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ASSOCIAC¸A˜O DE QUADRIPOLOS Italo Rodrigo Moreira Borges, Marcos Adriano Nery de Abrantes Programa de Graduac¸a˜o em Engenharia Eletroˆnica, Faculdade Gama Universidade de Brası´lia Gama, DF, Brasil italrmb@gmail.com, marcosadrianonery@gmail.com RESUMO No presente relato´rio esta´ apresentado de forma a condizer com simulac¸a˜o e pratica, das analises possı´veis a um quadri- polo, sendo as seguintes analises com quadripolos associa- dos em serie, paralelo e cascata. Nas associac¸o˜es em serie e paralelo se e´ necessa´rio a realizac¸a˜o do teste Brune, teste este que e´ parte do conteu´do abordado. 1. INTRODUC¸A˜O Circuitos de duas portas ou como comumente chamados qua- dripolos sa˜o circuitos eletroˆnicos lineares que possuem duas portas distintas para entrada e saı´da. Um circuito de duas portas possui dois terminais atuando como pontos de acesso. Tais circuitos sa˜o uteis em comunicac¸a˜o, sistemas de con- trole, sistemas de potencia e eletroˆnica. Sa˜o usados, por exemplo, para criar modelos de transistores e facilitar o pro- jeto em cascata (projeto de amplificadores).[1] Conhecer os paraˆmetros de um circuito de duas portas permite que este seja tratado como uma ”caixa preta”, quando inserido em um circuito maior (isto costuma acontecer para fabricantes que na˜o desejam revelar o conteu´do do circuito eletroˆnico projetado). Neste experimento, verificou-se em laborato´rio as equac¸o˜es teo´ricas que descrevem as associac¸o˜es de quadripolos. As associac¸o˜es que foram analisadas sa˜o: serie, paralelo e cas- cata, onde foram comparados os valores obtidos em simulac¸a˜o, ca´lculos anala´ticos e montagem em laborato´rio. De acordo com [1], circuitos sa˜o considerados como es- tando em se´rie porque suas correntes de entrada sa˜o ideˆnticas e suas tenso˜es sa˜o somadas. Ale´m disso, cada circuito tem uma refereˆncia comum e quando eles sa˜o colocados em se´rie, os pontos de refereˆncia comuns de cada circuito sa˜o ligados juntos. Como pode ser visto na figura 4. De acordo com [1], os circuitos de duas portas esta˜o em paralelo quando as tenso˜es em suas portas forem iguais e as correntes nas portas do circuito maior forem as somas das correntes em cada porta. Ale´m disso, cada circuito deve ter uma refereˆncia comum e quando eles estiverem interligados, devem ter suas refereˆncias comuns interligadas. Como pode ser visto na figura 5. De acordo com [1], dois circuitos esta˜o em cascata quando a saı´da de um for a entrada do outro. Como pode ser visto na figura 6. 2. EXPERIMENTO Em laborato´rio foi-se seguido os passos indicados em roteiro sendo que para cada associac¸a˜o foi-se feito seu devido teste Brune de acordo com a necessidade. Quanto ao teste Brune houveram algumas duvidas quanto a encontram o terminal semelhante dos dois circuitos pois no ato em questa˜o os estu- dantes na˜o tinham uma safa experiencia quanto a trabalhar- se com circuitos em caixa preta que e´ o que se pretende fazer-se com a estipulac¸a˜o de paraˆmetros de um dado cir- cuito. Quanto a trabalhar com quadripolos seja em associac¸a˜o ou na˜o o importante e´ ter-se em cieˆncia que se trabalha com uma caixa preta e toda a experimentac¸a˜o deve ser tida como tal. Foi-se montado todos os circuitos necessa´rios suas fotos esta˜o em anexo a saber associac¸a˜o em Serie com seu respec- tivo teste Brune, associac¸a˜o em Paralelo com seu respectivo teste Brune e a ligac¸a˜o em Cascata que dispensa o uso de um teste Brune. 2.1. Equac¸o˜es e Me´todo Os paraˆmetros de impedaˆncia sa˜o dados por: V1 = Z11I1 + Z12I2, (1) V2 = Z21I1 + Z22I2, (2) Onde, Z11 = V1 I1 ∣∣∣∣∣ I2=0 , Z21 = V2 I1 ∣∣∣∣∣ I2=0 Z12 = V1 I2 ∣∣∣∣∣ I1=0 , Z22 = V2 I2 ∣∣∣∣∣ I1=0 (3) Os paraˆmetros y podem ser derivados dos paraˆmetros z por valores tabelados, onde: Y11 = Z22 4Z , Y12 = − Z12 4Z , Y21 = −Z214Z , Y22 = Z11 4Z , (4) Assim como os paraˆmetros T, A = Z11 Z21 , B = 4Z Z21 , C = 1 Z21 , D = Z22 Z21 , (5) Sendo ainda importante considerar que a forma de paraˆmetros de impedaˆncia e´ a convencional para calcular-se uma associac¸a˜o em serie. Sabendo-se isto ja´ se pode ser apresentado como se calcula associac¸a˜o de quadripolos em serie, segue: [Z] = [Za] + [Zb], (6) Onde Za se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Zb se refere ao quadripolo B. No caso da associac¸a˜o em paralelo considera-se que a forma de paraˆmetros de admitaˆncia e´ a convencional para calcular-se uma associac¸a˜o em paralelo. Sabendo-se isto ja´ se pode ser apresentado como se calcula associac¸a˜o de quadripolos em paralelo, segue: [Y ] = [Ya] + [Yb], (7) Onde Ya se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Yb se refere ao quadripolo B. No caso da associac¸a˜o em cascata considera-se que a forma de paraˆmetros de Transmissa˜o e´ a convencional para calcular-se uma associac¸a˜o. Sabendo-se isto ja´ se pode ser apresentado como se calcula associac¸a˜o de quadripolos em Cascata, segue: [T ] = [Ta]× [Tb], (8) Onde Ta se refere aos paraˆmetros do quadripolo A e Tb se refere ao quadripolo B. 2.2. Paraˆmetros do Quadripolo A No caso em questa˜o sera´ encontrado os paraˆmetros do qua- dripolo da figura 1, sera´ aplicado as equac¸o˜es em 3. Por meio da aplicac¸a˜o de leis para circuitos ja´ conhecidas, tem se: Para Z11a e Z21a, no caso deixa-se em aberto os termi- nais de saı´da: Z11a = V1 I1 = 10KΩ× 14, 7KΩ 24, 7KΩ = 5, 95KΩ (9) Z21a = V2 I1 = 10KΩ× 10KΩ 24, 7KΩ = 4, 05KΩ (10) Para Z12a e Z22a, no caso deixa-se em aberto os terminais de entrada: Z12a = V1 I2 = 10KΩ× 10KΩ 24, 7KΩ = 4, 05KΩ (11) Z22a = V2 I2 = 10KΩ× 14, 7KΩ 24, 7KΩ = 5, 95KΩ (12) 2.3. Paraˆmetros do Quadripolo B Para Z11b e Z21b, no caso deixa-se em aberto os terminais de saı´da: Z11b = V1 I1 = 4, 7KΩ× 11KΩ 4, 7KΩ + 11KΩ = 3, 29KΩ (13) Z21b = V2 I1 = 10KΩ× 4, 7KΩ 4, 7KΩ + 11KΩ = 2, 99KΩ (14) Para Z12b e Z22b, no caso deixa-se em aberto os terminais de entrada: Z12b = V2 I1 = 4, 7KΩ× 10KΩ 5, 7KΩ + 10KΩ = 2, 99KΩ (15) Z11b = V2 I2 = 5, 7KΩ× 10KΩ 5, 7KΩ + 10KΩ = 3, 63KΩ (16) 2.4. Associac¸a˜o em serie quadripolos A e B Na associac¸a˜o em serie como antes citado na introduc¸a˜o se e´ convencionalmente considerado os paraˆmetros de im- pedieˆncia, segue segundo a equac¸a˜o 6, a ligac¸a˜o em serie esta´ representada pela figura 4. [Z11] = [Z11a] + [Z11b] = 5, 95KΩ + 3, 29KΩ = 9, 24KΩ (17) Sendo este um circuito reciproco, segue que: [Z12] = [Z21] = [Z12a] + [Z12b] = 4, 05KΩ + 2, 99KΩ = 7, 04KΩ (18) [Z22] = [Z22a] + [Z22b] = 5, 95KΩ + 3, 63KΩ = 9, 58KΩ (19) 2.5. Paraˆmetros do Quadripolo C Agora sera encontrado os paraˆmetros do Quadripolo C que esta representado pela figura 3. Para Z11 e Z21, no caso deixa-se em aberto os terminais de saı´da: Z11 = V1 I1 = 4, 7KΩ + 3KΩ× 1kΩ 3KΩ + 1KΩ = 5, 45KΩ (20) Z21 = V2 I1 = 2KΩ× 1KΩ 3× (1KΩ) + 1KΩ = 0, 5KΩ (21) Para Z12 e Z22, no caso deixa-se em aberto os terminais de entrada: Z12 = V1 I2 = 1KΩ× 2KΩ 4KΩ = 0, 5KΩ (22) Z22 = V2 I2 = 2KΩ× 2KΩ 4KΩ = 1KΩ (23) 2.6. Associac¸a˜o serie - Quadripolo C O desenvolvimento e´ semelhante para a aferic¸a˜o dos paraˆmetros em serie presente na subsec¸a˜o 2.4. E a associac¸a˜o e´ con- forme a figura 4. [Z11] = [Z11a] + [Z11b] = 5, 45KΩ + 5, 45KΩ = 10, 90KΩ (24) [Z12] = [Z21] = [Z12a] + [Z12b] = 0, 5KΩ + 0, 5KΩ = 1KΩ (25) [Z22] = [Z22a] + [Z22b] = 1, 00KΩ + 1, 00KΩ = 2, 00KΩ (26) 2.7. Associac¸a˜o paralelo - Quadripolo C A associac¸a˜o e´ conforme a figura 4. E para tal utiliza-se a (7). Assim sendo e´ necessa´rio converter-se os paraˆmetros de impedaˆncia encontrados na subsec¸a˜o 2.5, para isso usa-se as equac¸o˜es 4. Os paraˆmetros de Admitaˆncia sa˜o: Y11c = 0, 19mS, Y21c= −0, 10mS, Y12c = −0, 10mS e Y22c = 1, 05mS. Assim: [Y11] = [Y11c] + [Y11c] = 0, 19mS + 0, 19mS = 0, 38mS (27) [Y12] = [Y21] = [Y12c] + [Y12c] = (−0, 10mS) + (−0, 10mS) = −0, 20mS (28) [Y22] = [Y22c] + [Y22c] = 1, 05mS + 1, 05mS = 2, 10mS (29) 2.8. Associac¸a˜o cascata - Quadripolo C A associac¸a˜o e´ conforme a figura 6. E para tal utiliza-se a 8. Assim e´ necessa´rio converter-se os paraˆmetros de im- pedaˆncia encontrados na subsec¸a˜o 2.5, para isso usa-se as equac¸o˜es 5. Os paraˆmetros Transmissa˜o para o quadripolo C sa˜o: Ac = 10, 90, Bc = 10, 40kΩ, Cc = 2, 00mSeDc = 2, 00. Assim: [A] = 10, 90× 10, 90 + 10, 40KΩ× 2, 00mS = 139, 61 [B] = 10, 90× 10, 40KΩ + 10, 40KΩ× 2, 00 = 134, 16kΩ [C] = 2, 00mS × 10, 90 + 2, 00× 2, 00mS = 25, 80mS [D] = 2, 00× 10, 40KΩ + 2, 00× 2, 00 = 24, 80 (30) 2.9. Material Utilizado Tabela 1. Material utilizado. Quantidade Material 1 Fonte de alimentac¸a˜o MPL 1303 1 Protoboard Minipa MP-1680A 1 Multı´metro Digital ET 1110 DMM 4 Resistores de 4, 70kΩ( 14W ) 3 Resistores de 10, 00kΩ( 14W ) 9 Resistores de 1, 00kΩ( 14W ) 3. RESULTADOS Abaixo esta˜o as tabelas com os valores teo´ricos e os Expe- rimentais. Tabela 2. Valores quadripolo A simulados no software OR- CARD - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 2,980 2,020 5,960 4,040 1,200 7,140 4,860 5,950 4,050 Media 5,950 4,050 Val. teo´r. 5,950 4,050 Erro % 0,000 0,025 Tabela 3. Valores quadripolo A simulados no software OR- CARD - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 2,020 2,980 4,040 5,960 1,200 4,860 7,140 4,050 5,950 Media 4,050 5,950 Val. teo´r. 4,050 5,950 Erro % 0,025 0,000 Tabela 4. Valores quadripolo B simulados no software OR- CARD - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 1,65 1,50 3,29 2,99 1,200 3,95 3,59 3,29 2,99 Media 3,29 2,99 Val. teo´r. 3,29 2,99 Erro % 0,000 0,000 Tabela 5. Valores quadripolo B simulados no software OR- CARD - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 1,50 1,81 2,990 3,63 1,200 3,59 4,36 2,99 3,63 Media 2,99 3,63 Val. teo´r. 2,99 3,63 Erro % 0,000 0,000 Tabela 6. Valores quadripolo A experimental - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 3,000 2,000 6,000 4,000 1,200 7,000 4,750 5,833 3,958 Media 5,877 3,955 Val. teo´r. 5,951 4,049 Erro % 0,012 0,023 Tabela 7. Valores quadripolo A experimental - Z12 e Z22. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 2,000 3,000 4,000 6,000 1,200 4,700 7,000 3,945 5,833 Media 3,945 5,877 Val. teo´r. 4,049 5,951 Erro % 0,026 0,012 Tabela 8. Valores quadripolo B experimental - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 1,66 1,50 3,32 3,00 1,200 3,39 3,61 3,33 3,01 Media 3,32 3,00 Val. teo´r. 2,29 2,99 Erro % 0,91 0,49 Tabela 9. Valores quadripolo B experimental - Z12 e Z22. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 1,52 1,83 3,04 3,66 1,200 3,60 4,38 3,00 3,65 Media 3,01 3,65 Val. teo´r. 2,99 3,63 Erro % 0,69 1,84 Tabela 10. Valores Teo´ricos da associac¸a˜o em se´rie do Qua- dripolo B. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V ) 0.22 1 0.8 4.55 3.64 I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V ) 0.21 0.78 1 3.714 4.762 A seguir encontra-se os paraˆmetros do quadripolo C: Tabela 11. Valores quadripolo C simulado - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 2,73 0,25 5,45 0,5 1,200 6,54 0,60 5,45 0,50 Media 5,45 0,50 Val. teo´r. 5,45 0,50 Erro % 0,00 0,00 Tabela 12. Valores quadripolo C simulado - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 0,25 0,50 0,5 1,0 1,200 0,6 1,20 0,5 1,0 Media 0,5 1,0 Val. teo´r. 0,5 1,0 Erro % 0,00 0,00 Tabela 13. Valores experimentais do Quadripolo C para de- terminar os paraˆmetros.Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21 0.36 1 0.05 2.778 0.139 I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V ) 1.98 0.52 1 0.2626 0.5051 Tabela 14. Valores quadripolo C associac¸a˜o em serie simu- lado - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 5,45 0,5 10,90 1,0 1,200 13,08 1,20 10,90 1,0 Media 10,90 1,0 Val. teo´r. 10,90 1,0 Erro % 0,00 0,00 Tabela 15. Valores quadripolo C associac¸a˜o em serie simu- lado - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 0,5 1,0 1,0 2,0 1,200 1,2 2,40 1,0 2,0 Media 1,0 2,0 Val. teo´r. 1,0 2,0 Erro % 0,00 0,00 Tabela 16. Valores Experimentais do Teste de Brune para associac¸a˜o em se´rie do Quadripolo B. Configurac¸a˜o V (V ) V ′ (V ) CORRETA 1 0 Tabela 17. Valores experimentais da associac¸a˜o em se´rie do Quadripolo C. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V ) 0.19 1 0.1 5.263 0.5263 I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V ) 0.99 0.51 1 0.515 1.01 Tabela 18. Valores quadripolo C associac¸a˜o em paralelo simulado - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 1,36 0,13 2,73 0,25 1,200 3,27 0,30 2,73 0,25 Media 2,73 0,25 Val. teo´r. 2,73 0,25 Erro % 0,00 0,00 Tabela 19. Valores quadripolo C associac¸a˜o em paralelo simulado - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 0,13 0,25 0,25 0,5 1,200 0,28 0,60 0,25 0,50 Media 0,25 0,50 Val. teo´r. 0,25 0,50 Erro % 0,00 0,00 Tabela 20. Valores Experimentais do Teste de Brune para associac¸a˜o em paralelo do Quadripolo C. Configurac¸a˜o V (V ) V ′ (V ) CORRETA 1 0 Tabela 21. Valores experimentais da associac¸a˜o em paralelo do Quadripolo C. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V ) 0.75 1 0.1 1.33 0.13 I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V ) 3.95 0.53 1 0.13 0.25 Tabela 22. Valores quadripolo C associac¸a˜o em cascata si- mulado - Z11 e Z21. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11(KΩ) Z21(KΩ) 0,500 2,71 19,38 5,41 38,76 1,200 6,49 46,51 5,41 38,76 Media 5,41 38,76 Val. teo´r. 5,41 38,76 Erro % 0,00 0,00 Tabela 23. Valores quadripolo C associac¸a˜o em cascata si- mulado - Z12 e Z22. I2(mA) V1(V ) V2(V ) Z12(KΩ) Z22(KΩ) 0,500 19,38 0,48 38,76 0,96 1,200 46,51 1,15 38,76 0,96 Media 38,76 0,96 Val. teo´r. 38,76 0,96 Erro % 0,00 0,00 Tabela 24. Valores experimentais da associac¸a˜o em cascata do Quadripolo C. I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z11 Z21(V ) 0.5 2.5 0.01 5.0 0.02 1.0 5.1 0.19 5.1 0.19 I1(mA) V1(V ) V2(V ) Z12 Z22(V ) 0,5 0,02 0,5 0,04 1,00 1,00 0,04 1 0,04 1,00 4. DISCUSSA˜O E CONCLUSO˜ES Observa-se que as primeiras tabelas foram geradas atrave´s de simulac¸o˜es no software Orcad, onde obteve-se alguns re- sultados, comparando-se os valores teo´ricos com os men- surados no laborato´rio, pode-se inferir que ha´ uma certa diferenc¸a nos valores obtidos e isso se deve ao fato que as configurac¸o˜es executadas no simulador e as montadas no laborato´rio. Por exemplo, na simulac¸a˜o foi construı´da, uma configurac¸a˜o onde o teste de brune falhou,havendo a mensurac¸a˜o do mesmo. No laborato´rio todos os teste de brune estavam corretos, enta˜o algumas montagens feita no laborato´rio diferem-se das simuladas, logo os resultados apre- sentam uma diferenc¸a. Apo´s esse experimento, contata-se que o conceito adquirido para mensurar esses as topologias requisitadas tem um impacto de grande valia no desenvolvi- mento de te´cnicas para extrair informac¸o˜es que podem ser utilizadas em diversas aplicac¸o˜es como casamento de im- pedaˆncia, distribuic¸a˜o de energia, etc. 5. ANEXO Fig. 1. Quadripolo A Fig. 2. Quadripolo B Fig. 3. Quadripolo C Fig. 4. Modelo de uma associac¸a˜o em serie Fig. 5. Modelo de uma associac¸a˜o em paralelo Fig. 6. Modelo de uma associac¸a˜o em cascata Fig. 7. Teste de Brune A e B Fig. 8. Associac¸a˜o em serie A e B Fig. 9. Quadripolo C Fig. 10. Quadripolo C associac¸a˜o em serie Fig. 11. Quadripolo C associac¸a˜o em paralelo Fig. 12. Quadripolo C associac¸a˜o em cascata 6. REFERENCIAS [1] M. N. Sadiku, C. K. Alexander, and S. Musa, Ana´lise de cir- cuitos ele´tricos com aplicac¸o˜es. AMGH Editora, 2014.
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