calculo 1 aula 01

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Notas histo´ricas
Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Ca´lculo 1
Bras´ılia, 1o semestre de 2010
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Ca´lculo 1
Notas histo´ricas
Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Notas histo´ricas
Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Ca´lculo 1
Notas histo´ricas
Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Origens do Ca´lculo
I Etimologia: Ca´lculo, do Latin calculus,
pequenas pedras (ou “contas”)
utilizadas para a contagem.
I Eg´ıpcios (1800 A.C.): Volume de um
tronco de piraˆmide;
I Demo´crito (460-370 A.C.): Registros
que demonstram preocupac¸a˜o sobre a
divisa˜o de objetos em infinitas partes
para a determinac¸a˜o do volume;
I Arquimedes (287-212 A.C.): me´todo
da exausta˜o, quadratura da para´bola.
dd
Ca´lculo 1
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Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Contribuic¸o˜es pelo mundo
I China: Liu Hui (se´culo III), teorema de Pita´goras (Gougu)
para determinac¸a˜o de comprimentos;
I I´ndia: Aryabhata (476-550), volume do cubo;
I Iraque: Ibn al-Haytham (965-1039), volume do parabolo´ide;
I Iran (Pe´rsia): Sharaf al-Din al-Tusi (1135 - 1213), derivada de
polinoˆmios de terceiro grau;
I I´ndia : Vatasseri Parameshvara (1360-1425), teorema do valor
me´dio;
I Franc¸a: Pierre de Fermat (1601-1665), integrais de
polinoˆmios.
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Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Fundamentac¸a˜o
I Sir Isaac Newton (1643–1727): Uso do
ca´lculo para a soluc¸a˜o de problemas
geome´tricos e descric¸a˜o de modelos
f´ısicos;
I Gottfried Leibniz (1646 - 1716):
Desenvolvimento paralelo ao de Newton.
Definic¸a˜o de notac¸o˜es
∫
, d/dx e regras
de derivac¸a˜o;
I Ambos chegaram a` versa˜o moderna do
Teorema Fundamental do Ca´lculo. Sa˜o
considerados os “inventores” do Ca´lculo
moderno.
“Se vi mais longe, foi por estar de pe´ sobre ombros de
gigantes.”(Estava mesmo!)
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Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
O Problema da A´rea – Ca´lculo Integral
I Integrar e´ determinar a a´rea sob
uma curva
(
S =
∫ b
a f (x)dx
)
;
I Faz-se isso somando-se infinitos
pedac¸os, infinitamente pequenos;
I O s´ımbolo da integral
∫
e´ um “S”
estilizado, em refereˆncia a` palavra
Summa (Soma em Latin)
I A integral pode somar muita coisa!
A´reas, volumes, comprimentos, forc¸as,
vaza˜o, trabalho, poteˆncia, ...
0.0 2.0 4.0
0.0
10.0
f(x)= x2
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O Problema da Tangente – Ca´lculo Diferencial
I A Derivada e´ a inclinac¸a˜o da reta
tangente a uma dada curva;
I Derivamos uma func¸a˜o em um ponto a
calculando a inclinac¸a˜o da reta secante
m = f (b)−f (a)b−a e depois fazendo b
aproximar-se “infinitamente” de a;
I A derivada e´ uma raza˜o entre
comprimento de intervalos na
ordenada e na abscissa de uma func¸a˜o,
infinitamente pequenos (diferenciais).
I A derivada calcula da velocidade, a
acelerac¸a˜o, taxas de crescimento,
decrescimento e variac¸a˜o de grandezas
em geral;
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Limites - A Ferramenta do Ca´lculo
I Para somar infinitos pedac¸os, infinitamente pequenas, usamos
limites: ∫ b
a
f (x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi )∆xi
I Para fazermos com que b aproxime-se arbitrariamente de a,
tambe´m:
df (a)
dx
= lim
b→a
f (a)− f (b)
a− b
I Derivadas e integrais sa˜o definidas utilizando limites;
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Descric¸a˜o de Leis da F´ısica
Todas as leis da F´ısica (as que entendemos e as que na˜o
entendemos tambe´m!), sa˜o descritas na forma de equac¸o˜es
envolvendo derivadas, integrais ou ambas:
I Mecaˆnica Cla´ssica: Cinema´tica
(
v = drdt , a =
d2r
dt2
, . . .
)
,
Dinaˆmica
(
F = d(mv)dt , W =
∫
c f · dx, J =
∫
c r
2 dm, . . .
)
;
I Leis de Maxwell do Eletromagnetismo(∇× E = −∂B∂t , ∮S B · ds = 0, . . . );
I Mecaˆnica dos Fluidos: ρ
(
∂v
∂t + v · ∇v
)
= −∇p +∇ · T+ f
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Os “Problemas” do Ca´lculo
Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
Modelos de fenoˆmenos ou processos
Muitos fenoˆmenos podem ser modelados empregado equac¸o˜es
diferencias (equac¸o˜es envolvendo derivadas):
I Crescimento populacional:
dN
dt
= κN;
I Absorc¸a˜o de um fa´rmaco:
dφ
dt
= −κφ;
I Disseminac¸a˜o de uma doenc¸a contagiosa:
dN
dt
= κN(L− N);
I Vibrac¸a˜o de um sistema: y ′′(t) +
(
k
m
)
y(t) = 0;
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Aplicac¸o˜es do Ca´lculo
O Ca´lculo como linguagem da engenharia e da cieˆncia
I O curso de Ca´lculo 1 e´ um requisito ba´sico para que voceˆ
possa ler textos te´cnicos e cient´ıficos em engenharia;
I Voceˆ usara´ o Ca´lculo durante todo o seu curso e muitas vezes
em sua vida profissional tambe´m;
I O Ca´lculo e´ muito importante e muito legal!!!
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Refereˆncias
I Pro´xima aula: livro texto: sec¸o˜es 1.1, 1.2 e 1.3;
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	Notas históricas
	Os ``Problemas'' do Cálculo
	Aplicações do Cálculo