Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Ministe´rio da Educac¸a˜o Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Campus Campo Moura˜o Wellington Jose´ Correˆa Nome: 2a¯Lista de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear 1. Um carro move-se, em linha reta, 5 km na direc¸a˜o norte e, em seguida, tambe´m em linha reta, 5 km na direc¸a˜o leste. Qual foi o deslocamento do carro. 2. Sendo −→a = (4, 0, 3),−→b = (−2, 1, 5), determine: (a) ||−→a || (b) −→a +−→b (c) −→a −−→b (d) 3−→b (e) 2−→a + 5−→b 3. Na figura abaixo, representa-se um paralelep´ıpedo ABCDEFGH. Sendo −→u = −→AB,−→v = −−→AD e −→w = −→AE, exprima −→AG e −−→EC em func¸a˜o de −→u ,−→v e −→w . 4. Determine a soma dos vetores indicados. 1 5. Calcule a soma dos vetores indicados em cada figura abaixo 6. Na figura a seguir, os hexa´gonos sa˜o regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados. 7. Dados quatro pontos A,B, C, X e m um nu´mero real tais que −−→ AX = m −−→ XB. Exprima −−→ CX em func¸a˜o de −→ CA, −−→ CB e m. 8. Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por −−→ BX = m −−→ BC. Exprima −−→ OX e −−→ AX em func¸a˜o de −→ OA, −−→ OB, −→ OC,m. 9. Considere o hexa´gono regular de arestas A,B,C,D,E e F . Exprima −→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF em termos de −→ AO, onde O e´ o centro do hexa´gono. 10. Prove que {−→u ,−→v ,−→w } e´ L.I. se, e somente se, {−→u +−→v ,−→u +−→w ,−→v +−→w } e´ L.I. 11. Verifique se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. ou L.D. (a) −→u = (1, 0, 0),−→v = (200, 2, 1),−→w = (300, 1, 2). (b) −→u = (1, 2, 1),−→v = (1,−1, 7),−→w = (4, 5,−4). 2 Nos exerc´ıcios a seguir, todas as coordenadas referem-se a uma base ortonormal positiva fixada. 12. Dados −→u = (2, 0,−3) e −→v = (1, 1, 1). Calcule em radianos, a medida angular entre −→u e −→v . 13. Determine x de modo que −→u = (x, 0, 3) e −→v = (1, x, 3) sejam ortogonais. 14. Obtenha a tripla de coordenada do vetor que tem norma √ 3, e´ ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1) e forma aˆngulo obtuso com (0, 1, 0). 15. Prove a relac¸a˜o de Euler: −→ AB · −−→CD + −−→BC · −−→AD + −→CA · −−→BD = 0 quaisquer que sejam os pontosA,B,C e D. 16. Em relac¸a˜o a` base ortonormal positiva B = ( −→ i , −→ j , −→ k ), sa˜o dados −→u = (6,−2,−4) e −→v = (−1,−2, 1). Calcule −→u ∧ −→v . 17. A medida angular entre −→u e −→v e´ pi 6 e suas normas sa˜o 2 e 3, respectivamente. Calcule ||−→u ∧ −→v ||. 18. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo −→ AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4). 19. Calcule um vetor ortogonal unita´rio a −→u = (1, 2, 3) e −→v = (−1, 1, 2). 20. Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u = (1, 0, 1),−→v = (2, 1, 2) e −→w = (0, 3, 3). 21. Fac¸a o que lhe for solicitado: (a) Verifique que o triaˆngulo retaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(3,3), B(0,1) e C(1,6) e´ retaˆngulo em A. (b) Calcule a projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC. (c) Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativo ao ve´rtice A (sugesta˜o: seja P (x, y) o pe´ da altura relativa ao ve´rtice A, enta˜o, −−→ BP = proj −→ BA−−→ BC .) Respostas: 1. 5 √ 2 3 2. (a) 5 (b) (2,1,8) (c) (6,-1,-2) (d) (-6,3,15) (e) (-2,1,5) 3. −→ AG = −→u +−→v +−→w . −−→EC = −→u +−→v −−→w . 4. No primeiro e no terceiro tetraedros, −−→ AD. No segundo −→ 0 . No u´ltimo, −→ AC. 5. (a) −→ AF (b) −→ BL (c) −→ AF 6. (a) −→ EA (b) −→ FC (c) −→ FC (d) −−→ OD 7. −−→ CX = 1 1 +m −→ CA+ m 1 +m −−→ CB. 8. −−→ OX = (1−m)−−→OB +m−→OC. −−→AX = −−→OA+ (1−m)−−→OB +m−→OC. 9. 6 −→ AO 10. Use a definic¸a˜o de vetores L.I. 11. (a) L.I. (b) L.D. 12. θ = arccos(− 1/ √ 39). 13. x = −9 14. −→x = (1,−1, 1) 15. Use por exemplo que −→ BA = −−→ BC + −→ CA. 16. (−10,−2,−14). 17. 3. 18. √ 62 19. 1√ 35 (1,−5, 3). 20. 3. b 1 2 √ 26 21. P ( 1 2 , 7 2 ) Bom trabalho!!! 4
Compartilhar