Gabarito apostila 5

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Gabarito da lista da apostila 5 
 
1) (a) a = -2; b = 1; c = -2 (b) a = -2; b = 1; c = 2 (c) a = 41/2; b = -13/2; -23/2 
(d) a = b = c = 0 
 
2) k = 12 
 
3) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (7𝑥 + 4𝑦, 3𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 2𝑦) 
 
4) (a) u = (1, 2, -3) (b) 𝑣 = 2𝑡, −𝑡, 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ 𝑅 
 
5) (a) Fazendo o produto interno (produto escalar) entre os vetores, vemos que dá zero e, portanto, é um conjunto de vetores 
ortogonais. 
(b) 𝑢 = −2𝑣1 − 5𝑣2 + 2𝑣3 
 
6) (a) 𝑆 = 
2
 5
,
1
 5
 ; −
1
 5
,
2
 5
 (b) 𝑃 = 0,
1
 5
,
2
 5
 ; 0,
−2
 5
,
1
 5
 ; 1,0,0 
 
7) (a) Autovalores 1 e -1; autovetores: 
1
0
 𝑒 
−1
1
 (b) Autovelores 1, 2 e 3; autovetores 
−1
0
1
 , 
1
1
1/2
 𝑒 
1
−2
−1
 
 
8) 𝑃 = 
−1 1 1
0 1 −2
1 1 1
 𝑒𝐷 = 
2 0 0
0 3 0
0 0 6
 
 
9) (a) 𝑃 = 
−1 0
0 1
 𝑒𝐷 = 
2 0
0 4
 (b) 𝑃 = 
0 −
4
5
3
5
1 0 0
0
3
5
4
5
 𝑒𝐷 = 
−3 0 0
0 25 0
0 0 −50
 
 
10) 
(a)Tem termo misto, fazer a troca de eixos: 
𝑥 ′ 2
4
−
𝑦 ′ 2
8/3
= 1 => 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 
 
(b) Alteração na equação do enunciado 𝟓𝒙² + 𝟒𝒙𝒚 + 𝟓𝒚² − 𝟏 = 𝟎 
Tem termo misto, fazer a troca de eixos: 
𝑥 ′ 2
1/3
+
𝑦 ′ 2
1/7
= 1 𝐸𝑙í𝑝𝑠𝑒 
 
(c) −
𝑥 ′ 2
3/4
+
𝑦 ′ 2
3
= 1 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 
 
(d) Não tem termo misto. Completar quadrados: 
 𝑥−2 2
2
+
 𝑦+3 2
1
+
(𝑧−1)2
4
= 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠ó𝑖𝑑𝑒 
 
(e) Alteração na equação do enunciado 𝟑𝒙² + 𝟐𝒚² − 𝟔𝒛² − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟖 = 𝟎 
Não tem termo misto. Completar quadrados: 
 𝑥−3 2
1/3
+
 𝑦+1 2
1/2
−
𝑧2
1/6
= 1 𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙ó𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑜𝑙ℎ𝑎. 
 
(f) Não tem termo misto. Completar quadrados: 
 𝑥+4 2
32
+
 𝑦−1 2
24
+
(𝑧+12)2
96
= 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠ó𝑖𝑑𝑒 
 
(g) Alteração na equação do enunciado 𝟔𝒚² − 𝟖𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 
 
 𝑥 −
3
2 5
 
2
5
4
+
 𝑦 −
1
2 5
 
2
5
16
= 1 𝐸𝑙í𝑝𝑠𝑒