mo´dulo e´ sempre igual a 1. Os
mesmos sa˜o usados para especificar uma dada direc¸a˜o no espac¸o. Os s´ımbolos iˆ, jˆ e
kˆ sa˜o usados para representar os vetores unita´rios que apontam, respectivamente nas
direc¸o˜es positivas dos eixos x, y e z. Veja Figura 8.
Figura 8: Vetores unita´rios iˆ, jˆ e kˆ
e suas respectivas direc¸o˜es
no sentido positivo dos eixos
x, y e z.
Desta forma, o vetor A⃗ (Figura 7) pode ser representado pelas suas componentes da
seguinte forma:
A⃗ = Axiˆ +Ayjˆ (9)
Dados dois vetores A⃗ e B⃗ em um plano cartesiano e o respectivo vetor resultante C⃗
(veja Figura 9), os vetores A⃗ e B⃗ podem ser decompostos em suas respectivas compo-
nentes como segue:
A⃗ = Axiˆ +Ay jˆ B⃗ = Bxiˆ +By jˆ
Sendo C⃗ o vetor resultante, temos:
C⃗ = (Axiˆ +Ay jˆ) + (Bxiˆ +By jˆ)
ou
8
Figura 9: Soma de dois vetores mostrando a relac¸a˜o entre as componentes do vetor
resultante C⃗ e as componentes dos vetores A⃗ e B⃗.
C⃗ = (Ax +Bx)ˆi + (Ay +By)jˆ
sendo
Cxiˆ = (Ax +Bx)ˆi e Cy jˆ = (Ay +By)jˆ
Desta forma, o mo´dulo ou magnitude de C⃗ e´ dado por:
C =√(Cx)2 + (Cy)2 =√(Ax +Bx)2 + (Ay +By)2
e a sua direc¸a˜o por:
tan θ = Cy
Cx
= (Ay +By)(Ax +Bx)
————————
Exemplo 2. Dados dois vetores deslocamento no plano-xy, A⃗ = (3, 0ˆi + 5,0jˆ) m e B⃗ =(5, 0ˆi+1,0jˆ) m, encontre o vetor deslocamento total, bem como seus mo´dulo e direc¸a˜o.
——————————
9
Exemplo 3. Uma part´ıcula se desloca no plano-xyz da seguinte forma: r⃗1 = (3, 0ˆi +
5,0jˆ − 7,0kˆ) m; r⃗2 = (5, 0ˆi − 6,0jˆ + 3,0kˆ) m e r⃗3 = (−2, 0ˆi + 10jˆ + 3,0kˆ) m, encontre o
vetor deslocamento total e seu respectivo mo´dulo.
——————————
3 Lista de Exerc´ıcios
1. Um pa´ssaro voa 60,0 m numa trajeto´ria de 30,0° abaixo da horizontal em busca
de sua presa que se encontra no solo. Qual a menor distaˆncia entre o pa´ssaro e o
solo no instanteem que ele inicia seu voˆo?
2. A posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada por suas coordenadas polares r = 6,50 m e
θ = 315°. Quais sa˜o as coordenadas cartesianas da part´ıcula?
3. As respectivas coordenadas polares de dois pontos em um plano sa˜o (2,50m, 30,0°)
e (3,80 m, 120,0°). Determine (a) as coordenadas cartesianas dos pontos e (b) a
distaˆncia entre eles.
4. Um engenheiro mede uma distaˆncia em linha reta nas margens de um rio, paralela
ao leito do mesmo, da seguinte forma: iniciando diretamente em frente a uma
a´rvore na margem oposta, ele caminha uma distaˆncia de 100 m, estabelecendo
uma linha base. No final da caminhada ele mira para a a´rvore na margem oposta
e o aˆngulo formado pela linha de sua caminhada com a linha de sua visa˜o e´ de
θ = 35,0° (veja Figura 10). Qual a largura do rio?
Figura 10:
5. Um vetor A⃗ possui uma componente x de 25,0 unidades e uma componente y de
30,0 unidades. Encontre a magnitude e a direc¸a˜o deste vetor.
6. Um entregador de jornais faz sua rota se deslocando 3,00 quadras a oeste, 4,00
quadras ao norte e depois 6,00 quadras a leste. (a) Qual o seu deslocamento? (b)
10
Qual a distaˆncia percorrida pelo mesmo?
7. Encontre as expresso˜es na forma de componentes para a posic¸a˜o dos seguintes
vetores dados em coordenadas polares: (a) 12,8 m - 150°; (b) 3,30 cm - 60,0°; (c)
22,0 in - 215°.
8. Um vetor A⃗ possui coordenadas x, y e z iguais a 8,00, 12,0 e −4,00 unidades,
respectivamente. (a) Escreva uma expressa˜o para o vetor A⃗ em termos de vetores
unita´rios; (b) Obtenha uma expressa˜o para um vetor B⃗ que possui magnitude igual
a um quarto de A⃗ e mesma direc¸a˜o; (c) Obtenha uma expressa˜o para um vetor C⃗
que possui treˆs vezes a magnitude de A⃗ e direc¸a˜o contra´ria.
9. Sendo A⃗ = 6,00ˆi−8,00jˆ, B⃗ = −8,00ˆi+3,00jˆ e C⃗ = 26, 0ˆi+19,0jˆ unidades, determine
a e b tal que aA⃗ + bB⃗ + C⃗ = 0.
10. Considere os seguintes vetores: A⃗ = 3ˆi − 2jˆ e B⃗ = −iˆ − 4jˆ. Calcule: (a) A⃗ + B⃗; (b)
A⃗ − B⃗; (c) ∣A⃗ + B⃗∣; (d) ∣A⃗ − B⃗∣; (e) Direc¸a˜o de A⃗ + B⃗ e de A⃗ − B⃗.
11
4 Respostas aos Exerc´ıcios
1. d = 30,0 m;
2. (4,60, −4,60) m;
3. (a) (x1, y1) = (2,17, 1,25) m (x2, y2) = (1,90, 3,29) m
(b) d = 4,55 m;
4. L = 70,0 m;
5. ∣A⃗∣ = 39,1 unidades; θ = 50,2°;
6. (a) 5 quadras; (b) 13 quadras;
7. (a) (−11, 1ˆi + 6,40jˆ) m
(b) (1,65ˆi + 2,86jˆ) cm
(c) (−18, 0ˆi − 12,6jˆ) in.
8. (a) A⃗ = 8,00ˆi + 12,0jˆ − 4,00kˆ;
(b) B⃗ = 2,00ˆi + 3,0jˆ − 1,00kˆ;
(c) A⃗ = −24,00ˆi − 36,0jˆ + 12,00kˆ.
9. a = 5,00 e b = 7,00.
12