Análise de Antiderivadas

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16/08/2017 Unidade de Aprendizado
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Antiderivadas
APRESENTAÇÃO
Olá!
Além do cálculo da derivada f’(x), um problema igualmente importante é determinar a função
f(x) que a originou. Na Física, pode-se determinar a função posição s = s(t) de uma par�cula no
tempo t segundos a par�r da função velocidade v = v(t) desta mesma par�cula, pois calcula-se
v(t) pela derivada de s(t). Na Biologia, a par�r da taxa de variação do crescimento populacional
de bactérias em relação ao tempo t, pode-se calcular a função que determina o número de
bactérias em um determinado instante t. Também um Engenheiro pode determinar a
quan�dade de água escoada em um período de tempo t a par�r da taxa de variação do
escoamento em um tanque. Logo, tão importante quanto derivar é fazer seu processo inverso.
Tal processo é denominado an�derivada. 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem você estudará as an�derivadas de funções quaisquer, suas
propriedades e aplicações.
Bons estudos!
Ao final desta unidade você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Iden�ficar as an�derivadas gerais de funções quaisquer.
 Descrever an�derivada como uma integral indefinida.
 Aplicar os conceitos e propriedades de an�derivada para resolver problemas do co�diano.
DESAFIO
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Ao caírem da mesma altura na Terra, objetos de massas e formas dis�ntas podem ter
velocidades diferentes ao tocarem o chão. Isso ocorre devido à resistência do ar existente na
super�cie terrestre.
Galileu Galilei (1564-1642) previu que, sem a presença do ar, corpos de massas diferentes
soltos simultaneamente da mesma altura, cairiam juntos, lado a lado, sob a mesma
aceleração. Este fato foi comprovado experimentalmente pelo astronauta David Sco�,
comandante da missão Apollo 15 (em 1971), ao deixar cair uma pena de falcão e um martelo
de alumínio de uma altura aproximada de 1,6 m. Ambos os objetos tocaram o solo lunar no
mesmo instante.
 
 
Sabe-se que a aceleração de um objeto é a derivada de sua função velocidade em relação a
variável tempo e que a aceleração gravitacional é constante na super�cie da lua. Suponha que
uma pena e um martelo sejam soltos, a certa altura, na super�cie lunar. Usando seu
conhecimento de an�derivada, como você explica o fato de o martelo e a pena terem a
mesma função velocidade na lua? Jus�fique a sua resposta combinando as formas
quan�ta�va (equações) e qualita�va (descrições).
INFOGRÁFICO
Dada a função espaço s = s(t) de uma par�cula, calcula-se sua velocidade v = v(t) pela derivada
da função espaço, ou seja, . Também, a aceleração a = a(t) da par�cula é
calculada pela derivada da função velocidade: . Com os conhecimentos
v (t) =
ds
dt
a (t) =
dv
dt
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adquiridos de an�derivada e dada a função aceleração, é possível obter a função velocidade:
. E, da função velocidade, calcula-se a função que determina a posição da
par�cula no espaço: .
Observe no infográfico esta situação.
CONTEÚDO DO LIVRO
Sabendo o comportamento da função aceleração dos metrôs durante seu percurso, é possível
determinar o tempo necessário para chegar à próxima estação. Da mesma maneira,
conhecendo a taxa de variação da vazão de água de um tanque, é possível prever o tempo em
que ele se esvaziará. Muitas situações do co�diano podem ser descritas por funções y = f(x), às
quais é conhecida sua taxa de variação: . Daí a importância do cálculo das
an�derivadas.
Para compreender melhor, acompanhe o trecho do livro "Cálculo (Vol. 1)". Inicie sua leitura a
par�r do tópico An�derivada. Bons estudos!
v (t) = ∫ a (t)dt
s (t) = ∫ v (t)dt
y' =
df
dx
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DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir traz o cálculo da an�derivada de funções polinomiais e o raciocínio de uma
condição inicial sobre a função encontrada, também apresenta alguns exemplos. Bom
aprendizado!
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
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EXERCÍCIOS
 
1) A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. Qual é a
distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele parte da posição x =
0 m e sua velocidade for dada por v = 4t3 - 3t2 + 2t?
a) 208 m
b) 216 m
c) 69,33 m
d) 336 m
e) 212 m
 
2) Determine a função , sabendo que .
a) y = x3 + x + c
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3) Encontre o valor de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4) A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão obedece
uma função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo seja: dV/dt =
4cos(2t) e que a tensão �nha valor nulo quando a rede elétrica foi ligada, encontre a função
da tensão.
a) V(t) = -8sen(2t)
y = y (x) = +
dy
dx
x
2
x
1∖2
y = + +cx
3
x
3
2
y = +x
x
3
3
y = +x+c
x³
3
y = + +c
x
3
3
2x
3
2
/
3
∫ (x²+4 − 6)dxx5
+ . − 6+C
x³
2
4
5
x
6
+ . − 6+C
x³
3
4
6
x
6
+ . − 3.x+C
x³
3
4
6
x
6
+ . − 6x+C
x³
3
2
3
x
6
+ . − 6x+C
x³
2
4
5
x
6
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b) V(t) = 4sen(2t)
c) V(t) = 2sen(2t)
d) V(t) = 2sen(t)
e) V(t) = -4sen(t)
 
5) Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, observaremos
que a sombra que a vareta projeta no chão é uma função trigonométrica. Supondo que a
função da velocidade da sombra seja dada por: 
 
v(θ)=4sen(θ) 
 
e que quando θ=0º X(0)=0, qual é a função da posição que sa�sfaça as condições iniciais?
a) X(θ)=-4cos(θ)
b) X(θ)=+4cos(θ)
c) X(θ)=-4cos(θ)+2
d) X(θ)=-4cos(θ)+4
e) X(θ)=+4cos(θ)+2
NA PRÁTICA
Sabendo o comportamento da função aceleração dos metrôs da cidade de São Paulo, é
possível determinar o tempo necessário para chegar à próxima estação.
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SAIBA +
Para ampliar seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo a(s) sugestão(ões) do
professor:
Integral indefinida.
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Encontrando primi�vas.
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Cálculo - Volume I
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