AE 01 2018 Fasores

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FASORES 
 
 
 
 
 
 
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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
 
 
 
 
FASORES 
 
 
 
 
Aluno 
Nome Matrícula 
 
Guilherme do Carmo Oliveira 201201161452 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2018. 
Trabalho entregue ao professor, 
Haroudo Guisti, como requisito 
parcial para obtenção do Grau 
na Disciplina de Circuitos 
Elétricos II 
 
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- Forma retangular: .................................................................................................. 4 
- Forma retangular: .................................................................................................. 5 
Exemplo ............................................................................................................... 7 
2- Operações com fasores....................................................................................... 7 
- forma retangular .................................................................................................... 7 
- forma polar ............................................................................................................ 8 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Fasores, são na realidade vetores que giram e uma determinada velocidade em um 
círculo trigonométrico, dando origem as funções senoidais. Então toda função 
senoidal pode ser representada por um fasor. A representação fasorial é simples, 
apesar de se basear na teoria dos números complexos. 
 
 
 
 
 
Observa se também que o tamanho do fasor é exatamente igual ao máximo atingido 
pela função, ou seja, sua amplitude. 
 A representação algébrica da notação fasorial é baseada na teoria dos números 
complexos, porém iremos fazer uma simplificação da teoria, utilizando a análise 
vetorial com um pouco de trigonometria para entendermos as operações com 
fasores. 
Para isto vamos definir dois eixos (figura 3.15), um Real (eixo horizontal) e um 
Imaginário (eixo vertical). Estes dois eixos formam o que chamamos 
matematicamente do plano complexo ou plano imaginário. 
A representação de um fasor no plano complexo é muito simples, basta 
transladarmos o fasor do circulo trigonométrico para o plano complexo, atentos à 
fase inicial do fasor. 
No plano complexo o fasor pode ser representado por um número complexo Z, que 
possui uma parte Real a, e uma parte imaginária b. Podemos também representá-lo 
através de seu módulo (tamanho do fasor) e seu ângulo (fase do fasor). Esta duas 
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formas de representação dão origem as formas retangular e polar de se representar 
um número complexo discriminadas a seguir. 
 
- Forma retangular: 
Na forma retangular o número complexo (nosso fasor) é representado a seguinte 
forma: 
Z = {parte real} + j {parte imaginária} 
Observe que o termo j representa na teoria dos números complexos a raiz de − 1, 
porém em nosso estudo, somente será utilizado para identificar a parte imaginária de 
uma notação fasorial. 
 
A representação de um fasor no plano complexo é muito simples, basta 
transladarmos o fasor do circulo trigonométrico para o plano complexo, atentos à 
fase inicial do fasor. 
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No plano complexo o fasor pode ser representado por um número complexo Z, que 
possui uma parte Real a, e uma parte imaginária b. Podemos também representá-lo 
através de seu módulo (tamanho do fasor) e seu ângulo (fase do fasor). Esta duas 
formas de representação dão origem as formas retangular e polar de se representar 
um número complexo discriminadas a seguir. 
- Forma retangular: 
 
Na forma retangular o número complexo (nosso fasor) é representado a seguinte 
forma: 
Z = {parte real} + j {parte imaginária} 
Observe que o termo j representa na teoria dos números complexos a raiz de √− 1, 
porém em nosso estudo, somente será utilizado para identificar a parte imaginária de 
uma notação fasorial. 
Na forma polar o número complexo (nosso fasor) é representado da seguinte forma: 
 
 
Um número complexo Z qualquer, pode ser representado tanto em sua forma 
retangular, como em sua forma polar, e a transformação de uma forma para outra 
não passa de uma simples transformação trigonométrica. 
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O nosso número complexo Z pode ser representado pela sua forma polar, sendo 
então: 
 
 
Observe que a (parte Real) e b (parte Imaginária) são os catetos de um triângulo 
retângulo e Z (módulo do fasor) a hipotenusa. Sendo assim, aplicando um pouco de 
trigonometria, teremos: 
A parte Real a do número complexo como sendo a projeção horizontal do fasor, 
dada por: 
 
Já a parte Imaginária b pode ser calculada como sendo a projeção vertical do fasor, 
dada por: 
 
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Podemos também fazer o contrário, aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos 
calcular o módulo Z do número complexo, ou fasor, conhecendo suas partes Real e 
Imaginária. 
Então: 
 
Já a fase ᶲ pode ser obtida através da função trigonométrica tangente, pois: 
 
Exemplo 
 
2- Operações com fasores 
As operações com fasores, ou números complexos são bem simples, sendo 
realizadas na forma retangular ou polar: 
- forma retangular 
Sejam dois fasores: 
 
 
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A soma ou subtração na forma retangular é bem simples, pois a fazemos agrupando 
as partes reais e as partes imaginárias, fazendo assim as operações com cada 
grupo. Sendo assim: 
 
 
O produto pode ser feito aplicando a propriedade distributiva, então: 
 
 
 
Lembrando que: 
 
 
 
A divisão não será apresentada aqui, pois sua resolução é muito complicada, sendo 
esta feita na forma polar. 
- forma polar 
Na forma polar a soma e subtração são bem complicadas, portanto não citadas aqui, 
porém a multiplicação e a divisão são extremamente simples comparadas a forma 
retangular. 
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Sejam dois fasores: 
 
O produto será dado por: 
 
 
Enquanto a divisão: