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Relatorio 2

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ASSOCIAC¸A˜O DE QUADRIPOLOS
Italo Rodrigo Moreira Borges, Marcos Adriano Nery de Abrantes
Programa de Graduac¸a˜o em Engenharia Eletroˆnica, Faculdade Gama
Universidade de Brası´lia
Gama, DF, Brasil
italrmb@gmail.com, marcosadrianonery@gmail.com
RESUMO
No presente relato´rio esta´ apresentado de forma a condizer
com simulac¸a˜o e pratica, das analises possı´veis a um quadri-
polo, sendo as seguintes analises com quadripolos associa-
dos em serie, paralelo e cascata. Nas associac¸o˜es em serie
e paralelo se e´ necessa´rio a realizac¸a˜o do teste Brune, teste
este que e´ parte do conteu´do abordado.
1. INTRODUC¸A˜O
Circuitos de duas portas ou como comumente chamados qua-
dripolos sa˜o circuitos eletroˆnicos lineares que possuem duas
portas distintas para entrada e saı´da. Um circuito de duas
portas possui dois terminais atuando como pontos de acesso.
Tais circuitos sa˜o uteis em comunicac¸a˜o, sistemas de con-
trole, sistemas de potencia e eletroˆnica. Sa˜o usados, por
exemplo, para criar modelos de transistores e facilitar o pro-
jeto em cascata (projeto de amplificadores).[1] Conhecer os
paraˆmetros de um circuito de duas portas permite que este
seja tratado como uma ”caixa preta”, quando inserido em
um circuito maior (isto costuma acontecer para fabricantes
que na˜o desejam revelar o conteu´do do circuito eletroˆnico
projetado).
Neste experimento, verificou-se em laborato´rio as equac¸o˜es
teo´ricas que descrevem as associac¸o˜es de quadripolos. As
associac¸o˜es que foram analisadas sa˜o: serie, paralelo e cas-
cata, onde foram comparados os valores obtidos em simulac¸a˜o,
ca´lculos anala´ticos e montagem em laborato´rio.
De acordo com [1], circuitos sa˜o considerados como es-
tando em se´rie porque suas correntes de entrada sa˜o ideˆnticas
e suas tenso˜es sa˜o somadas. Ale´m disso, cada circuito tem
uma refereˆncia comum e quando eles sa˜o colocados em se´rie,
os pontos de refereˆncia comuns de cada circuito sa˜o ligados
juntos. Como pode ser visto na figura 4.
De acordo com [1], os circuitos de duas portas esta˜o em
paralelo quando as tenso˜es em suas portas forem iguais e as
correntes nas portas do circuito maior forem as somas das
correntes em cada porta. Ale´m disso, cada circuito deve ter
uma refereˆncia comum e quando eles estiverem interligados,
devem ter suas refereˆncias comuns interligadas. Como pode
ser visto na figura 5.
De acordo com [1], dois circuitos esta˜o em cascata quando
a saı´da de um for a entrada do outro. Como pode ser visto
na figura 6.
2. EXPERIMENTO
Em laborato´rio foi-se seguido os passos indicados em roteiro
sendo que para cada associac¸a˜o foi-se feito seu devido teste
Brune de acordo com a necessidade. Quanto ao teste Brune
houveram algumas duvidas quanto a encontram o terminal
semelhante dos dois circuitos pois no ato em questa˜o os estu-
dantes na˜o tinham uma safa experiencia quanto a trabalhar-
se com circuitos em caixa preta que e´ o que se pretende
fazer-se com a estipulac¸a˜o de paraˆmetros de um dado cir-
cuito. Quanto a trabalhar com quadripolos seja em associac¸a˜o
ou na˜o o importante e´ ter-se em cieˆncia que se trabalha com
uma caixa preta e toda a experimentac¸a˜o deve ser tida como
tal. Foi-se montado todos os circuitos necessa´rios suas fotos
esta˜o em anexo a saber associac¸a˜o em Serie com seu respec-
tivo teste Brune, associac¸a˜o em Paralelo com seu respectivo
teste Brune e a ligac¸a˜o em Cascata que dispensa o uso de
um teste Brune.
2.1. Equac¸o˜es e Me´todo
Os paraˆmetros de impedaˆncia sa˜o dados por:
V1 = Z11I1 + Z12I2, (1)
V2 = Z21I1 + Z22I2, (2)
Onde,
Z11 =
V1
I1
∣∣∣∣∣
I2=0
, Z21 =
V2
I1
∣∣∣∣∣
I2=0
Z12 =
V1
I2
∣∣∣∣∣
I1=0
, Z22 =
V2
I2
∣∣∣∣∣
I1=0
(3)
Os paraˆmetros y podem ser derivados dos paraˆmetros z por
valores tabelados, onde:
Y11 =
Z22
4Z , Y12 = −
Z12
4Z ,
Y21 = −Z214Z , Y22 =
Z11
4Z ,
(4)
Assim como os paraˆmetros T,
A =
Z11
Z21
, B =
4Z
Z21
,
C =
1
Z21
, D =
Z22
Z21
,
(5)
Sendo ainda importante considerar que a forma de paraˆmetros
de impedaˆncia e´ a convencional para calcular-se uma associac¸a˜o
em serie. Sabendo-se isto ja´ se pode ser apresentado como
se calcula associac¸a˜o de quadripolos em serie, segue:
[Z] = [Za] + [Zb], (6)
Onde Za se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Zb se
refere ao quadripolo B. No caso da associac¸a˜o em paralelo
considera-se que a forma de paraˆmetros de admitaˆncia e´ a
convencional para calcular-se uma associac¸a˜o em paralelo.
Sabendo-se isto ja´ se pode ser apresentado como se calcula
associac¸a˜o de quadripolos em paralelo, segue:
[Y ] = [Ya] + [Yb], (7)
Onde Ya se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Yb se
refere ao quadripolo B. No caso da associac¸a˜o em cascata
considera-se que a forma de paraˆmetros de Transmissa˜o e´ a
convencional para calcular-se uma associac¸a˜o. Sabendo-se
isto ja´ se pode ser apresentado como se calcula associac¸a˜o
de quadripolos em Cascata, segue:
[T ] = [Ta]× [Tb], (8)
Onde Ta se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Tb se
refere ao quadripolo B.
2.2. Paraˆmetros do Quadripolo A
No caso em questa˜o sera´ encontrado os paraˆmetros do qua-
dripolo da figura 1, sera´ aplicado as equac¸o˜es em 3. Por
meio da aplicac¸a˜o de leis para circuitos ja´ conhecidas, tem
se: Para Z11a e Z21a, no caso deixa-se em aberto os termi-
nais de saı´da:
Z11a =
V1
I1
=
10KΩ× 14, 7KΩ
24, 7KΩ
= 5, 95KΩ (9)
Z21a =
V2
I1
= 10KΩ× 10KΩ
24, 7KΩ
= 4, 05KΩ (10)
Para Z12a e Z22a, no caso deixa-se em aberto os terminais
de entrada:
Z12a =
V1
I2
= 10KΩ× 10KΩ
24, 7KΩ
= 4, 05KΩ (11)
Z22a =
V2
I2
=
10KΩ× 14, 7KΩ
24, 7KΩ
= 5, 95KΩ (12)
2.3. Paraˆmetros do Quadripolo B
Para Z11b e Z21b, no caso deixa-se em aberto os terminais
de saı´da:
Z11b =
V1
I1
=
4, 7KΩ× 11KΩ
4, 7KΩ + 11KΩ
= 3, 29KΩ (13)
Z21b =
V2
I1
= 10KΩ× 4, 7KΩ
4, 7KΩ + 11KΩ
= 2, 99KΩ (14)
Para Z12b e Z22b, no caso deixa-se em aberto os terminais
de entrada:
Z12b =
V2
I1
= 4, 7KΩ× 10KΩ
5, 7KΩ + 10KΩ
= 2, 99KΩ (15)
Z11b =
V2
I2
=
5, 7KΩ× 10KΩ
5, 7KΩ + 10KΩ
= 3, 63KΩ (16)
2.4. Associac¸a˜o em serie quadripolos A e B
Na associac¸a˜o em serie como antes citado na introduc¸a˜o
se e´ convencionalmente considerado os paraˆmetros de im-
pedieˆncia, segue segundo a equac¸a˜o 6, a ligac¸a˜o em serie
esta´ representada pela figura 4.
[Z11] = [Z11a] + [Z11b] =
5, 95KΩ + 3, 29KΩ = 9, 24KΩ
(17)
Sendo este um circuito reciproco, segue que:
[Z12] = [Z21] = [Z12a] + [Z12b] =
4, 05KΩ + 2, 99KΩ = 7, 04KΩ
(18)
[Z22] = [Z22a] + [Z22b] =
5, 95KΩ + 3, 63KΩ = 9, 58KΩ
(19)
2.5. Paraˆmetros do Quadripolo C
Agora sera encontrado os paraˆmetros do Quadripolo C que
esta representado pela figura 3. Para Z11 e Z21, no caso
deixa-se em aberto os terminais de saı´da:
Z11 =
V1
I1
= 4, 7KΩ +
3KΩ× 1kΩ
3KΩ + 1KΩ
= 5, 45KΩ (20)
Z21 =
V2
I1
= 2KΩ× 1KΩ
3× (1KΩ) + 1KΩ = 0, 5KΩ (21)
Para Z12 e Z22, no caso deixa-se em aberto os terminais de
entrada:
Z12 =
V1
I2
= 1KΩ× 2KΩ
4KΩ
= 0, 5KΩ (22)
Z22 =
V2
I2
=
2KΩ× 2KΩ
4KΩ
= 1KΩ (23)
2.6. Associac¸a˜o serie - Quadripolo C
O desenvolvimento e´ semelhante para a aferic¸a˜o dos paraˆmetros
em serie presente na subsec¸a˜o 2.4. E a associac¸a˜o e´ con-
forme a figura 4.
[Z11] = [Z11a] + [Z11b] =
5, 45KΩ + 5, 45KΩ = 10, 90KΩ
(24)
[Z12] = [Z21] = [Z12a] + [Z12b] =
0, 5KΩ + 0, 5KΩ = 1KΩ
(25)
[Z22] = [Z22a] + [Z22b] =
1, 00KΩ + 1, 00KΩ = 2, 00KΩ
(26)
2.7. Associac¸a˜o paralelo - Quadripolo C
A associac¸a˜o e´ conforme a figura 4. E para tal utiliza-se a
(7). Assim sendo e´ necessa´rio converter-se os paraˆmetros de
impedaˆncia encontrados na subsec¸a˜o 2.5, para isso usa-se
as equac¸o˜es 4. Os paraˆmetros de Admitaˆncia sa˜o: Y11c =
0, 19mS, Y21c= −0, 10mS, Y12c = −0, 10mS e Y22c =
1, 05mS. Assim:
[Y11] = [Y11c] + [Y11c] =
0, 19mS + 0, 19mS = 0, 38mS
(27)
[Y12] = [Y21] = [Y12c] + [Y12c] =
(−0, 10mS) + (−0, 10mS) = −0, 20mS (28)
[Y22] = [Y22c] + [Y22c] =
1, 05mS + 1, 05mS = 2, 10mS
(29)
2.8. Associac¸a˜o cascata - Quadripolo C
A associac¸a˜o e´ conforme a figura 6. E para tal utiliza-se
a 8. Assim e´ necessa´rio converter-se os paraˆmetros de im-
pedaˆncia encontrados na subsec¸a˜o 2.5, para isso usa-se as
equac¸o˜es 5. Os paraˆmetros Transmissa˜o para o quadripolo
C sa˜o: Ac = 10, 90, Bc = 10, 40kΩ, Cc = 2, 00mSeDc =
2, 00. Assim:
[A] = 10, 90× 10, 90 + 10, 40KΩ× 2, 00mS
= 139, 61
[B] = 10, 90× 10, 40KΩ + 10, 40KΩ× 2, 00
= 134, 16kΩ
[C] = 2, 00mS × 10, 90 + 2, 00× 2, 00mS
= 25, 80mS
[D] = 2, 00× 10, 40KΩ + 2, 00× 2, 00
= 24, 80
(30)
2.9. Material Utilizado
Tabela 1. Material utilizado.
Quantidade Material
1 Fonte de alimentac¸a˜o MPL 1303
1 Protoboard Minipa MP-1680A
1 Multı´metro Digital ET 1110 DMM
4 Resistores de 4, 70kΩ( 14W )
3 Resistores de 10, 00kΩ( 14W )
9 Resistores de 1, 00kΩ( 14W )
3. RESULTADOS
Abaixo esta˜o as tabelas com os valores teo´ricos e os Expe-
rimentais.
Tabela 2. Valores quadripolo A simulados no software OR-
CARD - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 2,980 2,020 5,960 4,040
1,200 7,140 4,860 5,950 4,050
Media 5,950 4,050
Val. teo´r. 5,950 4,050
Erro % 0,000 0,025
Tabela 3. Valores quadripolo A simulados no software OR-
CARD - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 2,020 2,980 4,040 5,960
1,200 4,860 7,140 4,050 5,950
Media 4,050 5,950
Val. teo´r. 4,050 5,950
Erro % 0,025 0,000
Tabela 4. Valores quadripolo B simulados no software OR-
CARD - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 1,65 1,50 3,29 2,99
1,200 3,95 3,59 3,29 2,99
Media 3,29 2,99
Val. teo´r. 3,29 2,99
Erro % 0,000 0,000
Tabela 5. Valores quadripolo B simulados no software OR-
CARD - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 1,50 1,81 2,990 3,63
1,200 3,59 4,36 2,99 3,63
Media 2,99 3,63
Val. teo´r. 2,99 3,63
Erro % 0,000 0,000
Tabela 6. Valores quadripolo A experimental - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 3,000 2,000 6,000 4,000
1,200 7,000 4,750 5,833 3,958
Media 5,877 3,955
Val. teo´r. 5,951 4,049
Erro % 0,012 0,023
Tabela 7. Valores quadripolo A experimental - Z12 e Z22.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 2,000 3,000 4,000 6,000
1,200 4,700 7,000 3,945 5,833
Media 3,945 5,877
Val. teo´r. 4,049 5,951
Erro % 0,026 0,012
Tabela 8. Valores quadripolo B experimental - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 1,66 1,50 3,32 3,00
1,200 3,39 3,61 3,33 3,01
Media 3,32 3,00
Val. teo´r. 2,29 2,99
Erro % 0,91 0,49
Tabela 9. Valores quadripolo B experimental - Z12 e Z22.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 1,52 1,83 3,04 3,66
1,200 3,60 4,38 3,00 3,65
Media 3,01 3,65
Val. teo´r. 2,99 3,63
Erro % 0,69 1,84
Tabela 10. Valores Teo´ricos da associac¸a˜o em se´rie do Qua-
dripolo B.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V )
0.22 1 0.8 4.55 3.64
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V )
0.21 0.78 1 3.714 4.762
A seguir encontra-se os paraˆmetros do quadripolo C:
Tabela 11. Valores quadripolo C simulado - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 2,73 0,25 5,45 0,5
1,200 6,54 0,60 5,45 0,50
Media 5,45 0,50
Val. teo´r. 5,45 0,50
Erro % 0,00 0,00
Tabela 12. Valores quadripolo C simulado - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 0,25 0,50 0,5 1,0
1,200 0,6 1,20 0,5 1,0
Media 0,5 1,0
Val. teo´r. 0,5 1,0
Erro % 0,00 0,00
Tabela 13. Valores experimentais do Quadripolo C para de-
terminar os paraˆmetros.Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21
0.36 1 0.05 2.778 0.139
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V )
1.98 0.52 1 0.2626 0.5051
Tabela 14. Valores quadripolo C associac¸a˜o em serie simu-
lado - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 5,45 0,5 10,90 1,0
1,200 13,08 1,20 10,90 1,0
Media 10,90 1,0
Val. teo´r. 10,90 1,0
Erro % 0,00 0,00
Tabela 15. Valores quadripolo C associac¸a˜o em serie simu-
lado - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 0,5 1,0 1,0 2,0
1,200 1,2 2,40 1,0 2,0
Media 1,0 2,0
Val. teo´r. 1,0 2,0
Erro % 0,00 0,00
Tabela 16. Valores Experimentais do Teste de Brune para
associac¸a˜o em se´rie do Quadripolo B.
Configurac¸a˜o V (V ) V
′
(V )
CORRETA 1 0
Tabela 17. Valores experimentais da associac¸a˜o em se´rie do
Quadripolo C.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V )
0.19 1 0.1 5.263 0.5263
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V )
0.99 0.51 1 0.515 1.01
Tabela 18. Valores quadripolo C associac¸a˜o em paralelo
simulado - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 1,36 0,13 2,73 0,25
1,200 3,27 0,30 2,73 0,25
Media 2,73 0,25
Val. teo´r. 2,73 0,25
Erro % 0,00 0,00
Tabela 19. Valores quadripolo C associac¸a˜o em paralelo
simulado - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 0,13 0,25 0,25 0,5
1,200 0,28 0,60 0,25 0,50
Media 0,25 0,50
Val. teo´r. 0,25 0,50
Erro % 0,00 0,00
Tabela 20. Valores Experimentais do Teste de Brune para
associac¸a˜o em paralelo do Quadripolo C.
Configurac¸a˜o V (V ) V
′
(V )
CORRETA 1 0
Tabela 21. Valores experimentais da associac¸a˜o em paralelo
do Quadripolo C.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V )
0.75 1 0.1 1.33 0.13
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V )
3.95 0.53 1 0.13 0.25
Tabela 22. Valores quadripolo C associac¸a˜o em cascata si-
mulado - Z11 e Z21.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ)
0,500 2,71 19,38 5,41 38,76
1,200 6,49 46,51 5,41 38,76
Media 5,41 38,76
Val. teo´r. 5,41 38,76
Erro % 0,00 0,00
Tabela 23. Valores quadripolo C associac¸a˜o em cascata si-
mulado - Z12 e Z22.
I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ)
0,500 19,38 0,48 38,76 0,96
1,200 46,51 1,15 38,76 0,96
Media 38,76 0,96
Val. teo´r. 38,76 0,96
Erro % 0,00 0,00
Tabela 24. Valores experimentais da associac¸a˜o em cascata
do Quadripolo C.
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V )
0.5 2.5 0.01 5.0 0.02
1.0 5.1 0.19 5.1 0.19
I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V )
0,5 0,02 0,5 0,04 1,00
1,00 0,04 1 0,04 1,00
4. DISCUSSA˜O E CONCLUSO˜ES
Observa-se que as primeiras tabelas foram geradas atrave´s
de simulac¸o˜es no software Orcad, onde obteve-se alguns re-
sultados, comparando-se os valores teo´ricos com os men-
surados no laborato´rio, pode-se inferir que ha´ uma certa
diferenc¸a nos valores obtidos e isso se deve ao fato que
as configurac¸o˜es executadas no simulador e as montadas
no laborato´rio. Por exemplo, na simulac¸a˜o foi construı´da,
uma configurac¸a˜o onde o teste de brune falhou,havendo a
mensurac¸a˜o do mesmo. No laborato´rio todos os teste de
brune estavam corretos, enta˜o algumas montagens feita no
laborato´rio diferem-se das simuladas, logo os resultados apre-
sentam uma diferenc¸a. Apo´s esse experimento, contata-se
que o conceito adquirido para mensurar esses as topologias
requisitadas tem um impacto de grande valia no desenvolvi-
mento de te´cnicas para extrair informac¸o˜es que podem ser
utilizadas em diversas aplicac¸o˜es como casamento de im-
pedaˆncia, distribuic¸a˜o de energia, etc.
5. ANEXO
Fig. 1. Quadripolo A
Fig. 2. Quadripolo B
Fig. 3. Quadripolo C
Fig. 4. Modelo de uma associac¸a˜o em serie
Fig. 5. Modelo de uma associac¸a˜o em paralelo
Fig. 6. Modelo de uma associac¸a˜o em cascata
Fig. 7. Teste de Brune A e B
Fig. 8. Associac¸a˜o em serie A e B
Fig. 9. Quadripolo C
Fig. 10. Quadripolo C associac¸a˜o em serie
Fig. 11. Quadripolo C associac¸a˜o em paralelo
Fig. 12. Quadripolo C associac¸a˜o em cascata
6. REFERENCIAS
[1] M. N. Sadiku, C. K. Alexander, and S. Musa, Ana´lise de cir-
cuitos ele´tricos com aplicac¸o˜es. AMGH Editora, 2014.

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