lista calculo 3 para engenheiro

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Prof: Daniel Felix 
1ª Lista de Exercícios 
1) Denomina-se grau de uma equação diferencial (ED), o expoente que está associado à derivada de maior 
ordem presente na ED. 
Exemplo: (y’)³+ 𝑥𝑒𝑥 = 0 → EDO de 1ª ordem e grau 3. 
A partir da definição acima, determine a ordem e o grau da equação diferencial dada. 
a) y”’= y(x+1) 
b)(y”’)²+6xy’=0 
c)(y’)³+6xy’=0 
d)x²y”+xy’+7xy= ln(x+1) 
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑣
(2𝑣 + 1) + 
𝑑³𝑦
𝑑𝑣³
(𝑒2𝑣) = 1 
2) Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥, para 𝑥 > 0, é solução da equação diferencial 𝑥²𝑦’’ + 2𝑥𝑦’ +
𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 3𝑥 + 1, para 𝑥 > 0. 
 
3) A função 𝑦 = 𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞, é solução da equação diferencial (𝑦’’)³ + (𝑦’)² − 𝑦 − 3𝑥² −
8 = 0? 
 
4) Para cada item abaixo, verifique se a função f(x) dada é solução da equação diferencial. 
𝑎)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑦 = 0; 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑏)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑦 = 0; 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
c) 𝑥²
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+y=2ln(x); f(x) = - 
1
𝑥²
 
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦1/2; f(x) = 
𝑥²
16
 
e) y”-2y’+y=0; 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 
f) 𝑦′ + 2𝑦 = 0; 𝑦 = 𝐶𝑒−2𝑥 
g) 𝑦′′ + 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑎cos(𝑥) + 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
h) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 − 𝑥 
i) 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 0; 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥
2
 
 
5) Por variáveis separáveis, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
a) 𝑑𝑥 + 𝑒3𝑥𝑑𝑦 = 0 
b)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒3𝑥+2𝑦 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √
2𝑦+3
4𝑥+5
 
d) 𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥−𝑦 
 
6) Dadas as equações diferenciais, determine a solução particular de cada uma delas: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥²+4𝑥+2
2(𝑦−1)
 y(0)=-1 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥−𝑥³
4+𝑦³
 y(0)=-1 
 
7) O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é 
proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da 
quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após 1000 anos? 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Prof: Daniel Felix 
1ª Lista de Exercícios 
 
8) [adaptado de BOYCE e DIPRIMA(2014)].Um exemplo clássico de aplicação das equações diferenciais 
é o estudo decaimento radioativo em função do tempo. O decaimento radioativo ocorre quando os núcleos 
de isótopos instáveis são rompidos por conta da instabilidade atômica. Como ilustração, temos o Urânio, 
cujo isótopo U-238, é desintegrado até a produção do Tório, cujo isótopo Th-234 é desintegrado até a 
produção do Protactínio, cujo isótopo Pa-234 é desintegrado até a produção do Chumbo, que é estável e 
com isso o decaimento encerra. Assim, dependendo do tempo de decaimento, novos isótopos podem ser 
formados. Para representar o decaimento radioativo de uma quantidade inicial Q em função do tempo t, 
temos a seguinte representação diferencial: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝑄(𝑡) 
Assim, suponhamos um determinado isótopo que no início do processo de decaimento (t=0) tinha massa 
igual a Q=500g e que após 10 minutos (t=10) sofreu uma redução de 15% em sua massa (Q=425g). 
Considerando tais condições iniciais, qual a equação que determina a massa do isótopo em um tempo 
qualquer (solução particular da ED)? 
 
9) Resolva a equação diferencial dx - x²dy=0 por separação de variáveis. 
 
10) Resolva a equação diferencial dx+e³xdy=0, por separação de variáveis. 
 
11) Verifique se a função y(x) = 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 é uma solução de y'' + 2y' + y = 0. 
 
12) Verifique se função 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) é uma solução da equação diferencial: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 0 
 
13) Determine o grau e a ordem da EDO dada por: (y''')² + 5∙(y')³ = 6x² 
 
14) Resolva a EDO xy' -x3y = 0 utilizando separações de variáveis. 
 
15) Apresente a solução geral para a EDO separável dada por: 𝑦′ = 𝑒(𝑥
2+𝑦) 
 
16) Considere a equação diferencial ordinária y∙ln(x)∙dx = x∙dy. Utilizando a técnica de separação de 
variáveis, determine a solução geral para esta EDO.