calculo 1 aula 14

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Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
A Derivada
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Conteu´do
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Func¸a˜o impl´ıcita vs Func¸a˜o Expl´ıcita
I Se f = {(x , y)|y = x2 − x + 1}, enta˜o a equac¸a˜o
y = x2 − x + 1 define a func¸a˜o f (x) explicitamente;
I “Explicito” significa que f (x) pode ser isolada em um dos
lados da equac¸a˜o de sua representac¸a˜o alge´brica;
I Exemplos de func¸o˜es expl´ıcitas sa˜o todas as func¸o˜es que
trabalhamos ate´ agora;
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Func¸a˜o impl´ıcita vs Func¸a˜o Expl´ıcita
I Considerando agora f : [−1, 1]→ [0, 1] tal que
f = {(x , y)|x2 + y2 = 1} (que descreve um semi-c´ırculo
unita´rio), f (x) na˜o esta´ definida explicitamente;
I Nesse caso, se y = f (x), temos que
x2 + (f (x))2 = 1
I No entanto, podemos explicitar f (x) trabalhando
algebricamente sua definic¸a˜o de forma que
f (x) =
√
1− x2
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Func¸a˜o impl´ıcita vs Func¸a˜o Expl´ıcita
I Muitas vezes a “explicitac¸a˜o” da func¸a˜o na˜o pode ser
realizada. Por exemplo, se f = {(x , y)|y + sen(y) = x}, na˜o e´
poss´ıvel isolar y = f (x) em um dos lados da equac¸a˜o de sua
representac¸a˜o alge´brica;
I Em casos como o anterior, dizemos que f (x) esta´ definida
implicitamente.
I No entanto, a derivac¸a˜o desse tipo de func¸a˜o pode ser
realizada empregando-se a regra da cadeia.
I Para isso, basta lembrar que nas definic¸o˜es das func¸o˜es
impl´ıcitas, a varia´vel y e´, de fato, uma func¸a˜o de x .
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
I Se f = {(x , y)|x2 + y2 = 1}, encontre a derivada dydx .
I Usando a regra da cadeia, observamos que ddx (y
2(x)) = 2y dydx .
I Enta˜o, derivando a equac¸a˜o acima, obtemos 2x + 2y dydx = 0.
I Finalmente, isolamos dydx nesta u´ltima equac¸a˜o, obtendo
dy
dx = −2x2y .
I Observe que obtivemos a derivada dydx como func¸a˜o de x e
y(x), ou seja, e´ tambe´m uma func¸a˜o impl´ıcita!
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Calcule as derivadas das func¸o˜es impl´ıcitas abaixo:
1. xcos(y) + ycos(x) = 1
2.
(
y2
x2 + 1
)2
− 1 = 0
3. sen(2y2x − 3) + y = x
4. cos(tg(y)) = x
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y3 + x3 = 9 no
ponto (1, 2).
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Calcule as derivadas das func¸o˜es impl´ıcitas abaixo:
1. xcos(y) + ycos(x) = 1
2.
(
y2
x2 + 1
)2
− 1 = 0
3. sen(2y2x − 3) + y = x
4. cos(tg(y)) = x
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y3 + x3 = 9 no
ponto (1, 2).
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Calcule as derivadas das func¸o˜es impl´ıcitas abaixo:
1. xcos(y) + ycos(x) = 1
2.
(
y2
x2 + 1
)2
− 1 = 0
3. sen(2y2x − 3) + y = x
4. cos(tg(y)) = x
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y3 + x3 = 9 no
ponto (1, 2).
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Calcule as derivadas das func¸o˜es impl´ıcitas abaixo:
1. xcos(y) + ycos(x) = 1
2.
(
y2
x2 + 1
)2
− 1 = 0
3. sen(2y2x − 3) + y = x
4. cos(tg(y)) = x
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y3 + x3 = 9 no
ponto (1, 2).
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Calcule as derivadas das func¸o˜es impl´ıcitas abaixo:
1. xcos(y) + ycos(x) = 1
2.
(
y2
x2 + 1
)2
− 1 = 0
3. sen(2y2x − 3) + y = x
4. cos(tg(y)) = x
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y3 + x3 = 9 no
ponto (1, 2).
A Derivada
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Conteu´do
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Derivadas de ordem superior
A Derivada
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Derivadas de ordem superior
Notac¸a˜o
I Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel, f ′ e´ a sua derivada primeira.
I Considerando agora f ′ como uma func¸a˜o de x , podemos nos
perguntar se ela e´ deriva´vel. Em caso afirmativo, a derivada
de f ′ e´ chamada de derivada segunda, sendo denotada por f ′′
ou
d2f
dx2
.
I Ja´ se f ′′ e´ deriva´vel, denotamos a sua derivada terceira por
f ′′′.
I Seguindo este racioc´ınio, podemos definir a derivada de ordem
n da func¸a˜o f como sendo a func¸a˜o resultante da aplicac¸a˜o da
operac¸a˜o de derivac¸a˜o n vezes, sendo denotada por f (n) ou
por
dnf
dxn
.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
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Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A DerivadaDerivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Dada uma func¸a˜o polinomial de sexto grau
f (x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g , encontre todas as
suas derivadas.
I f ′(x) = 6ax5 + 5bx4 + 4cx3 + 3dx2 + 2ex + f
I f ′′(x) = (6 · 5)ax4 + (5 · 4)bx3 + (4 · 3)cx2 + (3 · 2)dx + 2e
I f ′′′(x) = (6 · 5 · 4)ax3 + (5 · 4 · 3)bx2 + (4 · 3 · 2)cx + (3 · 2)d
I f IV (x) = (6 · 5 · 4 · 3)ax2 + (5 · 4 · 3 · 2)bx + (4 · 3 · 2)c
I f V (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)ax + (5 · 4 · 3 · 2)b
I f VI (x) = (6 · 5 · 4 · 3 · 2)a
I f n(x) = 0; n > 6; n ∈ N
I Usando um racioc´ınio ana´logo ao acima, mostre que todo
polinoˆmio de grau n possui f n(x) = an!; n ∈ N, onde a e´ o
coeficiente do maior expoente.
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Interpretac¸a˜o f´ısica e geome´trica
Ja´ vimos que se a func¸a˜o x(t) descreve a trajeto´ria de um corpo, a
func¸a˜o x ′(t) e´ a velocidade v(t) deste corpo, e a derivada da
velocidade a sua acelerac¸a˜o a(t). Assim, podemos concluir que a
acelerac¸a˜o e´ dada por a =
d2x
dt2
. Observe que:
I Se a > 0 a velocidade e´
crescente;
I Se a < 0 a velocidade e´
decrescente;
0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
v(t)
t
v(t)=3t+10
v(t)=-3t+30
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Interpretac¸a˜o f´ısica e geome´trica
Por outro lado, de observamos a influeˆncia da acelerac¸a˜o na func¸a˜o
hora´ria x(t):
I Se a > 0 a trajeto´ria e´
coˆncava para cima;
I Se a < 0 a trajeto´ria e´
coˆncava para baixo;
0 2 4 6 8 100
50
100
150
200
250
x(t)
t
x(t)=3/2t2+10t
x(t)=-3/2t2+30t
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Exerc´ıcios
Em cada um dos exemplos abaixo, calcule ate´ a terceira derivada:
I f (x) = 3t2 +
6t
4t + 3
I x(t) = A cos(ωt + φ) (ω e φ sa˜o constantes)
I (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2 (x0, y0 e R sa˜o constantes, e
y = y(x))
A Derivada
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Refereˆncias
I Livro texto, sec¸a˜o 3.6;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸a˜o 7.1.
A Derivada
	Derivada da função implícita
	Derivadas de ordem superior