Apostila Mecânica dos Sólidos - Equilíbrio

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Equilíbrio 
 
 A estática envolve principalmente com a 
descrição das condições necessárias e suficientes 
para manter o equilíbrio de forças em estruturas de 
engenharia, onde se constitui na parte mais 
importante da estática e os procedimentos 
desenvolvidos aqui formam a base para a resolução 
de problemas, tanto em estática quanto em 
dinâmica. 
 Um sistema mecânico é definido como um 
corpo ou grupo de corpos que podem ser 
hipoteticamente isolados de todos os outros corpos. 
Um sistema pode ser um único corpo ou uma 
combinação de corpos interligados. Os corpos 
podem ser rígidos ou não. O sistema pode ser 
também uma massa, tanto liquida quanto gasosa, ou 
uma combinação de fluidos e sólidos. Em estática 
focaremos principalmente forças que atuam em 
corpos rígidos em repouso. 
 Uma vez conhecido o corpo isolado de 
todos os outros corpos vizinhos. Esse isolamento é 
obtido por intermédio do diagrama de corpo livre, 
que é uma representação esquemática do sistema 
isolado, tratado como um único corpo. O diagrama 
mostra todas as forças aplicadas ao sistema pro 
contato mecânico com outros corpos, que se 
imagina serem removidos. 
 
O diagrama de corpo livre é o passo mais 
importante na solução de problemas em mecânica. 
 Como desenvolvemos a capacidade de 
trabalhar com forças aplicadas, agora essas serão 
utilizadas para desenvolver modelos conceituais 
para sistemas mecânicos isolados. Esses modelos 
nos permitem escrever as equações de equilíbrio 
apropriadas, que podem, então, ser analisadas. 
 
Modelando a Ação de Forças 
 
 A figura abaixo mostra os modos comuns de 
aplicação de forças em sistemas mecânicos para a 
analise em duas dimensões. Cada exemplo mostra a 
força exercida no corpo a ser isolado, e a força 
exercida pelo corpo a ser removido. A terceira lei 
de Newton, que indica a existência de uma reação 
igual e oposta para cada ação, deve ser 
cuidadosamente observada. A força exercida no 
corpo em questão por um elemento de contato ou 
de apoio é sempre no sentido de se opor ao 
movimento do corpo isolado, que ocorreria se o 
corpo de contato ou de apoio fosse removido. 
Como se podem observar na figura quando as 
superfícies lisas de dois corpos estão em contato a 
força exercida por um corpo no outro é normal à 
tangente às superfícies e é compressiva. Embora 
nenhuma superfície real seja perfeitamente lisa, 
podemos fazer essa consideração para propósitos 
práticos em muitas situações. 
 
 
 
 
Tipo de contato e origem Ação sobre o cor 
da força po a ser isolado 
 
 
 
 
 
 
1 Cabo flexível, correia, corrente ou corda – a 
força exercida por um cabo flexível é sempre trativa 
e direcionada do corpo para a direção do cabo. 
1 Superfície lisa – a força de contato é 
compressiva e normal à superfície. 
2 Superfície rugosa – superfícies rugosas são 
capazes de suportar uma componente 
tangencial F (força de atrito) assim como uma 
componente normal N da força de contato 
resultante R. 
3 Suporte deslizante – suportes de rolete, de 
esfera ou oscilantes transmitem uma força 
compressiva normal à superfície de apoio. 
4 Guia com deslizamento livre – buchas com 
movimentos livres ao longo de guias lisas só 
podem suportar forças normais à guia. 
5 Conexão com pino – uma conexão com pino, 
com articulação, é capaz de suportar uma força 
em qualquer direção no plano normal ao eixo 
do pino. Essa força é normalmente 
representada por duas componentes Rx e Ry. 
Uma conexão com pino sem liberdade de 
rotação pode suportar também um momento M. 
6 Suporte fixo ou engastado – um suporte fixo ou 
engastado é capaz de sustentar uma força axial 
F, uma força transversal V (força cisalhante ou 
cortante) e um momento M (momento fletor) 
para prevenir rotação. 
7 Ação gravitacional – a resultante da atração 
gravitacional de todos os elementos de um 
corpo de massa m é o peso W = mg e atua na 
direção do centro da terra. 
8 Ação de uma mola – a força da mola é trativa 
se a mola estiver distendida e compressiva se 
estiver comprimida. Para uma mola linear 
elástica, a rigidez k é a força necessária para 
deformar a mola de uma unidade de distância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção dos Diagramas de Corpo Livre 
 
 Todo processo para construir um diagrama 
de corpo livre que isola um corpo ou um sistema 
consiste nos seguintes passos: 
 
1) Defina qual sistema deve ser isolado. O 
sistema escolhido deve, normalmente, 
envolver uma ou mais das quantidades 
de4sconhecidas e que se quer determinar. 
2) Sendo assim, isole completamente seu 
contorno externo. Esse contorno define o 
isolamento do sistema de todos os outros 
corpos em contato ou que exerçam 
atração, os quais serão considerados 
removidos. Esse passo é freqüentemente o 
mais importante de todos. Tenha certeza 
de que você isolou completamente o 
sistema antes de prosseguir com o 
próximo passo. 
3) Identifique todas as forças que atuam no 
sistema isolado devidas aos corpos em 
contato, ou que exerçam atração, 
removidos, e represente-as em suas 
posições adequadas no diagrama do 
sistema isolado. Percorra 
sistematicamente todo o contorno para 
identificar todas as forças de contato. 
Represente todas as forças conhecidas por 
vetores, cada um com seu módulo, direção 
e sentido adequados. Cada força 
desconhecida deve ser representada por 
um vetor com módulo ou direção 
desconhecido indicados por um símbolo. 
Se o sentido do vetor também for 
desconhecido, você deve atribuir um 
sentido arbitrário. Os cálculos 
subseqüentes com as equações de 
equilíbrio fornecerão um valor positivo se 
tiver sido atribuído o sentido correto e um 
valor negativo se tiver sido considerado o 
sentido incorreto. Durante todos os 
cálculos, é preciso ser consistente com as 
características atribuídas às forças 
desconhecidas. Se você for consistente, a 
solução das equações de equilíbrio 
revelará os sentidos corretos. 
4) Mostre a escolha dos eixos coordenados 
diretamente no diagrama. Pro 
conveniência, dimensões pertinentes 
podem também ser representadas. 
Observe, entretanto, que um diagrama de 
corpo livre serve o propósito de focalizar 
a atenção na ação das forças externas, e, 
portanto, o diagrama não deve ser 
carregado com informação excessiva. 
 
A execução desses passos produzirá um diagrama 
de corpo livre correto a ser usado na aplicação das 
equações que governam o problema, tanto em 
estática quanto em dinâmica. Devemos ser bastante 
cuidadosos para não omitir do diagrama de corpo 
livre certa forças que, à primeira vista, podem 
parecer desnecessárias nos cálculos. O método do 
corpo livre é extremamente importante em 
mecânica, porque ele assegura uma definição 
precisa de um sistema mecânico e focaliza a 
atenção no significado exato e na aplicação das leis 
sobre forças da estática e da dinâmica. 
 
Condições de equilíbrio 
 
 Como já é sabido, o equilíbrio é a condição 
na qual a resultante de todas as forças e momentos 
atuando em um corpo é nula. Dito de outro modo, 
um corpo está em equilíbrio se todas as forças e 
momentos aplicados nele estiverem em equilíbrio. 
Esses requisitos estão contidos nas equações 
vetoriais de equilíbrio, que para duas dimensões 
podem ser descritas em forma escalar como: 
 
 ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣMO = 0; 
 
A terceira equação representa o somatório dos 
momentos de todas as forças em relação a qualquer 
ponto O no corpo ou fora dele. 
 
 
Exercícios 
 
1) O centro de massa G do carro de motor 
traseiro e peso 1400 kg estão localizados 
como mostra na figura. Determine a força 
normal sob cada pneu quando o carro esta 
emequilíbrio. 
 
 
 
 
2) Um carpinteiro carrega uma tábua 
uniforme que pesa 6 kg, como mostrado. 
Qual é o valor da força direcionada para 
baixo que ele sente em seu ombro em A? 
 
 
3) A viga em I uniforme e com 450 kg 
sustenta a carga mostrada. Determine as 
reações nos apoios. 
 
 
 
4) Que força de módulo T deve a pessoa 
aplicar no cabo, para fazer com que a 
balança marque 2000 N? Os pesos das 
polias e cabos são desprezíveis. Descreva 
qualquer hipótese feita. 
 
5) O tambor de 275 kg está erguido por 
um dispositivo que está preso às suas 
extremidades. Determine a força trativa T 
em cada uma das barras de comprimento 
igual, que formam os dois elementos em 
forma de U do dispositivo. 
 
 
6) Para facilitar a mudança de posição de 
um gancho para levantar carga quando ele 
está descarregado, usa-se o suporte 
deslizante mostrado. Os ressaltos em A e 
B se prendem aos flanges de uma viga-
caixão quando uma carga é aplicada, e o 
gancho se projeta através de uma fenda 
horizontal na viga. Calcule as forças em A 
e B quando o gancho sustenta uma massa 
de 300 kg. 
 
7) Três cabos estão unidos no anel de 
junção C. Determine as forças trativas nos 
cabos AC e BC causadas pelo peso do 
cilindro de 30 kg. 
 
 
8) Para acomodar a subida e descida da 
maré, uma ponte de pedestre entre um cais 
e um flutuador é sustentada por dois 
roletes, como mostrado. Se o centro de 
massa da ponte de 300 kg está em G, 
calcule a força trativa T no cabo horizontal 
que está preso ao gancho e ache a força no 
rolete em A. 
 
9) Determine o modulo da força P 
necessário para levantar uma extremidade 
do caixote de 250 kg com o carrinho, 
como mostrado. 
 
 
10) Determine o valor de P da força vertical 
necessária para levantar o carrinho de mão 
do solo no ponto B. O peso combinado do 
carrinho e de sua carga é de 110 kg e seu 
centro de gravidade está em G. 
 
 
 
11) A viga uniforme tem uma massa de 50 
kg por metro de comprimento. Calcule as 
reações no suporte O. Os carregamentos 
mostrados no plano vertical. 
 
 
 
 
12) Se o parafuso B do grampo de 
madeira é apertado de modo que os dois 
blocos estejam sob uma compressão de 
500 N, determine a força no parafuso A. 
(Nota: a força suportada por cada parafuso 
pode ser considerada como atuando na 
direção do parafuso). 
 
 
13) A colocação de um bloco sob a cabeça 
de um martelo, como mostrado, facilita 
muito a extração do prego. Se um puxão 
de 200 N no cabo do martelo for 
necessário para puxar o prego, calcule a 
força trativa T no prego e o valor A da 
força exercida pela cabeça do martelo no 
bloco. As superfícies de contato em A são 
suficientemente ásperas para prevenir 
escorregamento. 
 
14) Um carpinteiro carrega uma tábua 
uniforme que pesa 6 kg, como mostrado. 
Se ele exerce forças verticais na tábua, 
determine as forças em A e B. 
 
15) Que força horizontal P deve exercer um 
trabalhador na corda para posicionar o 
caixote de 50 kg sobre o trailer? 
 
 
16) A mola de módulo K=3,5 kN/m é 
alongada 10 mm quando o centro, O, do 
disco está em sua posição mais à esquerda, 
x = 0. Determine a força trativa T 
necessária para posicionar o centro do 
disco em x = 150 mm. Nessa posição , que 
a força N é exercida sobre a guia 
horizontal com fenda? A massa do disco 
vale 3 kg. 
 
 
 
17) O poste uniforme com 15 m de 
comprimento, massa de 150 kg e está 
apoiado em suas extremidades lisas contra 
as paredes verticais está sustentado por 
uma força trativa T do cabo vertical. 
Calcule as reações em A e B. 
 
18) A barra uniforme AO de 18 kg é 
mantida na posição mostrada pelo pino 
liso em O e pelo cabo AB. Determine a 
força trativa T no cabo.