Lista 2

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Lista 2 de Geometria Analítica
Simone Ribeiro
1. Prove que ~BC − ~BA = ~AC.
2. Prove as seguintes leis do cancelamento da adição de vetores: i) ~u + ~x = ~u + ~y ⇒
~x = ~y; ii) ~x + ~u = ~y + ~u⇒ ~x = ~y.
3. Prove que ~u + ~v = ~w implica que ~u = ~w − ~v.
4. Ache a soma dos vetores indicados nas figuras abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
2
(f) (g)
5. Prove as seguintes afirmações:
(a) (−α)~v = −(α~v). (b) α(−~v) = −(α~v). (c) (−α)(−~v) = α~v.
6. Prove que se α~v = β~v e se ~v , ~0, então α = β.
7. Ache o valor de ~x da expressão: 2~x − 3~u = 10(~x + ~v).
8. Na figura abaixo, a medida de AX é metade da medida de XB. Escreva ~CX em
função de ~CA e ~CB.
9. Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto médio.
10. Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
3
11. Determine a extremidade do segmento que representa o vetor ~2,−5 sabendo que
sua origem é o ponto A(−1, 3). Resp: (1,−2).
12. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine o vetor ~w tal que:
(a) 4(~u − ~v) + 1
3
~w = 2~u − ~w. Resp: ~w = (−15
2
,
15
2
).
(b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u). Resp: ~w = (23
5
,−11
5
).
13. Dados os pontosA(−1, 3), B(2, 5), eC(3,−1), calcular ~OA− ~AB, ~OC− ~BC e 3 ~BA−4 ~CB.
Resp: (−4, 1), (2, 5), (−5,−30).
14. Dados os vetores ~u = (3,−4), ~v = (−9/4, 3), verificar se existem números a e b tais
que ~u = a~v e ~v = b~u. Resp: a = −4/3 e b = −3/4.
15. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determine a e b tais que
~w = a~u + b~v. Resp: a = −1 e b = 2.
16. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1), determinar D tal que ~DC = ~BA. Resp:
D(4,−4).
17. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2), determinar o ponto P tal que ~AP = ~PB.
Resp: (3, 1,−1/2)
18. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4,−2, 0), determinar o ponto P tal que ~AP = 3 ~AB.
Resp: P(14,−10,−6).
19. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
Resp: a = 3/2 e b = −9/2.
20. Verificar se os seguintes pontos são colineares:
(a) A(−1,−5, 0), B(2, 1, 3), C(−2,−7,−1). Resp: Sim
(b) A(2, 1,−1), B(3,−1, 0), C(1, 0, 4). Resp: Não.
21. Determinar a e b de modo que os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1), C(a, b, 7) sejam colin-
eares. Resp: a = −3 e b = 13.
22. Mostre que os pontos são vértices de um paralelogramo: A(4, 0, 1), B(5, 1, 3),
C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3).
23. Determinar o simétrico do ponto P(3, 1,−2) em relação ao pontoA(−1, 0,−3). Resp:
(−5,−1,−4).