calculo 1 aula 05

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Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limites - 2
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Conteu´do
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Definic¸a˜o
Seja V ⊂ R e f : V → R. Dizemos que o limite de f (x) quando
x tende a a sera´ L, e escrevemos
lim
x→a f (x) = L,
se para todo ε > 0 ha´ um nu´mero correspondente δ > 0 tal que
|f (x)− L| < ε sempre que 0 < |x − a| < δ.
De outra forma:
I Se 0 < |x − a| < δ enta˜o |f (x)− L| < ε
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Aspectos gra´ficos
x
y
-1 1 3 5 7 9
-5
0
5
10
15
20
25 f(x)=4x-5
5+δ5-δ
15+ε
15-ε
lim
x→5
f (x) = 15???
I Se escolhemos
ε = 0, 4, enta˜o
δ = 0, 1;
I Se escolhemos
ε = 0, 1, enta˜o
δ = 0, 025;
I Tudo indica sempre
podemos encontrar
δ dado um valor de
ε, na˜o importa o
qua˜o pequeno seja
o segundo.
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Provando o limite
I Queremos determinar nu´meros reais positivos ε e δ, tais que,
se 0 < |x − 5| < δ, enta˜o |f (x)− 15| < ε;
I |f (x)− 15| = |4x − 5− 15| = 4|x − 5|;
I Logo, se |f (x)− 15| < ε, enta˜o |x − 5| < ε/4;
I Desta forma, para todo valor de ε dado, basta escolher
δ = ε/4 que a definic¸a˜o esta´ satisfeita;
I Provamos assim que lim
x→5
f (x) = 15 (a menos da “prova da
volta”)
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Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Outras provas de limites
Provar que:
I lim
x→−1
2x − 3 = −5;
I lim
x→0
4x − 7 = −7;
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Um pouco de histo´ria
I Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), engenheiro militar e
professor de matema´tica em Paris, definiu:“Quando os valores
sucessivos atribu´ıdos a uma varia´vel aproximam-se
indefinidamente de um valor fixo de forma que no final
diferem dele por ta˜o pouco quanto se queira, esse u´ltimo e´
chamado limite de todos os outros”;
I Frequentemente Cauchy iniciava suas demonstrac¸o˜es com a
frase: “ Designando por δ e ε dois nu´meros muito
pequenos...”;
I Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a definic¸a˜o que
demos ha´ pouco.
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Propriedades
(i) lim
x→a(mx + b) = ma + b, em que m e b sa˜o constantes
quaisquer;
Exemplo: lim
x→1
(4x − 3) = 4 · 1− 3 = 1.
Casos particulares:
• lim
x→a b = b;
• lim
x→a x = a;
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Propriedades
(i) lim
x→a(mx + b) = ma + b, em que m e b sa˜o constantes
quaisquer;
Exemplo: lim
x→1
(4x − 3) = 4 · 1− 3 = 1.
Casos particulares:
• lim
x→a b = b;
• lim
x→a x = a;
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Propriedades
(i) lim
x→a(mx + b) = ma + b, em que m e b sa˜o constantes
quaisquer;
Exemplo: lim
x→1
(4x − 3) = 4 · 1− 3 = 1.
Casos particulares:
• lim
x→a b = b;
• lim
x→a x = a;
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Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limite da soma
(ii) Se lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) = M, enta˜o
lim
x→a(f (x)± g(x)) = L±M;
I Observe a utilidade da desigualdade triangular na
demonstrac¸a˜o: |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limite do produto
(iii) Se lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) = M, enta˜o
lim
x→a[f (x) · g(x)] = L ·M.
I Fac¸a os exerc´ıcios 49 e 50 da pa´gina 73 do livro texto
Consequ¨eˆncias:
• lim
x→a[f (x)]
n = Ln, em que n e´ um inteiro positivo;
• lim
x→a
[
f (x)
g(x)
]
=
L
M
, desde que M 6= 0;
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limite do produto
(iii) Se lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) = M, enta˜o
lim
x→a[f (x) · g(x)] = L ·M.
I Fac¸a os exerc´ıcios 49 e 50 da pa´gina 73 do livro texto
Consequ¨eˆncias:
• lim
x→a[f (x)]
n = Ln, em que n e´ um inteiro positivo;
• lim
x→a
[
f (x)
g(x)
]
=
L
M
, desde que M 6= 0;
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Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limites e radicais
(iv) Se lim
x→a f (x) = L enta˜o limx→a
n
√
f (x) =
n
√
L;
I Demonstrac¸a˜o: Vide Leithold, 2a edic¸a˜o.
Consequ¨eˆncia:
• lim
x→a[f (x)]
n
m = L
n
m , em que n e m sa˜o nu´meros inteiros
positivos e m 6= 0.
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Limites e radicais
(iv) Se lim
x→a f (x) = L enta˜o limx→a
n
√
f (x) =
n
√
L;
I Demonstrac¸a˜o: Vide Leithold, 2a edic¸a˜o.
Consequ¨eˆncia:
• lim
x→a[f (x)]
n
m = L
n
m , em que n e m sa˜o nu´meros inteiros
positivos e m 6= 0.
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Exemplos
I lim
x→2
4x2−3x+2 = 4· lim
x→2
x2−3· lim
x→2
x+2 = 4·22−3·2+2 = 12
I lim
x→3
√
x2 − 1 =
√
lim
x→3
(x2 − 1) =
√
32 − 1 =
√
8
I lim
x→0
√
4x2 − 3x + 2
x2 + 1
=
√
2
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Exemplos
I lim
x→2
4x2−3x+2 = 4· lim
x→2
x2−3· lim
x→2
x+2 = 4·22−3·2+2 = 12
I lim
x→3
√
x2 − 1 =
√
lim
x→3
(x2 − 1) =
√
32 − 1 =
√
8
I lim
x→0
√
4x2 − 3x + 2
x2 + 1
=
√
2
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Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Exemplos
I lim
x→2
4x2−3x+2 = 4· lim
x→2
x2−3· lim
x→2
x+2 = 4·22−3·2+2 = 12
I lim
x→3
√
x2 − 1 =
√
lim
x→3
(x2 − 1) =
√
32 − 1 =
√
8
I lim
x→0
√
4x2 − 3x + 2
x2 + 1
=
√
2
Limites - 2
Definic¸a˜o de limite
Propriedades dos limites
Refereˆncias
I Livro texto: sec¸a˜o 2.3;
I Pro´xima aula: Livro texto: sec¸a˜o 2.4;
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