calculo 1 aula 08

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Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de Func¸o˜es
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Conteu´do
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Noc¸a˜o gra´fica de continuidade
A continuidade de uma func¸a˜o esta relacionada com presenc¸a ou
auseˆncia de quebras no seu gra´fico.
I Consideremos f : R→ R,
tal que
f (x) =
{
x2 − 1, x < 2
3x + 1, x ≥ 2
I No ponto x = 2 a func¸a˜o
sofre uma “quebra”,
apesar de estar bem
definida;
I Nesse ponto f e´ dita
descont´ınua.
x
y
-2 0 2 40
4
8
12
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Definic¸a˜o
Seja V ⊂ R e f : V → R, dizemos que f e´ cont´ınua no ponto
a ∈ V se, e somente se:
(i) f (a) existe;
(ii) lim
x→a f (x) existe;
(iii) lim
x→a f (x) = f (a).
Se uma ou mais dessas condic¸o˜es na˜o forem verificadas em a, a
func¸a˜o f sera´ descont´ınua em a.
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Motivac¸a˜o
O estudo da continuidade de func¸o˜es e´ importante para:
I Descric¸a˜o de fenoˆmenos f´ısicos: ha´ para todos os gostos,
cont´ınuos, descont´ınuos ou ambos!?
I Me´todos nume´ricos: determinac¸a˜o de zeros de func¸o˜es,
discretizac¸o˜es nume´ricas;
I Geometria e a Mecaˆnica dos Meios Cont´ınuos;
I Suporte para uma imensida˜o de teoremas da matema´tica.
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Exemplos
Onde a func¸a˜o e´ descont´ınua e por que?
f (x) =

1
x − 1 , x 6= 1
0, x = 1
x
y
-3 -1 1 3 5
-10
-5
0
5
10
f (x) =

2− |x − 3|, x 6= 3
1, x = 3 x
y
-1 1 3 5 7
-2
-1
0
1
2
3
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Teoremas
Teorema: Se f e g forem func¸o˜es cont´ınuas em um dado nu´mero
a, enta˜o:
(i) f + g sera´ cont´ınua em a;
(ii) f − g sera´ cont´ınua em a;
(iii) f · g sera´ cont´ınua em a;
(iv) f /g sera´ cont´ınua em a, desde que g(a) 6= 0.
Teorema: Uma func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em qualquer ponto.
Teorema: Uma func¸a˜o racional e´ cont´ınua em qualquer ponto do
seu dom´ınio.
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Exerc´ıcios
Em cada caso, esboce o gra´fico, identifique o ponto em que ocorre
a descontinuidade e mostre, sob a luz da definic¸a˜o, por que a
func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua naquele ponto:
1. f (x) =
x2 − x − 2
x − 2
2. x(f ) =
f 4 − 16
f 2 − 4
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Exerc´ıcios
Em cada caso, esboce o gra´fico, identifique o ponto em que ocorre
a descontinuidade e mostre, sob a luz da definic¸a˜o, por que a
func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua naquele ponto:
1. f (x) =
x2 − x − 2
x − 2 2. x(f ) =
f 4 − 16
f 2 − 4
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Limite da func¸a˜o composta
Teorema: Se lim
x→a g(x) = b e se a func¸a˜o f for cont´ınua em b,
enta˜o:
lim
x→a(f ◦ g)(x) = f (b)
ou, de forma equivalente,
lim
x→a f (g(x)) = f
(
lim
x→a g(x)
)
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade da func¸a˜o composta
Teorema: Se a func¸a˜o g for continua em a e a func¸a˜o f for
cont´ınua em g(a), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g sera´ cont´ınua
em a.
Prova:
I Por hipo´tese lim
x→a
g(x) = g(a);
I Desde que f e´ cont´ınua em g(a), aplicamos o teorema anterior para
afirmar que
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = lim
x→a
f (g(x)) = f ( lim
x→a
g(x)) = f (g(a)) = (f ◦ g)(a);
I Logo lim
x→a
(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(a), e teorema esta´ demonstrado;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade da func¸a˜o composta
Teorema: Se a func¸a˜o g for continua em a e a func¸a˜o f for
cont´ınua em g(a), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g sera´ cont´ınua
em a.
Prova:
I Por hipo´tese lim
x→a
g(x) = g(a);
I Desde que f e´ cont´ınua em g(a), aplicamos o teorema anterior para
afirmar que
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = lim
x→a
f (g(x)) = f ( lim
x→a
g(x)) = f (g(a)) = (f ◦ g)(a);
I Logo lim
x→a
(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(a), e teorema esta´ demonstrado;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade da func¸a˜o composta
Teorema: Se a func¸a˜o g for continua em a e a func¸a˜o f for
cont´ınua em g(a), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g sera´ cont´ınua
em a.
Prova:
I Por hipo´tese lim
x→a
g(x) = g(a);
I Desde que f e´ cont´ınua em g(a), aplicamos o teorema anterior para
afirmar que
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = lim
x→a
f (g(x)) = f ( lim
x→a
g(x)) = f (g(a)) = (f ◦ g)(a);
I Logo lim
x→a
(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(a), e teorema esta´ demonstrado;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Conteu´do
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de uma func¸a˜o em um intervalo aberto
Definic¸a˜o:
“Dizemos que uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo aberto
se, e somente se, ela for cont´ınua em todos os pontos desse
intervalo aberto.”
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade a` direita e a esquerda de uma func¸a˜o
Definic¸a˜o: A func¸a˜o f sera´ cont´ınua a` direita em um ponto a
se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condic¸o˜es:
(i) f (a) existe;
(ii) lim
x→a+
f (x) existe;
(iii) lim
x→a+
f (x) = f (a);
Nota: A definic¸a˜o de continuidade a` esquerda de uma func¸a˜o e´ ana´loga a`
definic¸a˜o de continuidade a` direita;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de uma func¸a˜o em um intervalo fechado
Definic¸a˜o:
“Uma func¸a˜o cujo dom´ınio inclui o intervalo fechado [a, b] sera´
cont´ınua em [a, b] se, e somente se, ela fora cont´ınua no intervalo
aberto (a, b), cont´ınua a` direita em a e cont´ınua a` esquerda em b.”
Exemplo:
Prove que a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 e´ cont´ınua no intervalo
fechado [−2, 2].
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
Continuidade de uma func¸a˜o em um intervalo fechado
Definic¸a˜o:
“Uma func¸a˜o cujo dom´ınio inclui o intervalo fechado [a, b] sera´
cont´ınua em [a, b] se, e somente se, ela fora cont´ınua no intervalo
aberto (a, b), cont´ınua a` direita em a e cont´ınua a` esquerda em b.”
Exemplo:
Prove que a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 e´ cont´ınua no intervalo
fechado [−2, 2].
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Se a func¸a˜o f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], e se
f (a) 6= f (b), enta˜o, para todos nu´mero k entre f (a) e f (b)
existira´ um nu´mero c entre a e b tal que f (c) = k .
Notas:
I Demonstrac¸a˜o do teorema = arame farpado!
I Podemos ter uma boa intuic¸a˜o sobre a validade desse teorema
observando o gra´fico de func¸o˜es. Vamos ao quadro...
I O teorema e´ muito u´til para a geometria e tambe´m em
aplicac¸o˜es do ca´lculo nume´rico;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Se a func¸a˜o f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], e se
f (a) 6= f (b), enta˜o, para todos nu´mero k entref (a) e f (b)
existira´ um nu´mero c entre a e b tal que f (c) = k .
Notas:
I Demonstrac¸a˜o do teorema = arame farpado!
I Podemos ter uma boa intuic¸a˜o sobre a validade desse teorema
observando o gra´fico de func¸o˜es. Vamos ao quadro...
I O teorema e´ muito u´til para a geometria e tambe´m em
aplicac¸o˜es do ca´lculo nume´rico;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Se a func¸a˜o f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], e se
f (a) 6= f (b), enta˜o, para todos nu´mero k entre f (a) e f (b)
existira´ um nu´mero c entre a e b tal que f (c) = k .
Notas:
I Demonstrac¸a˜o do teorema = arame farpado!
I Podemos ter uma boa intuic¸a˜o sobre a validade desse teorema
observando o gra´fico de func¸o˜es. Vamos ao quadro...
I O teorema e´ muito u´til para a geometria e tambe´m em
aplicac¸o˜es do ca´lculo nume´rico;
Continuidade de Func¸o˜es
Continuidade em um ponto
Continuidade em um intervalo
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Se a func¸a˜o f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], e se
f (a) 6= f (b), enta˜o, para todos nu´mero k entre f (a) e f (b)
existira´ um nu´mero c entre a e b tal que f (c) = k .
Notas:
I Demonstrac¸a˜o do teorema = arame farpado!
I Podemos ter uma boa intuic¸a˜o sobre a validade desse teorema
observando o gra´fico de func¸o˜es. Vamos ao quadro...
I O teorema e´ muito u´til para a geometria e tambe´m em
aplicac¸o˜es do ca´lculo nume´rico;
Continuidade de Func¸o˜es
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Refereˆncias
I Livro texto: sec¸a˜o 2.6;
I Pro´xima aula: Livro texto: sec¸a˜o 2.6;
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