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Aula 5: Lei de Resfriamento de Newton.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Lei de Resfriamento de Newton:
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o da temperatura
T (t) de um corpo em resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a tem-
peratura atual do corpo T (t) e a temperatura constante do meio ambiente
Ts, ou seja, a temperatura do corpo, T (t) e´ a soluc¸a˜o do problema de valor
inicial 
dT
dt
= k(T − Ts)
T (0) = T0
Exemplo 1:
O cafe´ esta´ a 90oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para
85oC, em uma cozinha a 25oC. Vamos determinar a temperatura do cafe´ em
func¸a˜o do tempo e o tempo que levara´ para o cafe´ chegar a 60oC.

dT
dt
= k(T − 25)
T (0) = 90
T (1) = 85
Temos que
1
T − 25
dT
dt
= k
Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a t:
∫
1
T − 25dT =
∫
kdt
ln |T − 25| = kt + c1
T (t) = 25± ec1ekt = 25 + cekt
Substituindo t = 0 e T = 90:
90 = 25 + c⇒ c = 65
1
T (t) = 25 + 65ekt
Substituindo t = 1 e T = 85
85 = 25 + 65ek ⇒ k = ln
(
60
65
)
Assim a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo e´ dada por:
T (t) = 25 + 65eln (
60
65
)t = 25 + 65
(
60
65
)t
Substituindo T = 60 :
60 = 25 + 65eln (
60
65
)t
Logo o tempo necessa´rio para que o cafe´ atinja 60o e´:
t =
ln(35/65)
ln(60/65)
≈ 8min
Exemplo 2:
Um termoˆmetro e´ levado de uma sala onde a temperatura e´ 20oC para fora
onde a temperatura e´ de 5oC. Apo´s 1/2 minuto o termoˆmetro marca 15oC.
a) Determine a temperatura marcada pelo termoˆmetro como func¸a˜o do tempo.
b) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro apo´s 1 minuto?
c) Em quanto tempo o termoˆmetro ira´ marcar 10oC?
a) A temperatura registrada no termoˆmetro T (t) e´ a soluc¸a˜o do problema de
valor inicial:

dT
dt
= k(T − 5)
T (0) = 20
Temos que
1
T − 5
dT
dt
= k
2
Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a t:
∫
1
T − 5dT =
∫
kdt
ln |T − 5| = kt + c1
T (t) = 5± ec1ekt = 5 + cekt
Substituindo t = 0 e T = 20:
20 = 5 + c⇒ c = 15
T (t) = 5 + 15ekt
Substituindo t = 1/2 e T = 15
15 = 5 + 15ek/2 ⇒ k = 2 ln
(
2
3
)
Assim a temperatura do termoˆmetro em func¸a˜o do tempo e´ dada por:
T (t) = 5 + 15et[2 ln (
2
3
)] = 5 + 15
(
2
3
)2t
b) Apo´s 1 minuto o termoˆmetro deve marcar:
T (1) = 5 + 15
(
2
3
)2
=
105
9
≈ 11, 7o
c) Substituindo T = 10 em T (t) = 5 + 15et[2 ln (
2
3
)]:
10 = 5 + 15et[2 ln (
2
3
)]
Logo o tempo necessa´rio para que o termoˆmetro marque 10o e´ de:
t =
ln(1/3)
2 ln(2/3)
≈ 1min e 20s
3