2018.1 ESTACIO MatemáticapNegócios

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APOSTILA DE 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
CURSO: ADMINISTRAÇÃO	
PROF.: MÁRIO S. TARANTO 
1 RELAÇÕES E FUNÇÕES
1.1 PRODUTO CARTESIANO
1.2 PLANO CARTESIANO
1.3 RELAÇÃO
1.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
1.4 FUNÇÃO
1.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
1.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
1.5.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
1.6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
1.6.1 FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE
1.6.2 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
1.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
1.7.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
1.7.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	1.7.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
1.8 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES
	1.8.1 FUNÇÃO DEMANDA
	1.8.2 FUNÇÃO OFERTA
	1.8.3 PONTO DE EQUILÍBRIO
	1.8.4 FUNÇÃO CUSTO
	1.8.5 CUSTO MÉDIO
	1.8.6 FUNÇÃO RECEITA
	1.8.7 FUNÇÃO LUCRO
2 LIMITES
2.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
2.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
2.3 LIMITES LATERAIS
2.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
2.5 LIMITES INFINITOS
2.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x 
3 DERIVADAS
3.1 NOÇÃO INTUITIVA / RAZÃO INCREMENTAL
3.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA
3.3 RETA TANGENTE E RETA NORMAL
3.4 REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO
3.5 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
3.6 REGRA DE CADEIA
3.7 DERIVADAS SUCESSIVAS
3.8 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
3.9 PONTOS CRÍTICOS
4 FUNÇÕES MARGINAIS
4.1 FUNÇÃO CUSTO MARGINAL
4.2 FUNÇÃO RECEITA MARGINAL
4.3 FUNÇÃO LUCRO MARGINAL
1 RELAÇÕES E FUNÇÕES
1.1 PRODUTO CARTESIANO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x A e y B. 
1.2 PLANO CARTESIANO
O produto cartesiano entre dois conjuntos não-vazios pode ser representado no plano cartesiano associando-se cada par ordenado a um ponto desse plano.
Na representação do produto A x B, o conjunto A é disposto no eixo das abscissas e o B, no das ordenadas.
1.3 RELAÇÃO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, denominamos relação de A em B todo subconjunto de AxB.
	Esses subconjuntos de AxB são relações de A em B, que podem ser expressas por leis de formação de pares ordenados.
	
1.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Em uma relação , o domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos seus pares ordenados e a imagem o conjunto formado pelos segundos elementos desses pares. 
Assim como o produto cartesiano, uma relação pode ser representada no plano cartesiano.
1.4 FUNÇÃO
Se A e B são dois conjuntos com x A e y B, chamamos de função de A em B toda relação na qual, para todo x A, existe em correspondência um único y B.
1.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
O conjunto A é chamado de domínio (D) e o B, de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im).
	Para determinar o domínio de uma função de variável real devemos considerar a condição de existência da função.
1.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
	
Uma função é sobrejetora quando todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, a imagem é o próprio contradomínio.
	Uma função é injetora quando quaisquer dois valores distintos do domínio corresponderem duas imagens distintas no contradomínio.
	Se uma função f for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então esta função será chamada de bijetora.
 
1.5.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
	Para construir o gráfico de uma função no plano cartesiano, deve-se atribuir valores a variável x, determinando suas respectivas imagens. 
1.6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função f de R em R é dita função do 1º grau quando é do tipo f(x) = ax + b, com a 0.
Se b 0, f é dita função afim e se b = 0, f é dita função linear.
	
Nas funções afim, a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano e b coeficiente linear.
1.6.1 FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE
O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente ou decrescente.
 
Nota: Quando uma função do 1º grau for linear, seu gráfico será uma reta que passa pela origem.
1.6.2 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para determinar a raiz da função do 1º grau, basta resolver a equação do 1º grau determinada por f(x) = 0 (ax + b = 0). 
EXERCÍCIOS
1 – Construa o gráfico das funções y = 2x – 7 e f(x) = –3x + 4.
2 – Determine o valor de t em f(x) = (3t + 7)x – 1, para que essa função seja crescente.
3 – Determine o valor de k em f(x) = (–k + 2)x + 3, para que essa função seja decrescente.
4 – Classifique as funções abaixo em linear ou não linear, justificando sua resposta: 
a) y = 7x – 4		b) f(x) = 5x² – 3x		c) y = 2x		d) f(x) = x²
5 – Classifique as funções abaixo em crescente ou decrescente, justificando sua resposta:
a) y = 3x + 7 		b) f(x) = –2x – 4		c) y = 5x 		d) f(x) = –x 
1.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função f de R em R é dita função quadrática ou função do 2º grau quando é do tipo:
f(x) = ax2 +bx + c
com a R*, b R e c R.
1.7.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Para determinar as raízes da função quadrática, basta resolver a equação do 2º grau determinada por f(x) = 0 (ax2 + bx + c = 0). 
Os valores de x’ e x” são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo de x.
1.7.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	O gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c de R R é uma curva denominada parábola. 
Sua concavidade será voltada para cima quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0.
 
1.7.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
	Para calcular os valores das coordenadas do vértice de uma parábola V(xv, yv), usamos:
EXERCÍCIOS
6 – Construa os gráficos das funções f: R R definidas por f(x) = 3x2 + 10x – 3 e y = –x2 + 7x – 12 e determine suas imagens. 
7 – Identifique em cada função abaixo se tem ponto de máximo ou de mínimo e determine-os: 
a) y = -5x² - 4x + 3	b) f(x) = 7x² + 2x + 9		c) y = 8x² + 6x		d) f(x) = - x² - 3x
1.8 APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES
Está relacionada a demanda, a oferta, ao custo, a receita e ao lucro de um produto, pois toda empresa realiza um investimento na fabricação de uma determinada mercadoria.
1.8.1 FUNÇÃO DEMANDA
A função que associa um preço "p" à procura de mercado ou demanda em um período determinado é chamada de função demanda. E ela está relacionada ao ponto de vista do consumidor.
Pode ser representada por D(p). Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui, e vice-versa.
A função demanda é uma função decrescente.
1.8.2 FUNÇÃO OFERTA
A função oferta  relaciona o preço "p" e a quantidade ofertada, do ponto de vista do produtor.
Pode ser representada por O(p).
 	A função oferta, ao contrário da função demandada, é uma função crescente.
1.8.3 PONTO DE EQUILÍBRIO
O ponto de equilíbrio é o preço "p" que torna iguais a quantidade demandada e ofertada de um bem.
EXERCÍCIOS
8 – Quando o preço de um bem é R$ 35,00, 25 unidades são oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00, 40 unidades são oferecidas. Determine a equação de oferta, supondo-a linear para x unidades do bem a um preço p.
9 – Quando o preço é de R$ 60,00, 10 canetas são vendidas, porém, quando o preço é de R$ 50,00, são vendidas 16 canetas. Qual a equação de demanda linear para a quantidade x de canetas a um preço p?
10 – Uma fábrica produz 200 unidades por mês de certa peça quando o seu preço de venda é de R$ 275,00 por unidade, e são produzidas 175 unidades por mês quando o seu preço é de R$ 250,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação?
11 – Um determinado produto tem sua função demanda expressa por D = –4p + 16 e sua função oferta expressa por S = 2p + 10. Calcule o ponto de equilíbrio?
12 – As funções O(p) = 3p + 240 e D(p) = –2p + 480, são respectivamente de oferta e demanda para certo produto.
Determine: 
a) o preço de equilíbrio, em reais. 
b) o número correspondentede unidades vendidas. 
c) esboce as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico.
13 – As funções oferta e demanda para certo produto são O(p) = 6p + 74 e D(p) = –2p + 234, respectivamente. Onde p é o preço de mercado do produto. 
a) Determine o preço de equilíbrio. 
b) Qual o número de unidades vendidas no ponto de equilíbrio?
14 – As funções de oferta e demanda de um certo produto em função do preço de venda p são, respectivamente, O(p) = 3,5p – 480 e D(p) = –1,5p + 340. Encontre o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades vendidas.
15 – Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades postas à venda e compradas se a função de oferta de certo produto é S(x) = x2 + 3x – 70 e a função de demanda é D(x) = 410 – x.
1.8.4 FUNÇÃO CUSTO
A função custo  está relacionada aos gastos efetuados para produção ou aquisição de alguma mercadoria ou produto, tais como: aluguel,  transporte,  salário,  matéria prima,  impostos,  etc.
O custo pode possuir duas partes: um custo fixo  "CF"  que  não  depende da quantidade produzida,  e um custo variável  "CV(x)",  que está ligado diretamente a quantidade produzida.
Pode-se representar a função custo pela expressão: 
C(x) = CF + CV(x)
1.8.5 CUSTO MÉDIO
O custo médio "CM(x)" é o quociente entre o custo total "C(x)" e a quantidade "x" produzida, e representa o custo de cada unidade produzida.
CM(x) = C(x)/x 
1.8.6 FUNÇÃO RECEITA
A função receita  está ligada ao faturamento bruto que é arrecadado na venda de determinado produto. Considerando "p" é  preço do produto  e  "x"  é  o número de mercadorias vendidas,  tem-se:
R(x) = p*x
1.8.7 FUNÇÃO LUCRO
A função lucro  diz respeito ao lucro líquido das empresas, que se obtém pela subtração entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
EXERCÍCIOS
16 – O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 2.000,00 e, 
um custo variável de R$ 40,00 por unidade produzida. Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades e, obtenha o custo para a fabricação de 200 unidades.
17 – O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 4.580,00 e, 
um custo variável de R$ 80,00 por unidade produzida. 
a) Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades produzidas. 
b) Quantas unidades deverão ser produzidas para que o custo seja de R$ 9.060,00?
18 – Estima-se que um Buffet terá "x" clientes por semana. Sabe-se que as despesas serão dadas pela função C(x) = 550x + 6.500 e o seu faturamento pela função R(x) = 1200x. 
a) Expresse o lucro semanal em função do número "x" de clientes. 
b) Determine o lucro que a empresa obterá em uma semana quando tiver 24 clientes.
19 – Em uma indústria metalúrgica o custo de produção de uma peça automotiva corresponde a um custo fixo mensal de R$ 5.000,00 acrescido de um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Considerando que o preço de venda dessa peça pela indústria aos comerciantes é de R$ 100,00, determine:
a) a função custo da produção de x peças.
b) a função receita referente a venda de x peças.
c) a função lucro na venda de x peças.
d) o ponto de equilíbrio ou de nivelamento.
20 – O custo para produção de uma determinada mercadoria tem custo fixo mensal de R$ 1.440,00 que inclui: conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e impostos e um custo de R$ 50,00 por peça produzida. Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto seja de R$ 140,00, escreva as Funções Custo, Receita e Lucro.
21 – Uma fábrica tem um custo fixo mensal de R$ 7.500,00. Cada peça produzida nesta fábrica tem um custo de R$ R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 30,00. Expresse sua função lucro.
22 – O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por c(x) = 3x2 – 100x + 2.000. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação.
23 – Para uma fábrica produzir x unidades por semana de certo produto, seu custo é dado por c(x) = 4x2 – 80x + 500. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação. 
24 – As vendas semanais de um produto produzido por uma fábrica estão representadas pela função V(x) = 2x² – x, sendo x o número de unidades. Se o custo da produção desse produto é dado por C(x) = 3x² – 7x + 5, quantas unidades devem ser vendidas, semanalmente, para que se tenha o lucro máximo? 
25 – O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = –5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. 
a) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.
2 LIMITES
2.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
	Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende ao número real a é igual ao número real b se, e somente se, quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de b.
 
2.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
LIMITE DE UMA CONSTANTE
	O limite de uma função constante é a própria constante.
LIMITE DA SOMA
	O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções.
LIMITE DA DIFERENÇA
	 O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções.
LIMITE DO PRODUTO
	O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
LIMITE DO QUOCIENTE
	O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções, com exceção quando o limite do divisor for zero.
LIMITE DE UMA POTÊNCIA
	O limite de uma potência enéssima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função.
LIMITE DE UMA RAIZ
	O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função. 
LIMITE DE UM LOGARITMO 
	O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função.
 EXERCÍCIOS
26 – Calcule:
	
	
27 – Seja a função real f(x) = (x² - 100)/(x - 10), calcule o seu limite quando x tende a 10. 
2.3 LIMITES LATERAIS
	Se x tende a a através de valores maiores que a, ou seja, pela sua direita, esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
Se x tende a a através de valores menores que a, ou seja, pela sua esquerda, esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
	
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e à esquerda são iguais.
Assim, se = ,então .
Se ,então não existe o .
2.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
	Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se forem satisfeitas as seguintes condições:
 ;
 ;
.
EXERCÍCIOS
28 – Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados:
	
, em x = 2
, em x = 1
, em x = 0
	
, em x = 2
, em x = 1
, em x = 2
29 – Verifique a continuidade das funções reais nos pontos indicados:
a) , em x = 3		b) , em x = 1
2.5 LIMITES INFINITOS
	Alguns limites envolvendo infinito:
	
	
	
	
	
	Para um número real k, temos: 
	
	
	
	
2.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x 
	Para o limite de uma função polinomial f(x), de grau n, com , temos:
 
EXERCÍCIOS
30 – Calcule:
	
	
	
31 – Seja calcule: 
a) 			 	b) 				 c) 
32 – Seja calcule: 
a) 				 b) 				 c) 
3 DERIVADAS
3.1 NOÇÃO INTUITIVA / RAZÃO INCREMENTAL
	Seja a função f(x) contínua num intervalo [a, b], com a x1 x2 b. Se e , então a taxa de variação, que também chamada de razão incremental, é dada por: 
 
Mas: 
Logo:
Usando limites podemos escrever:
.
3.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Ao limite da função f(x), quando , chamamosde derivada da função f(x) no ponto x1, indicada por f’(x1), quando existe e é finito. 
Então:
,
num ponto genérico de abscissa x, quando f(x) é contínua num intervalo ao qual pertence x.
Assim, quando o gráfico de uma função for uma curva, f’(x), por ser, representa o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) no ponto da abscissa x. 
EXERCÍCIOS
33 – Calcule o coeficiente angular da reta secante à curva y = x2 – x, nos pontos P(1,0) e Q(2, 2).
34 – Calcule a razão incremental da função f(x), relativa ao ponto x0, nos seguintes casos:
a) f(x) = 3x² + 1, no ponto x0 = 2		b) f(x) = x² + 3x – 1, no ponto x0 = 1	c) f(x) = x³, no ponto x0 = –1
35 – Dada a função f(x) = x2 + 3x – 1, determine a taxa de variação .
36 –  A função L(x) = – 2x2 + 48x – 240 representa o lucro de uma empresa quando são produzidas x unidades de determinada mercadoria. Qual a taxa de variação (instantânea) na produção de  9  unidades?
37 – Calcule o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = 3x² + 2x – 1, em x = 1.
38 – Calcule, através da definição, a derivada da função f(x) = 2x + 1, no ponto de abscissa x0 = 3.
39 – Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0 em cada caso:
a) f(x) = x² + 1, no ponto x0 = 3				b) f(x) = x² + 2x, no ponto x0 = 4	
c) f(x) = 2x – 1, no ponto x0 = 2				d) f(x) = x² – 3x + 4, no ponto x0 = 1
40 – Calcule, através da definição, a derivada da função f(x) = x2 + x, no ponto x0 = 2.
 
41 – Determine, através da definição, a derivada da função f(x) = x2 + 2x + 1.
3.3 RETA TANGENTE E RETA NORMAL
	A equação da reta que passa por P(x0, y0) e de coeficiente angular m é dada por , onde e Q(x, y) é um ponto genérico da reta (Q P).
	Como f’(x0) é o coeficiente angular m da reta tangente à curva em P(x0, y0), então a equação da tangente é dada por:
 
	Sendo a reta normal perpendicular à reta tangente, sua equação é dada por:
EXERCÍCIOS
42 – Determine equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto P(x0, y0), em cada caso: 
a) f(x) = x³ e P(1, 1) 		b) f(x) = x² e P(2, 4)		c) f(x) = x² – 2x e P(1, –4)
43 – Determine a declividade da reta tangente à curva y = x² no ponto de coordenadas (–2, 4).
44 – Determine a equação da reta tangente e da normal à parábola f(x) = – x2 em P(1, -1).
45 – Determine as equações das retas tangente e normal à parábola f(x) = –15x² + 8x – 1, em P(1, –8).
46 – Determine o valor de x que anula a derivada da função f(x) = 2x² – 4x.
3.4 REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO
Derivada da função constante: f(x) = k (k R) f’(x) = 0
Derivada da função identidade: f(x) = x f’(x) = 1
Derivada da função potência: f(x) = xn (n N*) f’(x) = nxn - 1
Derivada da função seno: f(x) = sen x f’(x) = cos x
Derivada da função cosseno: f(x) = cos x f’(x) = - sen x
Derivada da função exponencial: f(x) = ax (a > 0 e a 1) f’(x) = ax a
Derivada da função logarítmica neperiana: f(x) = x f’(x) = 
EXERCÍCIOS
47 – Aplicando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 10		b) f(x) = x		c) f(x) = x8		d) f(x) = 5x³		e) f(x) = x-4
f) f(x) = x1/3		g) f(x) = 		h) f(x) = 		i) f(x) = 1/4 x4		
48 – Sendo f(x) = 2x5, calcule o valor de f’(2).
3.5 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
	Sejam u e v funções deriváveis em um intervalo.
	Para todo x desse intervalo, são válidas as seguintes regras: 
	OPERAÇÃO
	f(x)
	Derivada
	Soma
	u(x) + v(x)
	u’(x) + v’(x)
	Diferença
	u(x) - v(x)
	u’(x) - v’(x)
	Produto
	u(x) v(x)
	u’(x) v(x) + u(x) v’(x)
	Quociente
	
	
EXERCÍCIOS
49 – Utilizando as regras operatórias de derivação, determine as derivadas das funções:
a) f(x) = 3x²		b) f(x) = 10x3 + 4x		c) f(x) = 5x3 – 7x		d) f(x) = 
50 – Sendo as funções reais f(x) = –3x + 1 e g(x) = x² – 2, utilizando as regras operatórias de derivação, determine as derivadas de:
a) f(x) + g(x)		b) f(x) – g(x)			c) f(x) × g(x)			d) f(x) ÷ g(x) 
51 – Calcule a derivada das funções a seguir, utilizando as regras operatórias de derivação:
a) f(x) = x³ + 5x – 2 	b) f(x) = 2x³ – 5x²		c) f(x) = x4 + 2x²		d) f(x) = 				
52 – Sendo f(x) = , calcule o valor de f’(3).
3.6 REGRA DE CADEIA
Sejam g e f funções deriváveis nos pontos x e u, respectivamente. Então, a derivada da função composta (fₒg)(x) é dada por: 
(fₒg)’(x) = g’(x) * f’(u)
EXERCÍCIOS
53 – Determine a derivada da função f(x) nos seguintes casos:
a) f(x) = (2 – x²)³ 		b) f(x) = (2x + 1)²		c) f(x) = (3x² - 1)4	d) f(x) = (2x – 3x²)10		
54 – Dada a função f(x) = , calcule o valor de f’(6).
3.7 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f(x) a função cuja derivada primeira é f’(x).
Se f’(x) admite a derivada f’’(x), esta recebe o nome de derivada segunda de f(x). 
E assim, analogamente, defini-se derivada terceira, derivada quarta, ... e derivada n-ésima da função f(x). 
EXERCÍCIOS
55 – Dada a função f(x) = 2x4 + x³, determine:
a) f’(x)				b) f’’(x)				c) f’’’(x)
 
56 – Dada a função f(x) = x5 – 2x4, determine f’’’(–1).
3.8 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Seja f(x) derivável em um intervalo aberto A. 
Se f(x) é crescente em A, então f’(x) > 0. 
Se f(x) é decrescente em A, então f’(x) < 0. 
EXERCÍCIOS
57 – Seja f(x) = x² – 8x + 4. Estudar os intervalos onde f(x) é crescente ou decrescente.
58 – Estudar o sinal de f(x) = x³/3 – 2x² + 3x + 1.
59 – Determinar os intervalos onde f(x) é crescente ou decrescente:
a) f(x) = x² – 6x + 5	b) f(x) = x² + x – 2	c) f(x) = x³/3 – 3x²/2 + 2x + 4	d) f(x) = –x³/3 +x²/2 + 2x – 1 
 
3.9 PONTOS CRÍTICOS
Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximos ou mínimos relativos quando f’(x) = 0. Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde f’(x) = 0.
EXERCÍCIOS
60 – Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo das funções:
a) f(x) = x² – 3x 	b) f(x) = x² – 8x 		c) f(x) = x³/3 + x² + 4 		d) f(x) = x³/3 – x²/2 – 2x + 4
61 – Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4,00. Ao vende-lo a x reais o fabricante espera vender 30 – 2x unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máximo?
62 – Para uma fábrica produzir x unidades por semana de certo produto, seu custo é dado por c(x) = 4x2 – 80x + 500. Calcule o valor do custo mínimo. 
63 – Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 10 abacates em média. Pretendendo aumentar o número de árvores o sitiante sabe que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio produzido pelas árvores. Quantas árvores deverá plantar para obter o número máximo de abacates?
64 – Para construir uma quadra de esportes dispondo de 60 metros de alambrado e, por questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões para que a área seja máxima? 
 
65 – Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 80 metros. Calcule as dimensões do terreno para que a área seja máxima. 
66 – Suponha que o custo total para fabricar "q" unidades de certo produto seja C(q) = 4q2 – 48q + 520. 
Em que nível de produção o custo unitário é mínimo?  Qual o custo mínimo?
67 – Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo? 
68 – Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricanteé uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo?
4 FUNÇÕES MARGINAIS
A função marginal de uma função f(x) é a derivada da função f(x), ou seja, f′(x).
Assim, tem-se que: a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, a função lucro marginal é a derivada da função lucro.
Utiliza-se o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x.
4.1 FUNÇÃO CUSTO MARGINAL
A função custo marginal é a variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida. 
Cmg(x) = C(x + 1) – C(x) = C′(x) 
Exemplo: O custo, em reais, de fabricação de "x" unidades de um produto é C(x) = x2 + 5x + 10. Atualmente o nível de produção é de 20 unidades. Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo se forem produzidas 21 unidades. 
C(20) = 202 + 5*20 + 10 
C(20) = 400 + 100 + 10 
C(20) = 510 
C(21) = 212 + 5*21 + 10 
C(21) = 441 + 105 + 10 
C(21) = 556 
Cmg(x) = C(21) – C(20) 
Cmg(x) = 556 – 510
Cmg(x) = 46 
É mais prático calcular a derivada, do qual se obtém um valor aproximado: 
C(x) = x2 + 5x + 10 
C′(x) = 2x + 5 
C′(20) = 2*20 + 5 
C′(20) = 40 + 5 
C′(20) = 45 
Portanto, o custo marginal para a produção de 20 unidades é de aproximadamente R$ 45,00.
4.2 FUNÇÃO RECEITA MARGINAL
A função receita marginal  é a variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade vendida. 
Rmg(x) = R′(x)
Exemplo: Seja R(x) = x2 + 200x + 20 a receita total da venda de "x" unidades de um produto. Calcule a receita marginal para x = 20.
R′(x) = 2x + 200 
R′(20) = 2*20 + 200 
R′(20) = 240 
Portanto, a receita marginal para a produção de 20 unidades é de aproximadamente R$ 240,00.
4.3 FUNÇÃO LUCRO MARGINAL
A função lucro marginal  é a variação do lucro decorrente da variação de uma unidade na quantidade lucrada. 
Lmg(x) = L′(x)
EXERCÍCIOS
69 – Supondo que numa fábrica o custo para produzir x equipamentos seja dado por C(x) = 4x² – 15x + 1.300. Calcule o custo marginal para produção de 50 desses equipamentos.
70 – Certa empresa produz um modelo de equipamento eletrônico em grande escala. Supondo que o custo para produção de x equipamentos seja c(x) = 5.000 + 120x – 0,15x², calcule o custo marginal para produção de 50 equipamentos. 
71 – Considere a função custo C(x) = 0,01x3 – 0,5x2 + 300x + 100. Determinar o custo marginal para x = 10.
72 – Dada a função receita R(x) = –2x2 + 1.000x, determine a receita marginal para x = 50.
73 – Suponha que o custo total para a fabricação de "x" unidades de um produto seja C(x) = 100 + 10x + (1/100)x2, obtenha: 
a) o custo médio para a fabricação de 40 unidades. 
b) o custo marginal para a fabricação de 40 unidades.
74 – Suponha que a receita total para a venda de "x" unidades de um produto seja R(x) = –2x2 + 1.000x. Calcule: 
a) a receita média na venda de 45 unidades. 
b) a receita marginal na venda de 45 unidades.