calculo 1 aula 12

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A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
A Derivada
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Conteu´do
A derivada como taxa de variac¸a˜o:
cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Trajeto´ria e velocidade
I Considere o movimento de um corpo em uma reta. Podemos
descrever as posic¸o˜es ocupadas pelo corpo em cada instante
de tempo atrave´s de uma func¸a˜o x(t);
I A velocidade me´dia deste corpo entre dois instantes de tempo
sera´ enta˜o dada por vm =
x(t + ∆t)− x(t)
∆t
;
I Observe que podemos calcular esta velocidade me´dia em um
intervalo de tempo infinitesimal, ou seja v =
dx
dt
, que e´ a
velocidade instantaˆnea do corpo;
I Da mesma forma, observe que a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´
dada por a =
dv
dt
.
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Exemplo
Considere um corpo que se movimenta segundo func¸a˜o
x(t) = t2 − 2t − 3. Responda as seguintes questo˜es:
I Qual e´ a func¸a˜o que
descreve a velocidade
deste corpo?
I Qual e´ a sua acelerac¸a˜o?
I Qual e´ a sua posic¸a˜o
inicial, isto e´, x(0)?
I E a sua velocidade inicial?
1 5
-10
0
10
20
30
40
50 x(t)
v(t)
a(t)
t
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Taxa de variac¸a˜o
Assim como a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o com o
tempo, a derivada de uma func¸a˜o f (x) e´ a taxa de variac¸a˜o da
func¸a˜o f em relac¸a˜o a sua varia´vel independente x .
I Se V (x) = x3 e´ o volume de um cubo de lado x , enta˜o a taxa
de variac¸a˜o do volume do cubo com o lado e´ V ′(x) = 3x2.
I A poteˆncia associada a realizac¸a˜o de uma certa quantidade de
trabalho e´ dada por P =
Wrealizado
∆t
. Por outro lado, o
trabalho realizado e´ igual a` variac¸a˜o na energia
Wrealizado = ∆E . Ou seja, a poteˆncia e´ a taxa de variac¸a˜o da
energia com o tempo P =
dE
dt
.
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Exemplo
Considere um automo´vel que se movimenta eu uma reta horizontal
segundo func¸a˜o x(t) =
√
t; t ≥ 0. Responda as seguintes questo˜es:
I Qual a sua velocidade e acelerac¸a˜o?
I Considerando que a energia cine´tica do automo´vel e´
Ec =
1
2
mv2, determine a poteˆncia transferida pelo motor em
cada instante.
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Conteu´do
A derivada como taxa de variac¸a˜o:
cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
A Derivada
A derivada como taxa de variac¸a˜o: cinema´tica
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Derivadas de seno e co-seno
I Ja´ mostramos que as func¸o˜es sin(x) e cos(x) sa˜o cont´ınuas,
mas sera´ que sa˜o diferencia´veis?
I Para provar a diferenciabilidade, partimos da definic¸a˜o de
derivada, por exemplo
d
dx
sin(x) = lim
∆x→0
sin(x + ∆x)− sin(x)
∆x
I Usando a identidade trigonome´trica
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b), mostramos que este
limite existe para todo x ∈ R e que d
dx
sin(x) = cos(x).
I Exerc´ıcio: Prove que
d
dx
cos(x) existe e que
d
dx
cos(x) = − sin(x).
A Derivada
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Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Exerc´ıcios
Utilizando as regras de derivac¸a˜o e as derivadas das func¸o˜es seno e
co-seno, calcule:
1.
d
dx
tg(x)
2.
d
dx
sec(x)
3.
d
dx
cosec(x)
4.
d
dx
cotg(x)
5.
d
dx
(x2 ∗ cos(x))
6.
d
dx
(sin(x) cos(x)−xtg(x))
7.
d
dx
(
sen(x)
x
)
8.
d
dx
(x3−x cos(x)+ x
2
sin(x)
)
A Derivada
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Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 3.3 e 3.4;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸a˜o 3.5.
A Derivada
	A derivada como taxa de variação: cinemática
	Derivadas das funções trigonométricas