calculo 1 aula 18

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Problemas de Ma´ximo e M´ınimo
O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Aplicac¸o˜es da Derivada
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Aplicac¸o˜es da Derivada
Problemas de Ma´ximo e M´ınimo
O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Conteu´do
Problemas de Ma´ximo e M´ınimo
O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Aplicac¸o˜es da Derivada
Problemas de Ma´ximo e M´ınimo
O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Soluc¸a˜o de problemas de otimizac¸a˜o utilizando derivada
I Problemas cuja soluc¸a˜o e´ um extremo de uma func¸a˜o podem
ser resolvidos empregando derivadas;
I E´ preciso primeiro equacionar o problema:
• Fac¸a um desenho ilustrativo quando poss´ıvel;
• Combine as relac¸o˜es entre as grandezas do problema ate´
conseguir equaciona´-lo em termos das varia´veis de interesse;
I Utilize o teorema do valor extremo para determinar o ma´ximo
ou m´ınimo que representa a soluc¸a˜o do seu problema;
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Exemplo 1
Os pontos A e B esta˜o em lados opostos de um rio reto com 3 km
de largura. O ponto C esta´ na mesma margem que B, mas a 2 km
rio abaixo. Uma companhia telefoˆnica deseja estender um cabo de
A ate´ C. Se o custo por quiloˆmetro de cabo e´ 25% maior sob a
a´gua do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma
que o custo seja o menor poss´ıvel para a companhia?
Notas:
I Observe que o problema pode ser visto como de determinar o
m´ınimo da func¸a˜o custo, em relac¸a˜o aos paraˆmetros
geome´tricos do problema;
I Precisamos, enta˜o, escrever o custo como func¸a˜o de alguma
varia´vel geome´trica do problema;
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1
I Desenho ilustrativo:
A
B C
3 km
2 km
x
l1
l2
I O custo total e´ dado pela func¸a˜o de C = 5/4k`1 + k`2, em
que k e´ o custo por metro de instalac¸a˜o do cabo em terra
firme;
I Precisamos agora escrever `1 e `2 ambos com func¸a˜o de x
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1
I Desenho ilustrativo:
A
B C
3 km
2 km
x
l1
l2
I O custo total e´ dado pela func¸a˜o de C = 5/4k`1 + k`2, em
que k e´ o custo por metro de instalac¸a˜o do cabo em terra
firme;
I Precisamos agora escrever `1 e `2 ambos com func¸a˜o de x
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1 (continuac¸a˜o)
I Equacionamento do problema:
C ∗(x) = C (x)/k =
5
√
9 + x2
4
− x + 2
I Note que o problema original poˆde ser reescrito como
determinar um m´ınimo absoluto para C ∗(x) com x ∈ [0, 2];
I Mas a` obra...
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Exerc´ıcios
1. Quais sa˜o as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior
volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio
de 5 cm na base e 12 cm de altura?
2. Sejam c1 e c2 as velocidades da luz em dois meios
translu´cidos diferentes. De acordo com o princ´ıpio de Fermat,
um raio de luz viajara´ de um ponto A, no primeiro meio, para
um ponto B, no segundo, por um determinado caminho ABC
que minimiza o tempo gasto. Nessas condic¸o˜es, mostre a Lei
de Snell, segundo a qual
sen(θ1)
sen(θ2)
=
c1
c2
,
em que θ1 e θ2 sa˜o os aˆngulos de refrac¸a˜o de cada meio.
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Exerc´ıcios
1. Quais sa˜o as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior
volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio
de 5 cm na base e 12 cm de altura?
2. Sejam c1 e c2 as velocidades da luz em dois meios
translu´cidos diferentes. De acordo com o princ´ıpio de Fermat,
um raio de luz viajara´ de um ponto A, no primeiro meio, para
um ponto B, no segundo, por um determinado caminho ABC
que minimiza o tempo gasto. Nessas condic¸o˜es, mostre a Lei
de Snell, segundo a qual
sen(θ1)
sen(θ2)
=
c1
c2
,
em que θ1 e θ2 sa˜o os aˆngulos de refrac¸a˜o de cada meio.
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O Teorema do Valor Me´dio
Conteu´do
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Teorema de Rolle (Bhaskara, 1114-1185 e Michel Rolle, 1652-1719)
Seja e f : V ⊂ R→ R tal que:
(i) f e´ cont´ınua no intervalo [a, b];
(ii) f e´ deriva´vel no intervalo (a, b);
(iii) f (a) = f (b) = 0.
Enta˜o ∃ c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
a bc
f ’(c) = 0
f(a) = f(b) = 0
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Prova do teorema de Rolle
O teorema de Rolle deriva diretamente do Teorema do Valor
extremo. Para prova´-lo, consideramos dois casos distintos na
demonstrac¸a˜o:
Caso 1 : f (x) = 0, ∀ x ∈ [a, b]. Nesse caso f ′(x) = 0 para todo x
no intervalo. Logo, qualquer nu´mero entre a e b pode ser tomado
como c .
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Prova do teorema de Rolle (continuac¸a˜o)
Caso 2 : Se f (x) na˜o e´ identicamente nula para todo x ∈ [a, b],
enta˜o:
I f na˜o e´ identicamente nula no intervalo (a, b) e
f (a) = f (b) = 0, por hipo´tese;
I Do Teorema do Valor Extremo, como f e´ cont´ınua em [a, b],
por hipo´tese, sabemos que deve haver um ma´ximo e um
m´ınimo absolutos para f no intervalo;
I Enta˜o existe algum ponto c ∈ (a, b) em que f (x) admite seu
valor ma´ximo ou m´ınimo;
I Mais uma vez, pelo Teorema do Valor Extremo, segue que
f ′(c) = 0;
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O Teorema do Valor Me´dio
Exerc´ıcio
Seja a func¸a˜o f (x) = 4x3 − 9x definida no intervalo
x ∈ [−3/2, 3/2]. Podemos verificar que f (−3/2) = f (3/2) = 0.
Como a func¸a˜o f (x) na˜o e´ constante no intervalo, o Teorema de
Rolle nos garante que existe pelo menos um valor de
c ∈ [−3/2, 3/2] tal que f ′(c) = 0. Sabemos tambe´m que esse
ponto c e´ candidato a ma´ximo ou m´ınimo de f (x) no referido
intervalo. Nessas condic¸o˜es:
• Verifique a veracidade do teorema, determinando o valor (ou
valores) de c em que f ′(c) = 0;
• Usando o Teorema do Valor Extremo, determine se ponto (ou
pontos) c e´ um ma´ximo ou m´ınimo de f (x) no referido
intervalo.
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Conteu´do
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O Teorema do Valor Me´dio (Cauchy, 1789-1857)
Seja f uma func¸a˜o tal que
(i) seja cont´ınua no intervalo
fechado [a, b];
(ii) seja deriva´vel no intervalo
aberto (a, b).
Enta˜o, existira´ um nu´mero c ∈
(a, b), tal que
f ′(c) =
f (a)− f (b)
a− b
a bc
( )a , f a( )
( )b , f b( )
“Entre a e b existe pelo menos um
ponto c em que a inclinac¸a˜o da reta
tangente e´ igual a` inclinac¸a˜o da reta
secante por a e b.”
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O Teorema do Valor Me´dio
Prova do Teorema do Valor Me´dio
I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a
distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante;
F (x) = f (x)−
[
f (b)− f (a)
b − a (x − a) + f (a)]
I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema
de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´
F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a = 0
I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Prova do Teorema do Valor Me´dio
I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a
distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante;
F (x) = f (x)−
[
f (b)− f (a)
b − a (x − a) + f (a)
]
I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema
de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´
F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a = 0
I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a
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O Teorema do Valor Me´dio
Prova do Teorema do Valor Me´dio
I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a
distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante;
F (x) = f (x)−
[
f (b)− f (a)
b − a (x − a) + f (a)
]
I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema
de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´
F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a = 0
I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a
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O Teorema do Valor Me´dio
Prova do Teorema do Valor Me´dio
I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a
distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante;
F (x) = f (x)−
[
f (b)− f (a)
b − a (x − a) + f (a)
]
I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema
de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´
F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a = 0
I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a
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O Teorema de Rolle
O Teorema do Valor Me´dio
Observac¸o˜es sobre o Teorema do Valor Me´dio
I Uma interpretac¸a˜o intuitiva do Teorema pode ser associada ao
movimento de um carro ao longo de um trecho de estrada.
De acordo com o TVM, se no referido trecho a velocidade
me´dia do carro e´ de 50km/h, pelo menos um ponto sua
velocidade instantaˆnea tambe´m foi de 50km/h;
I Em geral, o TVM diz que sempre existe um ponto no qual a
taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de determinada func¸a˜o e´ igual a
taxa de variac¸a˜o me´dia dessa func¸a˜o, em um intervalo.
I O TVM e´, na verdade, uma generalizac¸a˜o do Teorema de
Rolle para casos em que f (a) 6= f (b).
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O Teorema do Valor Me´dio
Exerc´ıcio
Seja a func¸a˜o f (x) = x3 − x e o intervalo fechado [0, 2]. Como
f (x) e´ deriva´vel em [0, 2], o TVM garante que existe pelo menos
um ponto c no intervalo tal que
f ′(c) =
f (2)− f (0)
2− 0 .
Determine esse ponto.
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Alguns teoremas decorrentes do TVM
Teorema: Se f ′(x) = 0 para todo x pertencente a um intervalo
(a, b), enta˜o f (x) e´ constante em (a, b)
Prova:
I Sejam dois nu´meros x1 e x2 quaisquer em (a, b), tais que
x1 < x2;
I Pelo TVM, existe c ∈ [x1, x2] tal que
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1 ;
I Como, por hipo´tese, f ′(c) = 0, segue que f (x2)− f (x1) = 0,
logo f (x1) = f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b).
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Alguns teoremas decorrentes do TVM
Teorema: Se f ′(x) = 0 para todo x pertencente a um intervalo
(a, b), enta˜o f (x) e´ constante em (a, b)
Prova:
I Sejam dois nu´meros x1 e x2 quaisquer em (a, b), tais que
x1 < x2;
I Pelo TVM, existe c ∈ [x1, x2] tal que
f ′(c) =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1 ;
I Como, por hipo´tese, f ′(c) = 0, segue que f (x2)− f (x1) = 0,
logo f (x1) = f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b).
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O Teorema do Valor Me´dio
Alguns teoremas decorrentes do TVM
Teorema: Se f ′(x) = g ′(x) para todo x pertencente a um
intervalo (a, b), enta˜o f (x)− g(x) e´ constante em (a, b), isto e´,
f (x) = g(x) + c, em que c e´ uma constante.
Prova:
I Seja F (x) = f (x)− g(x). Nesse caso, F ′(x) = f ′(x)− g ′(x);
I Desde que f ′(x) = g ′(x), por hipo´tese, segue que F ′(x) = 0;
I Pelo teorema anterior, se F ′(x) = 0, enta˜o F (x) = c , em que
c e´ uma constante;
I Logo, F (x) = f (x)− g(x) = c , ou ainda f (x) = g(x) + c ;
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O Teorema do Valor Me´dio
Alguns teoremas decorrentes do TVM
Teorema: Se f ′(x) = g ′(x) para todo x pertencente a um
intervalo (a, b), enta˜o f (x)− g(x) e´ constante em (a, b), isto e´,
f (x) = g(x) + c, em que c e´ uma constante.
Prova:
I Seja F (x) = f (x)− g(x). Nesse caso, F ′(x) = f ′(x)− g ′(x);
I Desde que f ′(x) = g ′(x), por hipo´tese, segue que F ′(x) = 0;
I Pelo teorema anterior, se F ′(x) = 0, enta˜o F (x) = c , em que
c e´ uma constante;
I Logo, F (x) = f (x)− g(x) = c , ou ainda f (x) = g(x) + c ;
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Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 4.2 e 4.5.
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸a˜o 4.6.
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	Problemas de Máximo e Mínimo
	O Teorema de Rolle
	O Teorema do Valor Médio