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���������� � ���������� � Propriedades Mecânicas ������������� � ���� ��������� ��� ������ ����� ������ ����� � �� ����� �� ������� • Estrutural – resistir aos esforços mecânicos • esqueleto • Atuador mecânico – geração e/ou transmissão energia mecânica ou conversão da energia mecânica em uma outra energia qualquer • coração • Revestimento – estética, aparência e isolar ambiente • pele Função dos materiais ���������� � Comportamento Mecânico � �� ���� ��� ����� � ��� �� ������ � � ������ � � ������� ��� �� � ��� � �� � ��� �� �� � � Comportamento Mecânico ���������� � Comportamento Mecânico Comportamento Mecânico !�� � � "�� � #$�% & � � ����'%�� � � � � � ��� �� ������ ������ � ��� � #$�%� (� ����������� & �� �) ��� �! %� *$�%� (����+���, � ������ � �������-� � � -����.�� ����/ � � ) • Relação entre um determinado tipo de esforço e sua resposta – Deformação – Crescimento de trinca – Transformação de fase – Recristalização – Recuperação – Textura – Precipitação, etc. Comportamento Mecânico ���������� 0 Comportamento Mecânico • Condições de uso – Temperaturas – Tipo de cargas – Freqüência de aplicação da carga – Desgaste – Deformabilidade, etc. ���������� � ���������� � Comportamento Mecânico • Valores de propriedades mecânicas – Podem ser encontrados em tabelas – Cada lote deve ser verificado novamente • Pequenos erros nos processos de fabricação – Pode provocar grande variação nas propriedades ���������� 1 Tipos de esforços • Tração • Compressão ���������� �� Tipos de esforços • Cisalhamento ���������� �� Tipos de esforços • Flexão ���������� �� ���������� 2 Tipos de esforços • Torção ���������� �� Propriedades das Peças • Aplicadas ao componente – Grandezas medidas • Força • Deslocamento, • Pressão e etc. – Propriedades obtidas • Carga máxima • Pressão máxima e etc. – Vantagem: • Representa com maior exatidão as condições reais de solicitação mecânica ���������� �2 Propriedades dos materiais • Não depende da geometria/massa –Mecânica – Térmica – Ondulatórias – Luminosas – Elétricas –Magnéticas – Dimensionais (densidade, etc.) – Etc. ���������� �3 ���������� �� Tensão e Deformação • Esforço e dimensão ���������� 3 ���������� �0 Tensão e Deformação • Tensão • Tensão convencional • Tensão verdadeira ou( )e A F A F +== 1 0aInstantâne σ 0A F =σ ( )econvverd += 1σσ A F A ∆ ∆ = →∆ lim 0 σ ���������� �� Tensão e Deformação • Deformação convencional linear • Deformação logarítmica • Relação ol ll e 0 − = ( )e+= 1lnε � � � � � � =�� � � �� � � ===++ + += �� = = A A l l l dl l dl l dl dll dl l dl f o f l l ll llf 0 000 lnln... 0 ε ���������� �1 4 � �� ��5�!�� � ������ � ��� Tensão convencional e verdadeira: • Um corpo de prova de comprimento útil 100 mm é tracionado por uma força de 16 kN e alonga longitudinalmente 20 mm. Considerando que distribuição de tensão é uniforme ao longo da seção transversal de 40 mm2, calcular a tensões convencional e verdadeira. Repita o exercício anterior para um alongamento de 1 mm. O que você observou? ���������� �� 4 � �� ��5�!�� � ������ � ��� ��� � ��� ����� �� ������� • Um arame de aço com comprimento inicial de 200 mm é estirado de 20 mm; após esta operação sofre um estiramento adicional de 50 mm. Calcular a deformação convencional (e) e a deformação logarítmica (ε) para cada etapa de deformação. Comparar a somatória das deformações parciais com a deformação total. (Exercício 1.11, Cetlin) ���������� � �������� � �� � �� �� ���������� 6� ��� + ����7� ��%% 892�� � ��3��� � �������� �� �� � � � � � �� ��� ��������� � � � *���%���� ������� ����� �� �� � ���� � � ��� ���� �:";�6� (:";������ �� � � �6 ��� � )-���+ ����� ����<�" ���� �� =� ������ �� �� � � � 5����� �� � �.�� � �������-3�� � -�� �� ������� �����-�3�� � ���� � � �� ��� ����210��� � �(���� ������� ��+ ��� � ��� )<�"�� �� �� ��� �� � � ��� �,�� ��.� � ������ ���� � � ��� � ����� �� ����� � � <�'� � �+ ���-����� �� � �� � ���� � ��� �����2��� � �������� �� ���,�� �� � � ����� � �.� � ��� � � �� � �� � ����� �� ��.�� � ��������� � ���� �� ������� �������1�� � <�' �� � � ��� � � � �� ������� �� �� ����� ���������3�>:�"��� �� ��� ��� � -� �� �� ���� ��� ����� ��� ���� � �� ��� ��� �+ �� ���� � ���$�� ��� �� / ������ <�; �� �� �� ��� �-� ��,� 9 �� � �� � �� � ����� �� ��.�� � �����2��� � ���� �� ������� ����2-3�� � <�; � �+ �� ��� �-� ��,� 9 �� � �� � �� � ����� �� ��.�� � ��������� � ���� �� ������-3�� � <�; � ?%��� ��� �-� ��,� 9 �� �� � � �����%�� � �� ���� �� =� ������ <�'� � �+ ���-� �� � � � �� � � �� ���� ��� ��, � �� �����%�$� ������� =� ����3��>:�� ����� � ��@ �< �) :�%� %� ������ � ��� �% +� #�� ������ �������� ��������� � ��� �% +� #�� ����� ��%���A ��� �� � ��� ����% ��<�: � �� � �� � ��� � ���� ���� � ��=� ��� ���� �� � ������ � ��� � � ��%< �) : � ��� ��� � � ���� ������� ��� ��%������B ���� � ������ � ��� ������ �-�� ���� � $� ��� �� ��� � � � ����� ����� �� ����% ����� � ���C �) � � �@�� � ���%�� ��� �� �� � � �� ��� �� ��� + ��� ��� �%@ � � ��� $����� ��� � � ��, ���� �� �<�'.� �#�� ��� ��� ���� ��� /����5�D������-�;<�E ��%� ��; �%�� �� ��� ��% � ����(����)���F0�< 4 � �� ��5�!�� � ������ � ��� 06/03/2018 21 �������� � �� � �� �� ���������� 4 � �� ��5�!�� � ������ � ��� 06/03/2018 22 �������� � �� � �� �� ���������� 4 � �� ��5�!�� � ������ � ��� 06/03/2018 23 Deformação '%* ���� • Nos materiais cristalinos está relacionado como a separação dos átomos • Cada átomo do cristal vibra em torno de uma posição de equilíbrio • Núcleo atraído pelas eletrosferas dos átomos vizinhos e repelido pelos núcleos dos mesmos • Sob a ação de esforços externos, os átomos tendem a se deslocar de sua posição de equilíbrio ���������� �2 ���������� 0 Deformação '%* ���� • G� �%� ������ � �+�� ���%* ��� -������ � ���� � � � �%��� �%���� �� � ������ � ��� � �������� �H�� �������� � �� ��� � � � �� ��%�,� �� �� �$�% ������� � ��� �� � � �%�������,�$*%������H������I J� ���������� �3 Ee=σ ���������� �� 4 � �� ��5���� � ��� �'%* ���� Limite de escoamento: • Para uma liga de alumínio, a deformação plástica inicia na tensão de 80 MPa. E o módulo de elasticidade é de 70 GPa. – Qual a carga máxima pode ser aplicada a um corpo de prova com seção transversal de 100 mm2 sem que ocorra deformação plástica? – Se o comprimento original do corpo de prova é de 50 mm, qual é o comprimento máximo ao qual ele poderá ser esticado sem causar deformação plástica? Deformação �%* ���� • As dimensões iniciais não são totalmente reconstituídas quando o esforço mecânico cessa • Nos materiais cristalinos está relacionado a movimentação dos defeitos lineares, a maclação e/ou escorregamento entre grãos • A deformação plástica ocorre com o volume constante ���������� �0 : $��!�� � 9��� � ��� • K �� ���� ����� $��,����� ���% � �+� � �� � �% �+�� ��� ������ ��� ����� ���� ������% • : $����� � 9��� � ��� �� �$���� ��% – !�� � • ��L� ���� ����� �����%��������%����� �� �� $� �%� ������% – ��� � ��� • ��L� ���� �� ��% �+�� ��� � � �� ���% �� � ��� � � � � � � �� ��� �������% ���������� �� ���������� � H�� �������' � �� ��� – H�� �������� � �� ��� �� �$���� ��%�,������ � � �� ��� �� � ���� ������ � ��� �����%� ����� � �� *$�% • �-��B �%�+� �� ��*%��� ��� �+� �% • �-��B �%�+� �� �� �� � • �-���B ��� ���� 9� %� • �-3�B ��� ���� �� ����%������ �� �� � ���������� �1 H�� �������' � �� ��� 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0 5 10 15 20 25 30 35 E σσσσy σ σ σ σ , M P a e ���������� �� H�� �������' � �� ��� – ��� � ��� �@��� +/��� • "� � �����%�� ��� ����� � �� ��� � �� � �(HD)��� ���� � �(HM) • N���� ����HO�� � �%��@� ������ ��� � – M��� ��� ���� ��*� � ���� % � �� � �� ��� % ���=� ��� � ��� ����� ������������:���;��� ��� – "%��@��� ���23> � � ����� ��� ����� ��� ���������� �� • !�� � �� � � ����������� +��� *.�� ��� �� � � � ����� $�� � �� • ;� ���� �� ������ � ��� ����.����� � � ��� � ������ ���� � �% ��%�L��� • "�A � ���#�� ����� � ���� -������ � � � �$���� ��%�� � ��������� �(��$�� �P� ��� �� ��� ���� ��� � � � �����)-���,��� �� �� � �� � ����� $� H�� ��������� � �/���� ���������� �� ���������� 1 H�� ��������� � �/���� 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 5 10 15 20 25 30 35 LR σ σ σ σ , M P a e ���������� �� 4 � �� �35�H�� ��� ���� � � �/���� Regime elástico ou plástico • As instalações de uma empresa de grande porte são dentro de um galpão de estrutura sustentação do telhado é construída por treliça. A equipe de manutenção verificou a necessidade de substituição de algumas barras dessa treliça, as quais apresentavam oxidação excessiva e vida útil muito inferior à projetada pelo fabricante. Verificando os cálculos do projeto, os engenheiros constataram que as barras com maior carregamento tinham seções de 0,0008m2 e eram tracionadas com uma força de 160 kN. O próximo gráfico mostra a relação tensão x deformação desse material. Calcule a tensão normal aplicada na barra. Pare esse nível de tensão, o regime é elástico ou plástico? (ENADE 2014) ���������� �2 4 � �� �35�H�� ��� ���� � � �/���� ���������� �3 !�� � �� *.�� � 4 � �� ��5�H�� ��� ���� � � �/���� Obtenção dos limites de escoamento, resistência e modulo de elasticidade • Com os dados apresentados no próximo slide foram obtidos de um ensaio de tração em uma barra com diâmetro inicial de 19 mm, obter o limite de escoamento usando 0,2 % de deformação, calcular o limite de resistência e estimar o módulo de elasticidade. A carga máxima atingida durante o ensaio foi 201 kN. (Ex. 1 tração, Souza) ���������� �� ���������� �� 4 � �� ��5�H�� ��� ���� � � �/���� Obtenção dos limites de escoamento, resistência e modulo de elasticidade ���������� �0 :� +�-� J; �� % ��� ��� -� � � :� +�-� J; �� % ��� ��� -� � � �2-1 �-�3� �3�-� �-�3� ��-� �-��� �30-� �-0�� 22-� �-�3� ���-� �-03� 31-� �-��� ���-2 �-��� 02-3 �-�3� ��3-� �-�3� �1-� �-��� ���-� �-1�� ���-3 �-�3� ��0-� �-13� ��1-� �-2�� ���-� �-��� ���-� �-23� ���-� �-�3� ��0-3 �-3�� ���-3 �-��� �22-� �-33� ��1-� �-�3� �3�-� �-��� �0�-3 �-��� • Variáveis do material – Composição química – Número de fases – Tamanho de grão –Mudança de fase – Textura cristalográfica – Segregação Variáveis das Propriedades ���������� �� • Variáveis do processo – Temperatura – Velocidade de deformação Variáveis das Propriedades ���������� �1 Variáveis das Propriedades • Influência da velocidade de deformação 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 50 100 150 200 0,1 s-1 10 s-1 σ σ σ σ , M P a εεεε ���������� 2� ���������� �� Ensaios Mecânicos • Os ensaios mecânicos são procedimentos padronizados com a finalidade de obter propriedades mecânicas do material ou componente sob um determinado tipo de esforço – Tração – Compressão – Flexão – Cisalhamento – Torção – Combinação desses ���������� 2� Ensaios Mecânicos • Realizados em componentes ou corpos de prova • Condição de uso – Temperatura – Velocidade de deformação – Etc. ���������� 2� • É uma amostra do material que se deseja testar com dimensões e forma padronizadas • Eles são utilizados para obter propriedades mecânicas do material independentes da geometria – Limite de escoamento – Limite de resistência –Módulo de elasticidade – Etc. Corpos de prova ���������� 2� • Corpo de prova de tração a quente Corpos de prova ���������� 22 ���������� �� ���������� 23 • ��%��=� ���� ����� � ������ � ��� • � ��% ��� �# �� �� � � �� �I %% � � �� � �+�� ���%* ��� • �5�� ���������������� �� ��� < • ' ��� ��% �,���%���� ��� ��� $����� � � $� ����� �9��� � ��� �% +� #�� ��� '� ��=� �: � ��� ��$� nkεσ = '� ��=� �: � ��� ��$� • � ��% ����I %% � � ���������� 2� � ������� � �� ��� � "� �(�-�3B :) 32� �-�� "� �(�-�� B �:)���� �� �� ��� �$���� ��3���>: ��� �-�� "� �(�-�� B �:)���� �� �� ��� �$���� ��0�2�>: ��3 �-�1 "� ������ �� L�� 0�� �-�� "� �2�2�� �� L�� �3� �-�0 "� �2��3� �� L�� ���� �-�0 "%������ �� L�� ��� �-�� "%��������$�%@���� 2�� �-�3 : � � �� L�� ��� �-32 H��� �0����� �� L�� 1�� �-21 ���������� 20 • ���������� ����������� �� ���� ������ • ��� � � ������ ��� �����. < '� ��=� �: � ��� ��$� ( ) n m m n eP P � � � � � � + = 10,1ln1 10,1 %10 ���������� 2� • ���������� �������� � ������� • ��� � � ��� ������� � ��� � ��� � �� � � � ����� �� ������������� ��� �� ��� < '� ��=� �: � ��� ��$� ���������� �� ���������� 21 • H �Q �+ – σ� ,������ � ����� � �� ��� – R�,� �#��������� � � �/���� • :� ���� # ������ �� ��� ��% – ������������ � � � – � ���$� �� �� � � �� �� �� ��� – ��,� �� ���������������� �� ��� • !#��� ���������� ��� ��% '� ��=� �: � ��� ��$� nkεσσ += 0 ���������� 3� • � ��% ���� � �� %A+�� ����D�%%� • � ��% �� ������� ������N� + � S� 9H�� � � '� ��=� �: � ��� ��$� ρ ε ρ ε ρ ε ρ Ω−=−= U d d d d d d recuperadoarmazenado 22*2 0 2* � � � � � � � � � −+== Ω− εσσσσσ esssse � � � � � � =Ω ΩΩ ΩΩ RT QDA mn exp0 ε� ( )[ ]msenhA ασε =� ���������� 3� • T �� – K ����σ ∞ -�σ� ��ε� � ��� �� �� �� �� �������� ������� �� �� ���������.����� ��� � ��� <� – '� ��� �,�� �� � ��%�L������ �����%� � ��� � ��� ����%����������� � �� ��*%��� '� ��=� �: � ��� ��$� �� � � �� � � −= − − ∞ ∞ cε ε σσ σσ exp 0 �� �%�/���� • U��������������� �� ���%��� $� ���� +��� � ��� ���� � �� ��%� ����� �������%��� *9%�� � ��� ��� �� �+�� • σ�5�%�� �������� � �� ��� • '5�� A� % �����%� ��������� ����V �+ • ω5�� A� % ���� � �%�/���� E 2 0 2 1 σ ω = ���������� 3� ���������� �2 �� �%�/���� • � ��� ��� �� ����$�� � � �� ��%�� ��� +� � �� � � � �� ���� � ��� ��%* �������$�� ��� ��%� � %�� �������� � �� ��� ������. �� A� % ���� �%� ��������� – 6� ��.�� �% � � �� �� %� ���������� 3� � ���%����� • U� � ��� � �������� �%�����$��� ��� ������ ������������ �� ��� ��%� � ���� � �� � �%� ����� ����� �� ���� � ���� �� �� ��� � � ���� �% ��%�L��� ���������� 32 � ���%����� • : ���������������� �� ��� – M����������� � ��� �$� ����� ���� ����� �%�������9 �� ��� � ���� �� �� ���% – � ��� ����� �� � � � � – � �������������� � �L� �� ����� ����� � � � – �� #$�%�� ���� ��@ ����+ � ����� �� �L 2 1 10 5 − + = d n ���������� 33 � ���%����� • � ����� �� �$���� ��� ����� ���%����� • "% �+�� ��� �� ��% • ��� � ��� �� �$���� ��%����� �� � • � ������� ��% �+�� ��� �,�� ��� �� �� � � �� ��� �������%� �� �� � ��� ������ ����� – ��$�� � �� ��������� ��� � � � �%��A � 0 0 l ll a f − = ���������� 3� ���������� �3 � ���%����� • ' � ���� � – ��� �� ����* ������� �� � 0 0 A AA q f − = ���������� 30 !��������� • :����������� �� ��� ��%��� $� ���� +������ �+�� ��%* ���� • U�� ��������%��* ��� ����� $����� � 9 ��� � ��� • K � ��� � �� �%�����$�%�*9%��,��� �$, �� � �� �� ����M� ���� ���������� 3� 31 Definição • Dureza é a resistência do material a uma deformação plástica localizada (impressão ou risco) • Ela não é uma propriedade absoluta, mas, uma comparação entre materiais • Escala Mohs (1822). – 1- talco,2 - gipsita, 3 - calcita, 4 - fluorita, 5 - apatita, 6 - feldspato, 7 - quatzo, 8 - topázio, 9 - coríndon e 10 - diamante. – Nesta escala um aço dúctil e um temperado apresentam dureza 6 ���������� �� Dureza Brinell • O ensaio consiste em comprimir lentamente uma esfera de aço temperado, diâmetro D, sobre uma superfície plana, polida e limpa de um metal, por meio de uma carga F, durante um tempo t, produzindo um calota esférica de diâmetro d ���������� ���������� �� �� Dureza Brinell • Cálculo da dureza • Unidade da dureza é força por área • A unidade é omitida devido o conceito físico de dureza Brinell não ser satisfatório • A força aplicada varia ao longo da calota ( )222 dDDD FHB −−= pi ���������� �� Dureza Rockwell • Rockwell (1922) criou um ensaio de dureza que usava a pré-carga • A carga é aplicada em duas etapas • A pré-carga garante um contato firme entre o penetrador e o material • Os penetradores podem ser esférico (esfera de aço temperado) ou cônico (cone de diamante com 120°de conicidade) • O resultado é valor da profundidade da impressão causada pelo identador ���������� �� Dureza Rockwell • A leitura é realizada diretamente num mostrador acoplado a máquina de ensaio • Existem dois métodos para medir a dureza Rockwell – Normal – Superficial • Precisão de medição da profundidade – normal é 0,02 mm – superficial é 0,01 mm ���������� �2 Dureza Rockwell • A escala para penetrador esférico de aço temperado é vermelha, e para o penetrador cônico de diamante é preta • Resultados – valor HR escala • 50HRC • Diferentes tipos de materiais podem ser avaliados por este método • É um método que apresenta boa precisão • O método é rápido, fácil execução e isento de erros humanos ���������� ���������� �0 �3 Dureza Rockwell • Profundidade – Penetrador de diamante • HR normal: P=0,002*(100-HR) • HR superficial: P=0,001*(100-HR) – Penetrador esférico • HR normal: P=0,002*(130-HR) • HR superficial : P=0,001*(100-HR) ���������� �� Dureza Rockwell • Questão 6 – Estime a profundidade da impressão de uma dureza igual 65 HRC obtida em um aço carbono temperado. (Exemplo 4.2, Garcia) ���������� �0 Dureza Vickers • O ensaio de dureza Vickers foi criado em 1925, por Smith e Sandland • Vickers-Armstrong é nome da empresa mais difundida que fabricava os equipamentos que usavam esta técnica de medição de dureza ���������� �� Dureza Vickers • A dureza Vickers consiste em quantificar a resistência que o material oferece a penetração de uma pirâmide de base quadrada e ângulo entre faces de 136°, sob uma determinada carga • A dureza é quociente entre a força aplicada e área impressa deixada no corpo de prova ���������� ���������� �� �1 Dureza Vickers • A diagonais são medidas através de um microscópio acoplado ao equipamento ���������� 0� Dureza Vickers • Vantagens – A dureza Vickers é a mais científica. • Unidade – kgf/mm2 2 21 ddd += 22 8544,1 2 136 sen2 d F d FHV = � � � � � � ° = ���������� 0� Dureza Vickers • Resultados – valor HV carga aplicada/tempo de aplicação da carga • 296 HV 10/20 • Para tempos entre 10 e 15 segundos não é necessário indicar • Cargas geralmente utilizadas: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100 e 120 kgf ���������� 0� Dureza Vickers • Para medir dureza de microconstituintes de uma microestrutura se utiliza o ensaio de micropenetração Vickers • As cargas são inferiores a 1 kgf (10 N) e pode atingir 1 gf (0,01N) ���������� ���������� �1 0� Dureza Vickers • As impressões são extremamente pequenas, algumas vezes as peças não são inutilizadas • A dureza Vickers apresenta uma escala contínua, facilitando a comparação entre materiais • O penetrador de diamante é praticamente indeformável • O ensaio é aplicado para medir materiais com qualquer espessura ���������� 02 Dureza Vickers • O ensaio é aplicado para medir dureza superficial • Os corpos de prova para micropenetração devem ser preparado polidos, de preferência eletroquimicamente para evitar encruamento superficial • Para carga inferiores a 300 gf, a recuperação elástica pode dificultar a medida das diagonais ���������� 03 Dureza Vickers • Variação de velocidade de aplicação da carga provoca grandes diferenças nos valores de dureza ���������� • Flexão em 3 pontos – A tensão máxima, correspondente à fibra mais externa da seção, é chamada módulo de ruptura ou resistência ao dobramento Flexão 06/03/2018 76 ���������� �� • Abaixo podem ser vistas algumas configurações dos dispositivos para o teste de flexão (dobramento) Flexão 06/03/2018 77 • O dispositivo do teste para flexão de quatro pontos Flexão 06/03/2018 78 • O valor desta tensão é dado por • Mr é o módulo de ruptura • c é a distância do eixo neutro à fibra mais externa • J é o momento de inércia de área em relação à linha neutra da seção. Flexão 06/03/2018 79 I McMr = • Flexão em três pontos – Os valores específicos do módulo de ruptura para seções retangulares e circulares são dados pelas expressões abaixo • Seção retangular • Seção circular • L é o comprimento entre apoios Flexão 06/03/2018 80 2 max 2 3 bh LFMr = 3 max546,2 D LFMr = ���������� �� • Flexão em três pontos – É possível obter o valor do módulo de elasticidade • Seção retangular • Seção circular • y é a flecha no ponto médio Flexão 06/03/2018 81 3 3 4ybh FLE = 4 3 424,0 yD FLE = Questão 7: Modulo de elasticidade por flexão • K �� � % �����%� ���������� �� ���� ����� �� ���� �� �� �����%�.� ��� �� / �� �� <�K �� � ���� � $��� �� ����� � �A �� ���� � � � �� � � � �� � �+ ���� ���� �� =� 5�� �� ���-��� � -� %� + ����-0�� � -�� � � �� ��� �0�-��� � -� �� ���������� ���� � ����3��� � ���� � ��� ���� ���%����� ����� $���� +��$� ��� % ��� ��� ���� �+�� �%���� ��+ �%�2��; �� � <�' ��� �� �$�% � � ,�� �� �� � % �����%� ����������� ��� ��� ��%� �� �� �� � ����� $��(H�����-����0-��� � ���� � ���� � � �� )< Flexão 06/03/2018 82 �� �!�" �� �������� �� �������� ���� � ��=� ��%* ���� ����%* ���� < #� ��" ����$�������� � $���������� 6� �� � ����� $������ � � �� ��� �?��%� ����� � �,�� ��� ��� �� � � ��� �������� J;����% �+��% �+�� ����%� �������� � � <�: � ��� ��� �� ���� � �� ��� ������� � �,� ��� � ��� �% �+ ���� ��� � � �� $� �%����2��� � �-���%� %� ������ =� �� �$���� ��%���$� ����� �<�������� � �.� �#�� ����� � ��� �� � ��% �+�� ��� ������� � <�K �� ��$ �/� � � $ C %� &���� � ����� ���" � ���$�������� � $���������� ��� � � ���� �%��� � ����. �� ��,�$�%������ ���� �+�� ������� � ��� � ��� � �����W.X-� �� � �L��� ���� � � �������%* ����< 2< '� �������� � �� ����� �� ���� 6� �� �� �������� �� � �� � � �� ��� �������%� �������� � �,�� �� �� �������� � Y���A �� ��� �� ��� � � �� � �� �� �� ��� � ����� ��%�������� � <�:�%� %� �Z�[���Z�[��� ������������������� � ��� <� : � �� � ��� � ��A ����� ���� � ��=� ��� ���� �� � ������ � ��� �� ��%<�('.<� �<��-�:��%��) Lista de Exercícios 06/03/2018 83 (� �������� � �� � �� �� ���������� 6� ��� + ����7� ��%% 892�� � ��3��� � �������� �� �� � � � � � �� ��� ��������� � � � *���%���� ������� ����� �� �� � ���� � � ��� ���� �:";�6� (:";������ �� � � �6 ��� � )-���+ ����� ����<�" ���� �� =� ������ �� �� � � � 5����� �� � �.�� � �������-3�� � -�� �� ������� �����-�3�� � ���� � � �� ��� ����210��� � �(���� ������� ��+ ��� � ��� )<�"�� �� �� ��� �� � � ��� �,�� ��.� � ������ ���� � � ��� � ����� �� ����� � � <�'� � �+ ���-����� �� � �� � ���� � ��� �����2��� � �������� �� ���,�� �� � � ����� � �.� � ��� � � �� � �� � ����� �� ��.�� � ��������� � ���� �� ������� �������1�� � <�' �� � � ��� � � � �� ������� �� �� ����� ���������3�>:�"��� �� ��� ��� � -� �� �� ���� ��� ����� ��� ���� � �� ��� ��� �+ �� ���� � ���$�� ��� �� / ������ <�; �� �� �� ��� �-� ��,� 9 �� � �� � �� � ����� �� ��.�� � �����2��� � ���� �� ������� ����2-3�� � <�; � �+ �� ��� �-� ��,� 9 �� � �� � �� � ����� �� ��.�� � ��������� � ���� �� ������-3�� � <�; � ?%��� ��� �-� ��,� 9 �� �� � � �����%�� � �� ���� �� =� ������ <�'� � �+ ���-� �� � � � �� � � �� ���� ��� ��, � �� �����%�$� ������� =� ����3��>:�� ����� � ��@ �< �) :�%� %� ������ � ��� �% +� #�� ������ �������� ��������� � ��� �% +� #�� ����� ��%���A ��� �� � ��� ����% ��<�: � �� � �� � ��� � ���� ���� � ��=� ��� ���� �� � ������ � ��� � � ��%< �) : � ��� ��� � � ���� ������� ��� ��%������B ���� � ������ � ��� ������ �-�� ���� � $� ��� �� ��� � � � ����� ����� �� ����% ����� � ���C �) � � �@�� � ���%�� ��� �� �� � � �� ��� �� ��� + ��� ��� �%@ � � ��� $����� ��� � � ��, ���� �� �<�'.� �#�� ��� ��� ���� ��� /����5�D������-�;<�E ��%� ��; �%�� �� ��� ��% � ����(����)���F0�< Lista de Exercícios 06/03/2018 84 ���������� �� (� �������� � �� � �� �� ���������� Lista de Exercícios 06/03/2018 85
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