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1 Introdução: O conceito de tensão Conteúdo Conceito de Tensão Revisão de Estática Diagrama de Corpo Livre da Estrutura Diagrama de Corpo Livre das Componentes Equilíbrio dos Nós Análise de Tensão Análise e Projeto Carga Axial e Tensão Normal Carga Centrada e Carga Excêntrica Tensão de Cisalhamento Exemplo de Tensões de Cisalhamento Tensão de Esmagamento em Conexões Análise de Tensão e Exemplos de Projetos Determinação da Tensão Normal - Barras Tensões de Cisalhamento - Conexões Tensões de Esmagamento - Conexões Tensões em Barras com Duas Força Tensões sobre um Plano Inclinado Tensão Máxima Tensão sob Carregamentos Gerais Estado de Tensão Fator de Segurança Conceito de Tensão • O objetivo principal do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro de maneira simples e lógica os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas que suportam cargas, aplicando alguns princípios fundamentais. • Tanto a análise e desenho de uma determinada estrutura envolvem a determinação de tensões e deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito de Tensão. Revisão de Estática • A estrutura é projetada para suportar uma carga de 30 kN. • Realiza-se uma análise estática para determinar a força interna de cada elemento estrutural e as forças de reação nos apoios. • A estrutura consiste de uma barra com seção transversal retangular e uma barra com seção transversal circular, unidas por pinos (momento igual a zero nas rótulas e junções). Diagrama de Corpo Livre da Estrutura • A estrutura é separada dos apoios e as forças de reação são indicadas. • Ay e Cy não podem ser determinados a partir dessas equações. kN30 0kN300 kN40 0 kN40 m8.0kN30m6.00 yy yyy xx xxx x xC CA CAF AC CAF A AM • Condições para o equilíbrio estático: Diagrama de Corpo Livre das Componentes • Além da estrutura completa, cada componente (barra) deve satisfazer as condições de equilíbrio estático. 0 m8.00 y yB A AM • Considere o diagrama de corpo livre da barra AB: kN30yC Substituindo a equação de equilíbrio na equação anterior, temos • Resultados: kN30kN40kN40 yx CCA As forças de reação são direcionados ao longo do eixo da barra. Equilíbrio dos Nós • A estrutura é separada em duas barras simples, ou seja as barras são submetidas a apenas duas forças que são aplicadas nas extremidades. • Para o equilíbrio, as forças devem ser paralela a um eixo entre os pontos de aplicação de força, igual em magnitude, e em direções opostas. kN50kN40 3 kN30 54 0 BCAB BCAB B FF FF F ⃗ • Os nós devem satisfazer as condições de equilíbrio estático, e as forças podem ser obtidas através do triângulo de forças correspondentes: Análise de Tensão • Conclusão: a estrutura suporta com segurança a carga de 30 kN, uma vez que a tensão solicitante é menor do que a tensão admissível. MPa 165all • A partir das propriedades do material para o aço, a tensão admissível é • A partir de uma análise estática: FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tração) A estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kN? dBC = 20 mm MPa159 m10314 N1050 26- 3 A P BC • Em qualquer seção através da barra BC, a força interna é de 50 kN com uma intensidade de força ou tensão de Análise e Projeto • O projeto de novas estruturas requer a seleção de materiais apropriados e dimensões de componentes que atendam requisitos de desempenho. • Por razões baseadas no custo, peso, disponibi- lidade, etc; a barra BC será construída de alumínio (all = 100 MPa). Qual a escolha apropriada para o diâmetro desta barra? mm2.25m1052,2m1050044 4 m10500 Pa10100 N1050 2 26 2 26 6 3 Ad dA PA A P all all • Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou mais de diâmetro é suficiente. Carga Axial e Tensão Normal • A resultante das forças internas para uma bar- ra axialmente carregada é normal para uma seção de corte perpendicular ao eixo axial da barra. A P A F medA 0 lim • A intensidade da força nessa seção é definida como a tensão normal. • A distribuição real das tensões é estaticamen- te indeterminada, ou seja, não pode ser encon- trada a partir das condições de equilíbrio somente. • A tensão normal em um determinado ponto pode não ser igual à tensão média, mas a resultan- te da distribuição de tensões deve satisfazer: A med dAdFAP Carga Centrada e Carga Excêntrica • A distribuição de tensões em barras excentrica- mente carregadas, não pode ser uniforme ou simétrica. • A distribuição uniforme de tensão em uma seção infere que a linha de ação para a resul- tante das forças internas passa pelo centroide da seção considerada. • A distribuição uniforme de tensão só é possível se a linha de ação das cargas concentradas nas extremidades das seções passarem através do centroide da seção considerada. Este tipo de carregamento é chamado de carga centrada.• Se a barra estiver excentricamente carregada, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força axial aplicada no centroide e um momento conjugado. Tensão de Cisalhamento • Forças P e P’ são aplicadas transversalmente à barra AB. A P med • A tensão média de cisalhamento correspondente é, • A resultante da distribuição da força de cisalha- mento interna é definida no corte da seção e é igual à carga P (força cortante). • Correspondentes forças internas atuam no plano de seção transversal C e são chamadas forças de cisalhamento. • A distribuição da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo que pode ser muito maior do que o valor médio. • A distribuição das tensões de cisalhamento não pode ser considerada uniforme. Exemplo de Tensões de Cisalhamento Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo A F A P med A F A P 2med Tensão de Esmagamento em Conexões • Parafusos, rebites, pinos criam tensões ao longo da superfície de esmagamento, ou de contato, nos elementos que eles se conectam. dt P A P e • A intensidade da força média correspondente é chamada de tensão de esmagamento • A resultante da distribuição de força na superfície é igual e oposta à força exercida sobre o pino. Análise de Tensão e Exemplos de Projetos • Determinar as tensões nas barras e conexões da estrutura mostrada. • A partir de uma análise estática: FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tração) • Deve-se considerar a máxima tensão normal em AB e BC, e a tensão de cisalhamento e tensão de esmagamento em cada conexão. Determinação da Tensão Normal - Barras • A barra está com uma tensão normal devido uma força axial de 50 kN (tração). • A barra AB é comprimida com uma força axial de 40 kN e tensão normal média de 26,7 MPa. • As seções de área mínima nas extremidades, não sofrem tensões devido a compressão da barra. MPa167 m10300 1050 m10300mm25mm40mm20 26 3 , 26 N A P A extBC • Nas extremidades achatadas da barra, a menor área transversal ocorre na linha central do furo, • No centro da barra, a tensão normal média na seção transversal circular (A =314x10-6 m2) é BC = +159 MPa. Tensões de Cisalhamento - Conexões • A área da seção transversal de pinos em A, B e C,26 2 2 m10491 2 mm25 rA MPa102 m10491 N1050 26 3 , A P medC • A força no pino em C é igual à força exercida pela barra BC, o valor médio da tensão de cisalhamento no pino em C é • O pino em A é em cisalhamento duplo com uma força total igual à força exer- cida pela barra AB dividida por dois. MPa7,40 m10491 kN20 26, A P medA (Maior) kN25 kN15 G E P P MPa9,50 m10491 kN25 26, A PG medB • Avaliar a tensão de cisalhamento média correspondente, Tensões de Cisalhamento - Conexões • Divida o pino B em 5 partes para determinar a seção com a maior força cortante, Tensões de Esmagamento - Conexões • Para determinar a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm, MPa3,53mm25mm30 kN40 td P e • Para determinar a tensão de esmagamento no apoio em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm, MPa0,32mm25mm50 kN40 td P e Tensões em Barras com Duas Forças • Vamos mostrar que as forças axiais ou transversais podem produzir tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a um plano que não seja um corte perpendicular ao eixo barra . • Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, provocam apenas tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eixo barra. • Forças transversais agindo em parafusos e pinos provocam apenas tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo do parafuso ou pino. • Passe uma seção através da barra formando um ângulo θ com o plano normal. cos cos cos cos cos 00 2 00 sen A P A Psen A V A P A P A F • As tensões normais e de cisalhamento média sobre o plano inclinado são Tensões sobre um Plano Inclinado PsenVPF cos • Decompondo P em componentes normais e tangenciais à seção oblíqua, • Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas sobre o plano deve ser equiva- lente à força P. • A tensão máxima normal ocorre quando o plano de referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0), 0 0 m A P • A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma inclinação de + 45 º com relação ao eixo da barra, 00 2 45cos45 A Psen A P m Tensão Máxima coscos 0 2 0 sen A P A P • Tensões normais e cisalhantes em um plano inclinado Tensão sob Carregamentos Gerais • Um elemento submetido a uma combinação de cargas em geral é cortado em dois segmentos por um plano que passa por Q • Para o equilíbrio, uma distribuição igual e oposta de forças internas e tensões deve ser exercida sobre o outro segmento do elemento. A V A V A F x z A xz x y A xy x A x limlim lim 00 0 • A distribuição de componentes da tensão interna pode ser definida como, • Componentes de tensão são definidas para os planos cortados paralelamente aos eixos x, y e z. Para o equilíbrio, tensões iguais e opostas são exercidas sobre os planos ocultos. • Segue-se que apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão. • A combinação de forças geradas pela tensão devem satisfazer as condições para o equilíbrio: 0 0 zyx zyx MMM FFF yxxy yxxyz aAaAM 0 xzzxzyyz eSimilar, • Considere os momentos em torno do eixo z: Estado de Tensão Fator de Segurança admissível Tensão limite Tensão segurança deFator all u FS FS Elementos estruturais ou máquinas devem ser concebidos de tal forma que as tensões de trabalho (solicitantes) sejam menores do que a resistência final do material (resistente). Considerações para um fator de segurança: • Incerteza nas propriedades do material • Incerteza de cargas • Incerteza das análises • Número de ciclos de carga • Tipos de falha • Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração • Importância da barra para a integridade de toda estrutura • Risco à vida e à propriedade • Influência sobre a função da máquina 2 Tensão e deformação: Carregamento axial Conteúdo Tensão e Deformação: Carregamento Axial Deformação Normal Teste de Tensão-Deformação Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcte is Diagrama de tensão-deformação: materiais fráge is Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico versus Plástico Fadiga Deformações sob Carregamento Axial Exemplo 2.01 Problema Resolvido 2.1 Indeterminação Estática Exemplo 2.04 Tensão Térmica Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Dilatação: Módulo de Compressibilidade Volumétrica Deformação de Cisalhamento Exemplo 2.10 Relação entre E, e G Problema Resolvido 2.5 Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensão: Furos Concentração de Tensão: Arredondamentos Exemplo 2.12 Materiais Elastoplásticos Deformações Plásticas Tensões Residuais Exemplos 2.14, 2.15, 2.16 Tensão e Deformação: Carregamento Axial • Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura, bem como as tensões induzidas por estas cargas. A análise estática por si só não é suficiente. • Considerando as estruturas como deformáveis e analisando as deformações em seus vários componentes, poderemos calcular as forças estaticamente indeterminadas. • A determinação da distribuição de tensões dentro de um componente também exige a consideração das deformações que ocorrem neste componente. • O Capítulo 2 está preocupado com a deformação de um componente estrutural sob carregamento axial. Nos outros capítulos trataremos de torção e flexão pura. Deformação Normal normal deformação tensão L A P Fig. 2.1 L A P A P 2 2 Fig. 2.3 LL A P 2 2 Fig. 2.4 Teste de Tensão-Deformação Fig 2.7 Esta máquina é utilizada para ensaios de corpos de prova a tração, tais como aqueles mostrados neste capítulo. Fig 2.8 Corpo de prova com carga de tração. Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis Fig 2.1 Diagrama tensão-deformação para um material frágil típico. Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade • Abaixo da tensão de proporcionalidade deElasticida de Módulo ou Young de Módulo E E • Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como resistência, ductilidade, podem ser afetadas pela inclusão de elementos de liga, tratamento térmico e processos de fabricação, mas a rigidez (módulo de elasticidade) não pode ser afetada. Fig 2.16 Diagramas tensão-deformação para o ferro e diferentes tipos de aço. Comportamento Elástico versus Plástico • Se a deformação desaparece quando a tensão é removida, dizemos que o material se comporta elasticamente. • Quando a deformação não retorna a zero após a tensão ser removida, dizemos que o material se comporta plasticamente. • O maior valor de tensão para o qual isso ocorre é chamado de limite elástico do material. Fig. 2.18 Fadiga • Propriedades de fadiga são mostrados no diagrama de σ-n • A medida que a tensão é reduzida, o número de ciclos para provocar a ruptura aumenta até alcançar o limite de resistência à fadiga, que é a tensão para a qual não ocorre falhas. • Um componente estrutural pode falhar devido à fadiga em níveisde tensão significativamente abaixo da resistência última quando sujeitos a muitos ciclos de carga. Fig. 2.21 Deformações sob Carregamento Axial AE P E E • Para a Lei de Hooke: • A definição de deformação específica: L • Transformando e substituindo a equação anterior na equação acima, temos AE PL • Para barras com carregamentos em outros pontos, diversas seções transversais e diferentes materiais, i ii ii EA LP Fig. 2.22 Exemplo 2.01 Determine a deformação da barra de aço mostrada submetida às forças dadas. GPaE 200 SOLUÇÃO: • Divida a barra em componentes de acordo com a aplicação das forças. • Aplique uma análise de corpo livre de cada componente para determinar a força interna. • Avaliar a deformação total da barra. SOLUÇÃO: • Divida a barra em três componentes: 2 21 21 mm 580 mm. 300 AA LL 2 3 3 mm 200 mm. 400 A L • Aplicar a análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas, N10150kN150 N1050kN50 N10300kN300 3 3 3 2 3 1 P P P • Deformação total mm. 2,15 200 31,429 200 400150 580 30050 580 300300 200 1 1 3 33 2 22 1 11 A LP A LP A LP EEA LP i ii ii Problema Resolvido 2.1 A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontos a) B, b) D e c) E. SOLUÇÃO: • Realizar uma análise do corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC. • Avaliar a deformação das barras AB e DC para encontrar os deslocamentos de B e D. • Realize uma análise geométrica para encontrar o deslocamento do ponto E dado os deslocamentos em B e D. Problema Resolvido 2.1 Corpo Livre: Barra BDE compressãoF F traçãoF F M AB AB CD CD B kN60 m2.0m4.0kN300 0M kN90 m2.0m6.0kN300 0 D SOLUÇÃO: Deslocamento do ponto B: m10514 Pa1070m10500 m3.0N1060 6 926- 3 AE PL B mm 514.0B Deslocamento do ponto D: m10300 Pa10200m10600 m4.0N1090 6 926- 3 AE PL D mm 300.0D Problema Resolvido 2.1 Deslocamento do ponto E: mm 7.73 mm 200 mm 0.300 mm 514.0 x x x HD BH DD BB mm 928.1E mm 928.1 mm 7.73 mm7.73400 mm 300.0 E E HD HE DD EE Indeterminação Estática • Estruturas onde as forças internas e as reações não podem ser determinadas apenas por meio da estática, são chamadas de estruturas estaticamente indeterminadas. 0 RL • Deformações devido as forças reais e pela reações redundantes são determinadas separadamente e, em seguida, adicionadas ou superpostas. • Reações redundantes são substituídas por forças desconhecidas que, juntamente com as demais forças, deve produzir deformações compatíveis com as restrições originais. • A estrutura será estaticamente indeterminada sempre que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles necessários para manter seu equilíbrio. Exemplo 2.04 Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra. • Exigir que os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante sejam compatíveis, ou seja, exigir que sua soma seja zero. • Resolver o deslocamento em B devido à reação redundante em B. SOLUÇÃO: • Consideramos a reação em B como redundante e liberamos a barra daquele apoio. A reação Rb é considerada desconhecida. • Resolver a reação em A pelo diagrama de corpo livre da barra, uma vez que se conhece a reação em B. Exemplo 2.04 SOLUÇÃO: • Resolvendo o deslocamento em B devido às forças aplicadas, EEA LP LLLL AAAA PPPP i ii ii 9 L 4321 26 43 26 21 3 4 3 321 10125.1 m 150.0 m10250m10400 N10900N106000 • Resolvendo o deslocamento em B devido à reação redundante, i B ii ii R B E R EA LPδ LL AA RPP 3 21 26 2 26 1 21 1095.1 m 300.0 m10250m10400 • Os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante devem ser compatíveis, kN 577N10577 01095.110125.1 0 3 39 B B RL R E R E Exemplo 2.04 • Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B kN323 kN577kN600kN 3000 A Ay R RF kN577 kN323 B A R R Tensão Térmica • A mudança de temperatura numa barra resulta uma mudança no comprimento da mesma chamada de deformação térmica. Não há tensão associada com a deformação térmica, a menos que o alongamento seja contido pelo apoio. térmicadilatação de ecoeficient AE PLLT PT • Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o princípio da superposição. 0 PT • A deformação térmica e a deformação do apoio redundante devem ser compatíveis. TE A P TAEP AE PLLT 0 MECÂNICA DOS MATERIAIS Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3 Torção Conteúdo Introdução Cargas de Torção em Eixos Circulares Torque Puro Devido a Tensões Internas Componentes de Cisalhamento Axial Deformações em uma Barra de Seção Circu lar Deformações de Cisalhamento Tensões no Regime Elástico Tensões Normais Tipos de Falha por Torção Problema Resolvido 3.1 Ângulo de Torção no Regime Elástico Eixos Estaticamente Indeterminados Problema Resolvido 3.4 Projetos de Eixos de Transmissão Concentração de Tensões Deformações Plásticas Materiais Elastoplásticos Tensões Residuais Exemplos 3.08, 3.09 Torção de Elementos não Circulares Eixos Vazados de Paredes Finas Exemplo 3.10 Introdução • Tensões e deformações de eixos circulares submetidos a pares de torção ou torques • Gerador cria um torque T igual e oposto • Eixo transmite o torque para o gerador • Turbina exerce torque T no eixo Discussão Preliminar das Tensões em uma Barra de Seção Circular. dAdFT • Forças de cisalhamento elementares são equivalentes a um torque interno, igual e oposta ao torque aplicado, • Embora o momento das forças de cislhamento seja conhecido, a distribuição das tensões na seção tranversal não é. • Ao contrário da tensão normal devido à carga axial, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser considerada uniforme. • Distribuição de tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada por isso deve-se considerar as deformações do eixo. Componentes de Cisalhamento Axial • Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo. • Condições de equilíbrio requer a existência de tensões iguais no facesformadas pelos dois planos que contêm o eixo da barra. • As tiras adjacentes deslizam uma em relação à outra, quando torques iguais e opostas são aplicadas nas extremidades da barra. • A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras separadas e fixadas por meio de pinos. • A partir da observação, o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra. L T Deformações em uma Barra de Seção Circular • Quando uma barra circular é submetida à torção, toda seção transversal plana permanece plana e indeformada. • Seções transversais circulares cheias ou vazadas permanecem plana e sem distorções, porque um eixo circular é axissimétrico. • Seções transversais não circulares (não axissimétricas) são distorcidas quando submetidas à torção. Deformações de Cisalhamento • Considerar a seção interna da barra. Como a barra é submetida a um carregamento torcional, o elemento do cilindro interior se deforma em um losango. • A deformação de cisalhamento é proporcional a distância do eixo da barra maxmax e cL c L L ou • Segue-se que • Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planas, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo de torção. Tensões no Regime Elástico J c dA c dAT max2max • Lembre-se que a soma dos momentos das forças elementares internas é igual ao torque no eixo da seção, e max J T J Tc • Os resultados são conhecidos como as fórmulas de torção no regime elástico, • Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade, max G c G max c Da Lei de Hooke, G , assim Tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância radial do eixo da barra. 4 2 1 cJ 414221 ccJ Tensões Normais • Note-se que todas as tensões para os elementos a e c têm a mesma magnitude. • O elemento c é submetido a uma tensão de tração em duas de suas faces e tensão de compressão nas outras duas. • Elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo da barra são submetidos a tensões de cisalhamento apenas. Tensões normais, tensões de cisalhamento ou uma combinação de ambas podem ser encontradas para outras orientações do elemento. max 0 0max 45 0max0max 2 2 245cos2 o A A A F AAF • Considere um elemento a 45o com o eixo da barra, • O elemento a está em cisalhamento puro. Tipos de Falhas por Torção • Materiais dúcteis geralmente falham em cisalhamento. Materiais frágeis falham mais em tração do que em cisalhamento. • Quando submetido à torção, um corpo de prova feito de material dúctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seu eixo longitudinal. • Quando submetido à torção, um material frágil tende a se romper ao longo de planos perpendiculares à direção em que a tensão de tração é máxima, ou seja, ao longo de superfícies em 45º com o eixo longitudinal do corpo de prova. Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e externos de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos AB e CD são sólidos e tem diâmetro d. Para o carrega- mento mostrado, determine (a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 Mpa. Problema Resolvido 3.1 SOLUÇÃO: • Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques. • Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário. • Aplicar as fórmulas de torção elástica para encontrar as tensões mínimas e máximas no eixo BC. Problema Resolvido 3.1 SOLUÇÃO: • Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques. CDAB ABx TT TM mkN6 mkN60 mkN20 mkN14mkN60 BC BCx T TM Problema Resolvido 3.1 • Aplicar as fórmulas de torção elástica para encon- trar as tensões mínimas e máximas no eixo BC. 46 444 1 4 2 m1092.13 045.0060.0 22 ccJ MPa2.86 m1092.13 m060.0mkN20 46 2 2max J cTBC MPa7.64 mm60 mm45 MPa2.86 min min 2 1 max min c c MPa7.64 MPa2.86 min max • Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário. m109.38 mkN665 3 3 2 4 2 max c c MPa c Tc J Tc mm8.772 cd Ângulo de Torção no Regime Elástico • Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima estão relacionados, L c max • No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela Lei de Hooke, JG Tc G maxmax • Igualando as expressões para a tensão de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção JG TL • Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada componente. i ii ii GJ LT • Dadas as dimensões do eixo e o torque aplicado, encontrar as reações aplicadas no eixo devido aos apoios A e B. Eixos Estaticamente Indeterminados • A partir de uma análise de corpo livre do eixo, que não é suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema é estaticamente indeterminado. N.m 120 TT BA N.m 120 12 21 AA TJL JLT • Substitua na equação de equilíbrio original, AB BA T JL JLT GJ LT GJ LT 12 21 2 2 1 1 21 0 • Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformações compatíveis. Problema Resolvido 3.4 Dois eixos cheios de aço estão ligados por engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa, determine (a) o maior torque T0 que pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira. SOLUÇÃO: • Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 . • Encontrar o ângulo de torção correspondente para cada eixo e da rotação angular da extremidade final A. • Encontre o torque máximo permitido em cada eixo, escolha o menor. • Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. Problema resolvido 3.4 • Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. CB CC B C B CCBB r r rr 82,2 mm 22 mm 62 0 0 8,2 mm 620 mm 220 TT TFM TFM CD CDC B SOLUÇÃO: • Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 . MECÂNICA DOS MATERIAIS Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4 Flexão pura Conteúdo Flexão pura Outros Tipos de Carregamento Barra Simétrica em Flexão Pura Deformação em Flexão Pura Deformação Devido à Flexão Tensões e Deformações no RegimeElástico Propriedades das Seções de Vigas Propriedades dos Perfis de Padrão Americano Deformações em uma Seção Transversal Problema Resolvido 4.2 Flexão de Barras Constituídas de Vários Materiais Problema Resolvido 4.3 Vigas de Concreto Armado Problema Resolvido 4.4 Concentração de Tensões Deformações Plásticas Barras Constituídas de Materiais Elastoplásticos Deformações Plásticas de barras com único plano de simetria Tensões Residuais Exemplo 4.05 e 4.06 Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria Exemplo 4.07 Problema Resolvido 4.8 Flexão Assimétrica Exemplo 4.08 Caso geral de carregamento axial excêntrico Flexão Pura Flexão Pura: Elementos prismáticos submetidos a momentos fletores M e M’ iguais e opostos atuando num mesmo plano longitudinal. Outros tipos de carregamento • Princípio da Superposição: combinação entre a tensão normal devido à flexão pura, a tensão normal devido à carga axial e a tensão de cisalhamento devido a força de cisalhamento. • Carregamento excêntrico: A linha da carga axial não passa pelo centróide da seção e produz esforços internos que são equivalentes a uma força de tração axial e um momento. • Carregamento transversal: carga transversal concentrada ou distribuída produz forças internas equivalentes a uma força de cisalhamento e um momento. Barra simétrica em flexão pura • De estática, um momento fletor M é composto de duas forças iguais e opostas. • A soma das componentes das forças em qualquer direção é zero. • O momento fletor é o mesmo em relação à qualquer eixo perpendicular a seu plano e é zero em relação a qualquer eixo contido naquele plano. • Forças internas em qualquer seção transversal são equivalentes ao conjugado M (b). Esforços internos em seção transversal são equivalentes ao conjugado. MdAyM dAzM dAF xz xy xx 0 0 • Expressamos que o sistema das forças elementares atuantes internas é equivalente ao momento fletor M. A distribuição real de tensões é estaticamente indeterminada e pode ser obtida apenas pela análise de deformações. Deformações em flexão pura • a linha AB ao longo da qual a face superior da barra intercepta o plano dos momentos fletores terá curvatura constante. • qualquer seção transversal perpendicular ao eixo da barra permanece plana e o plano da seção passa pelo centro C. • quando M > 0 a linha AB diminui o comprimento enquanto A’B’ aumenta o comprimento. • a superfície neutra mantém o comprimento inalterado e é paralela às superfícies superior e inferior. • tensões e deformações são negativas (compressão) acima do plano neutro e positivas (tração) abaixo. Deformações de elemento prismático com um plano de simetria em flexão pura: • elemento permanece simétrico Deformação devido à flexão Considere um segmento de barra prismática de comprimento L. Após a deformação, o comprimento da superfície neutra permanece L. Em outras seções, mx m m x c y cρc yy L yyLL yL ou e)linearment variao(deformaçã Tensões e deformações no regime elástico • Para um material linear elástico, • Para o equilíbrio estático, dAy c dA c ydAF m mxx 0 0 Momento estático da seção transversal em relação à linha neutra é zero, portanto, a superfície neutra deve passar pelo centro geométrico ou centroide da seção. • Para o equilíbrio estático, I My c y S M I Mc c IdAy c M dA c yydAyM x mx m mm mx doSubstituin 2 e)linearment varia(tensãom mxx c y E c yE Propriedades das seções de vigas • A tensão normal máxima ocorre devido à flexão, aresistênci de módulo inércia de momento c IW I W M I Mc m Quanto maior o módulo de resistência menor é a tensão normal solicitante. • Considere uma viga de seção retangular, Ahbh h bh c IW 61 3 6 1 3 12 1 2 • Os projetos de vigas de aço estrutural propor- cionam valores altos de I e consequentemente de W. Considerando duas vigas com mesma área A de seção transversal, a que tiver altura h maior terá um módulo de resistência maior e, portanto, terá maior capacidade para resistir à flexão. Propriedades dos perfis de padrão ameriacano Deformações em uma seção transversal • Deformação devido ao momento fletor M é quantificado pela curvatura da superfície neutra EI M I Mc EcEcc mm 11 • A seção transversal de uma viga em flexão pura permanece plana, não excluindo a possibilidade de deformações dentro do plano da seção. yy xzxy • Expansão acima da superfície neutra e contração abaixo dela causa uma curvatura no plano, neutra superfície da curvatura 1 Deformações plásticas de barras com único plano de simetria • Deformação totalmente plástica de uma viga com apenas um plano vertical de simetria. • As resultantes R1 e R2 das forças elementares de compressão e de tração formam um binário. R1 = R2 A1s E = A2s E A linha neutra divide a seção transversal em partes de áreas iguais. • O momento plástico para o elemento é: M p = 12 As E( )d • A linha neutra não pode ser considerada coincidente com o eixo que passa pelo centroide da seção transversal quando ela não é simétrica em relação aquele eixo. Tensões Residuais • Zonas plásticas poderão ser desenvolvidas em uma barra constituída de material elastoplástico se o momento fletor for suficientemente grande. • Como a relação linear entre tensão e deformação se aplica em todas os pontos na fase de descarregamento, esta fase pode ser tratada considerando-se que a seção esteja totalmente no regime elástico. • Tensões residuais são obtidas aplicando-se o princípio da superposição para combinar as tensões devidas à carga com um momento M (deformação elastoplástica) e descarga com um momento M’ (deformação elástica). • O valor final da tensão em um ponto não será, em geral, igual a zero. Exemplos 4.05 e 4.06 • Uma barra de seção transversal retangular uniforme é submetida a um momento fletor M = 36,8 kN.m. A barra é feita de um material elastoplástico com uma resistência ao escoamento de 240 MPa e um módulo de elasticidade de 200 GPa. • Determine (a) a espessura do núcleo elástico, (b) o raio de curvatura da superfície neutra. • Após o carregamento ser reduzido a zero, determine (c) a distribuição de tensões residuais, (d) o raio de curvatura. Exemplos 4.05 e 4.06 I c = 23 bc 2 = 23 50´10 -3m( ) 60´10-3m( )2 =120´10-6 m3 ME = I c s E = 120´10 -6 m3( ) 240MPa( ) = 28.8 kN ×m • Momento elástico máximo: • Espessura do núcleo elástico: M = 32 ME 1- 13 yE 2 c2 æ è ç ö ø ÷ 36.8kN ×m = 32 28.8kN ×m( ) 1- 13 yE 2 c2 æ è ç ö ø ÷ yE c = yE 60mm = 0.666 2yE = 80mm • Raio de curvatura: eE = s E E = 240´10 6 Pa 200´109 Pa =1.2´10-3 eE = yE r r = yE eE = 40´10 -3m 1.2´10-3 m3.33 Exemplos 4.05 e 4.06 • M = 36.8 kN.m yE = 40mm s E = 240 MPa • M = -36.8 kN.m ¢s m = Mc I = 36.8kN ×m 120´106 m3 = 306.7MPa < 2s E • M = 0 No limite do núcleo elástico, ex = s x E = -35.5´10 6 Pa 200´109 Pa = -177.5´10-6 r = - yE ex = 40´10 -3m 177.5´10-6 m225 Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria • Os resultados obtidossão válidos somente quando satisfeitas as condições de aplicabilidade da superposição, ou seja, as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do material e a seção transversal onde as tensões são calculadas não devem ser próximas aos pontos D ou E. • Carregamento excêntrico PdM PF • A distribuição de tensões na seção transversal de uma viga sob carregamento axial pode ser considerada uniforme somente quando a linha de ação das cargas passa pelo centróide da seção transversal s x = s x( )centrada + s x( ) flexão = P A - My I Exemplo 4.07 Uma corrente de elos abertos é obtida dobrando-se barras de aço de baixo teor de carbono na forma mostrada. Sabendo-se que a corrente suporta 750 N de carga, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) distância entre o centróide e a linha neutra da seção. SOLUÇÃO: • Encontrar a carga centrada e o momento fletor equivalentes. • Sobrepor a tensão uniforme devido à carga centrada e a tensão linear devido ao momento fletor. • Avaliar as tensões máximas de tração e de compressão da distribuição de tensões superpostas nas bordas interna e externa, respectivamente. • Encontrar o eixo neutro, determinando o local onde a tensão normal é zero. Exemplo 4.07 A = pc2 = p 6´10-3( )2 =1,131´10-4m2 s 0 = P A = 750N 1,131´10-4m2 = 6, 63MPa • Tensão normal devido a uma carga centrada MPa m mmN I Mc m mcI m 73,70 10018,1 10612 10018,1 106 49 3 49 43 4 14 4 1 • Tensão normal devido ao momento fletor • Carga centrada e momento fletor equivalente. P = 750N M = Pd = 750N( ) 0,016m( ) =12N.m Exemplo 4.07 • Tensões máximas de tração e de compressão s t =s 0 +s m = 6, 63+ 70, 73 s c =s 0 -s m = 6, 63- 70, 73 s t = 77,36MPa s c = -64,10MPa • Localização do eixo neutro 0 = P A - My0 I y0 = P A I M = 6, 63´106 N /m( )1, 018´10 -9m4 12N ×m y0 = 0, 56mm Problema resolvido 4.8 As maiores tensões admissíveis para a peça de ferro fundido são de 30 MPa na tração e 120 Mpa na compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada na peça. SOLUÇÃO: • Determinar a carga centrada e o momento fletor equivalente. • Avaliar as cargas críticas para a tração e para a compressão. • A maior carga permitida é a menor das duas cargas críticas. Para o problema resolvido 4.2, 49 23 m10868 m038.0 m103 I Y A • Sobrepor as tensões devido a uma carga centrada e devido ao momento fletor. Problema resolvido 4.8 • Determinar a carga centrada equivalente e o momento fletor. d = 0.038- 0.010 = 0.028m P =carga centrada M = Pd = 0.028P = momento fletor • Avaliar as cargas críticas de tensões admissíveis. kN0.77MPa1201559 kN6.79MPa30377 PP PP B A kN 0.77P• A maior carga admissível • Sobrepor tensões devido a cargas centrada e momento fletor PPP I Mc A P PPP I Mc A P A B A A 1559 10868 022.0028.0 103 377 10868 022.0028.0 103 93 93 Flexão assimétrica • Análise da flexão pura tem sido limitada a barras submetidas a momentos fletores atuando em um plano de simetria. • Vamos agora considerar que os momentos fletores não atuam em um plano de simetria da barra. • Em geral, o eixo neutro da seção não coincide com a direção do momento. • Não se pode considerar que a barra será flexionada no plano dos momentos. • A linha neutra coincide com o vetor do momento. • Barras permanecem simétricas em relação ao plano de simetria e flexionadas naquele plano. Flexão assimétrica A proposta é determinar as condições sob as quais a linha neutra de uma seção transversal de forma arbitrária coincida com a direção do momento M representando os esforços que atuam naquela seção. • o vetor momento fletor M deve estar direcionado ao longo de um dos eixos principais da seção transversal. 0 =M y = zs x dAò = z - ycs m æ è ç ö ø ÷dAò ou 0 = yzdAò = Iyz = produto de inércia • As forças internas elementares formadoras do sistema equivalente ao momento M, devem satisfazer: Fx = 0 =M y M z =M =momento aplicado • eixo neutro passa através do centróide 0 = Fx = s x dAò = - ycs m æ è ç ö ø ÷dAò ou 0 = ydAò • definir a distribuição de tensões M =M z = - y - y c sm æ è ç ö ø ÷dAò Ou M = �m I c I = Iz = momento deinércia Flexão assimétrica • O Princípio da superposição pode ser usado para determinar tensões no caso mais geral de flexão assimétrica. • A distribuição das tensões provocada pelo momento M original é obtida pela superposição das distrinuições de tensão: y y z z x I yM I yM • Decompondo o vetor momento em relação aos eixos principais, temos: MsenMMM yz cos • Ao longo do eixo neutro, tantan cos0 y z yzy y z z x I I z y I yMsen I yM I yM I yM Exemplo 4.08 Um momento de 180 N.m é aplicado a uma viga de madeira retangular em um plano que forma um ângulo de 30 graus com a vertical. Determine (a) atensão máxima na viga, (b) o ângulo que o eixo neutro forma com o plano horizontal. SOLUÇÃO: • Decompor o vetor momento em componentes ao longo dos eixos principais e calcular as tensões máximas correspondentes. MsenMMM yz cos • Determinar a máxima tensão de tração provocada pela carga combinada. y y z z x I zM I yM • Determine o ângulo da superfície neutra com o plano horizontal. tantan y z I I z y Exemplo 4.08 • Decompor o vetor momento e calcular as tensões máximas correspondentes aos componentes. MPa m mmN I zM ADMA MPa m mmN I yM ABMA mmmI mmmI mNemNM mNmNM y y y z z z y z y z 2,4 10.41,0 019,090 : de longo ao ocorre por provocada traçãode ãomaior tens 0,3 10.31,2 045,0156 : de longo ao ocorre por provocada traçãode ãomaior tens 10.41,0038,0090,0 10.31,2090,0038,0 9030ns180 15630cos180 462 461 463 12 1 463 12 1 • A maior tensão de tração provocada pela carga combinada ocorre em A. smax =s1 +s 2 = 3,0+ 4, 2 smax = 7, 2MPa Exemplo 4.08 • Determine o ângulo do eixo neutro. tanj = Iz Iy tanq = 2,31.10 -6 m4 0, 41.10-6 m4 tan30o = 3, 25 j = 72.9o Caso geral de carregamento axial excêntrico • Considere um elemento reto AB submetido a forças axiais centradas iguais e opostas. • Pelo princípio da superposição, a tensão provocada pelo carregamento é: y y z z x I zM I yM A P • Se o eixo neutro se encontra na seção, ele pode ser encontrado a partir de: A Pz I M y I M y y z z • A força excêntrica é equivalente ao sistema de uma força centrada e dois momentos. P = força centrada M y = Pa M z = Pb Problema resolvido 4.2 SOLUÇÃO: • Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centroide e momento de inércia. 2dAII A AyY x • Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. I Mc m • Calcular a curvatura EI M 1 A peça de máquina de ferro fundido é atendida por um momento M = 3 kN m. Sabendo-seque o módulo de elasticidade E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos adoçamentos, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura. Problema resolvido 4.2 SOLUÇÃO: Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia. mm 38 3000 10114 3 A AyY 3 3 3 32 101143000 104220120030402 109050180090201 mm ,mm ,mm Area, AyA Ayy 49-43 23 12 123 12 1 23 12 12 m10868 mm10868 18120040301218002090 I dAbhdAIIx Problema resolvido 4.2 • Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. 49 49 m10868 m038.0mkN 3 m10868 m022.0mkN 3 I cM I cM I Mc B B A A m MPa 0.76A MPa 3.131B • Calcular a curvatura 49- m10868GPa 165 mkN 3 1 EI M m 7.47 m1095.201 1-3 Flexão de Barras Constituidas de Vários Materiais • Deformação normal varia linearmente. yx • Tensões normais variam linearmente yEEyEE xx 222111 • Eixo neutro não passa pelo centroide da sessão composta. • As forças que atuam no elemento são: dAyEdAdFdAyEdAdF 222111 • Considere uma barra composta por dois materiais E1 e E2. xx x n I My 21 1 211 2 E EndAnyEdAynEdF • Definir uma seção transformada de tal forma que: Problema Resolvido 4.3 SOLUÇÃO: • Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. • Avaliar as propriedades da seção transversal da barra transformada. • Calcular a tensão máxima na seção transformada. Esta é a tensão máxima correta para a parte de latão da barra. • Determine a tensão máxima na parte de aço do barra, multiplicando a tensão máxima para a seção transformada pela razão entre os módulos de elasticidade. Uma barra feita da união de duas peças de aço (Eaço = 203GPa) e latão (Elatão = 105 GPa). Determinar a tensão máxima no aço e no latão, quando um momento M= 4,5 KN.m estiver aplicado. Problema Resolvido 4.3 • Calcular o momento de inércia da seção trasformada. 4631213121 m 10.2m 0,076m 567,0 hbI T SOLUÇÃO: • Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. mm 7,36)933.1.( mm 19 933.1 GPa 105 GPa 203 T latão aço b E E n • Calcular as tensões máximas MPa 5,85 m 2.10 m 038,0KN 5,4 46- I Mc m MPa 85,5 933,1 max max maço mlatão n MPa) ,5(1,933)(85 MPa 5,85 max max aço latão Vigas de Concreto Armado • Vigas de concreto submetida a momentos fletores são reforçadas por barras de aço. • Para determinar a localização do eixo neutro, 0 0 2 2 2 1 dAnxAnxb xdAnxbx ss s • As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra. A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão. • Na seção transformada, a área transversal do aço, As, passa a ter a área equivalente nAs onde n = Es/Ec. • As tensão normais no concreto e no aço xsxc x n I My Problema resolvido 4.4 SOLUÇÃO: • Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. • Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. • Calcular as tensões máximas no concreto e no aço. •A laje de piso de concreto é reforçada com barras de aço 16 mm de diâmetro. O módulo de elasticidade é de 205 GPa para o aço e 25 GPa para o concreto. Com um momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a cada 300mm de largura da laje, determinar a tensão máxima no concreto e no aço. Problema resolvido 4.4 • Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. 462331 mm 10.15,181,37100329637,1300 mm 37,101003296 2 300 I xxxx SOLUÇÃO: • Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. 22 s mm 3296)mm 8,2.(402nA 8,2 GPa 25 GPa 205 c s E En • Calcular as tensões máximas. s c = Mc1 I = 4500KN.m´37,1mm 18,15´106mm4 s s = n Mc2 I = 8, 2 (4500KN.m)(62, 9mm) 18,15´106mm4 s c = 9, 2MPa s s =127, 9MPa Concentração de Tensão Concentrações de tensão pode ocorrer : • nas proximidades dos pontos onde as cargas são aplicadas I McKm • nas proximidades de mudanças abruptas na seção transversal Deformações Plásticas • No caso de elemento que possui planos de simetria vertical e horizontal, composto de material caracterizado pela mesma relação tensão-deformação em tração e em compressão a linha neutra coincidirá com a linha de simetria horizontal da seção. • Para qualquer elemento submetido à flexão pura a tensão varia linearmente com a deformação: mx c y • Se o elemento é feito de um material elástico linear, a linha neutra passa pelo centroide da seção e I My x • Para um material com uma curva de tensão- deformação não-linear, a localização da linha neutra é encontrada através da expressão: dAyMdAF xxx 0 Deformações Plásticas • O valor máximo do momento fletor, Ml, provoca falha do elemento. Esse valor pode ser determinado quando a tensão máxima é igual à resistência última do material. • RB pode ser usado para determinar o limite de momento fletor, Ml, de qualquer elemento feito do mesmo material e com uma seção transversal da mesma forma, mas com dimensões diferentes. • O módulo de ruptura em flexão, RB , é encontrado a partir de um valor determinado experimentalmente de Ml considerando uma distribuição linear fictícia de tensões. RB = M lc I Barras Constituídas de Material Elastoplástico • Barra retangular em flexão feita de um material elastoplástico s x £s E s m = Mc I s m =s E ME = I c sY = momento elástico máximo • A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas plásticas expandem-se até que, no limite, a deformação é totalmente plástica. elástico núcleo do espessura da metade 1 2 2 3 1 2 3 E E E yc yMM • A medida que yE se aproxima de zero, o momento fletor se aproxima do valor limite. M p = 32 ME = momento plástico k = M p ME = fator de forma (depende apenas da forma da seção) MECÂNICA DOS MATERIAIS Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 Análise e projeto de vigas em flexão Conteúdo Introdução Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor Problema Resolvido 5.1 Problema Resolvido 5.2 Relações entre Força Cortante e Momento Fletor Problema Resolvido 5.3 Problema Resolvido 5.5 Projeto de Vigas Prismáticas em Flexão Problema Resolvido 5.8 Introdução • Vigas - elementos estruturais que suportam forças em vários pontos ao longo do elemento. • Objetivo – Análise e projeto de vigas. • Carregamentos transversais de vigas são classificados como forças concentradas ou como forças distribuídas. • Forças aplicadas resultam em forças internas consistindo de força cortante que provoca tensões de cisalhamento e momento fletor que provoca tensões normais. • Tensões normais dependem somente do valor do momento fletor e da geometria da seção. S M I cM I My mx Requer adeterminação da localização da distância entre a linha neutra e ponto onde se deseja a tensão. Introdução Classificação das vigas de acordo com seus apoios. Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor • Determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do momento fletor exige a identificação da força e do momento fletor na seção solicitada. • Força cisalhante e momento fletor em um ponto são determinadas pela passagem de um corte na seção de aplicação e uma análise de equilíbrio nas partes de cada lado do corte. • Existe convenção para as forças de cisalhamento V e V’ e o par de momento M e M’ Problema Resolvido 5.1 Para a viga de madeira com o carregamento mostrado, trace os diagramas de força cortante e momento fletor e determine a tensão máxima provocada pelo momento fletor. SOLUÇÃO: • Considerar a viga inteira como um corpo rígido, determinar as reações de apoio. • Identificar a seção onde ocorre o máximo momento fletor. • Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima correspondente. • Aplicar análise de equilíbrio no corpo livre para determinar as forças de cisalhamento interna e o momento fletor atuante. Problema Resolvido 5.1 SOLUÇÃO: • Considerar a viga inteira como um corpo rígido, determinar as reações de apoio kN14kN46:0 para DBBy RRMF • Análise de equilíbrio do corpo livre: 00m0kN200 kN200kN200 111 11 MMM VVFy mkN500m5.2kN200 kN200kN200 222 22 MMM VVFy 0kN14 mkN28kN14 mkN28kN26 mkN50kN26 66 55 44 33 MV MV MV MV Problema Resolvido 5.1 • Identificar a seção onde ocorre o máximo momento fletor. mkN50kN26 Bmm MMV • Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima correspondente. 36 3 36 2 6 12 6 1 m1033.833 mN1050 m1033.833 m250.0m080.0 S M hbS B m Pa100.60 6m Problema Resolvido 5.2 A estrutura apresentada é construída de uma viga de aço perfil W250 x167 e dois membros curtos soldados entre si e a viga. (a) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga com o carregamento dado. (b) determinar a tensão normal máxima nas seções à direita e à esquerda do ponto D. SOLUÇÃO: • Substitua a força de 45 kN por um sistema equivalente de força e momento em D. Encontrar as reações em B, considerando a viga como um corpo livre. • Realizar análise de equilíbrio nas seções da viga em pontos próximos do apoio e pontos de aplicação de carga resultando o corpo livre para determinar as forças de cisalhamento interna e o momento fletor. • Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima à esquerda e à direita do ponto D. Problema Resolvido 5.2 SOLUÇÃO: • Substitua a carga de 45 kN por um sistema equivalente de força e momento em D. Encontrar as reações em B. • Nas seções da viga aplicar análises de equilíbrio no resultado do corpo livre. mkN5,220450 kN450450 : 2 2 1 1 xMMxxM xVVxF CparaADe y mkN1086,12902,11080 kN10801080 : 2 xMMxM VVF DparaCDe y mkN1531,305kN153 : xMV BaDDe Problema Resolvido 5.2 • Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima à esquerda e à direita do ponto D. Do Apêndice C para uma viga de aço do tipo W250 x167, W = 2080 x 103 mm3 em relação ao eixo X-X. MPa96 mm102080 mmN108,199 : MPa109 mm102080 mmN108,226 : 33 6 33 6 W M DdedireitaÁ W M DdeesquerdaÁ m m Relações entre Força Cortante e Momento Fletor xwV xwVVVFy 0:0 D C x x CD dxwVV w dx dV • Relações entre força e força cortante: 22 1 0 2 :0 xwxVM xxwxVMMMMC D C x x CD dxVMM V dx dM • Relações entre força cortante e momento fletor: Problema Resolvido 5.3 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. SOLUÇÃO: • Considerando a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. • Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. • Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. Problema Resolvido 5.3 SOLUÇÃO: • Considerando a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. kN83 kN60kN125kN54kN940 0F kN125 m4,8kN60m2,4kN54m8,1kN94m2,70 0 y y y A A A D D M • Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. dxwdVw dx dV - inclinação zero entre as forças concentradas. - variação linear ao longo do segmento da força distribuída. Problema Resolvido 5.3 - O momento fletor em A e E é igual a zero. - O somatório total de momento fletor em qualquer ponto da viga tem que ser zero. - Onde o diagrama de força cortante passa pelo zero neste ponto haverá momento fletor máximo. - variação do momento fletor entre D e E é quadrática. - variação do momento fletor entre A, B, C e D é linear. dxVdMV dx dM • Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. Problema Resolvido 5.5 Esboce os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga em balanço mostrada. SOLUÇÃO: • Considerando a viga inteira como um corpo livre, determinar as reações em C.• Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. • Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. Problema Resolvido 5.5 SOLUÇÃO: • Considerando a viga inteira como um corpo livre, determinar as reações em C. 33 0 0 02 1 02 1 02 1 02 1 aLawMMaLawM awRRawF CCC CCy Resultados da integração das distribuições de força e força cortante devem ser equivalentes. • Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. forçadecurvaasobáreaawV a xxwdx a xwVV B aa AB 02 1 0 2 0 0 0 2 1 - Nenhuma força cortante entre B e C. - Compatível com a análise do corpo livre. Problema Resolvido 5.5 • Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. 2 03 1 0 32 0 0 2 0 622 awM a xxwdx a xxwMM B a a AB 32 3 006 1 02 1 02 1 aLwaaLawM aLawdxawMM C L a CB Resultados em C são compatíveis com a análise do corpo livre. Projeto de Vigas Prismáticas em Flexão • Entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência aceitável, aquela com o menor peso por unidade de comprimento portanto a menor área de seção transversal será menos cara e a melhor escolha. • A maior tensão normal é encontrada na superfície onde omomento máximo de flexão ocorre. W M I cM m maxmax • Um projeto seguro requer que a tensão máxima normal seja inferior à tensão admissível do material utilizado. Este critério leva à determinação do mínimo módulo de resistência à flexão aceitável. adm admm M W max min Problema Resolvido 5.8 • A viga de aço simplesmente apoiada, deve suportar as forças distribuídas e concentradas mostradas. Sabendo que a tensão normal admissível para a classe de aço a ser utilizado é de 160 MPa, selecione o perfil de mesa larga que deve ser usado. SOLUÇÃO: • Considerando-se a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. • Desenvolver o diagrama de força cortante para a viga. A partir do diagrama, determine o momento fletor máximo. • Determine o módulo de resistência mínimo aceitável para a seção da viga. Escolha a melhor seção padrão que atenda a este critério. Problema Resolvido 5.8 • Considerando-se a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. kN0.52 kN50kN60kN0.580 kN0.58 m4kN50m5.1kN60m50 y yy A A AF D DM • Desenvolver o diagrama de força cortante e determinar o momento fletor máximo. kN8 kN60 kN0.52 B AB yA V adistribuídforçadecurvaasobáreaVV AV • Momento fletor máximo ocorre quando V = 0 ou x = 2.6 m. kN EeAentrecortanteforçadacurvaasobáreaM 6.67 max Problema Resolvido 5.8 • Determine o módulo de resistência da seção mínimo aceitável. 33 adm mmm MPa160 mkNMW 36 max min 105.422105.422 6.67 • Escolha a melhor seção padrão que atenda a este critério. 9.32360W MECÂNICA DOS MATERIAIS Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 6 Tensões de cisalhamento em vigas e elementos de parede fina Conteúdo Introdução Força Cortante na Face Horizontal de um Elemento de Viga Exemplo 6.01 Determinação das Tensões de Cisalhamento em uma Viga Tensões de Cisalhamento xy em Tipos Comuns de Vigas Discussões Adicionais sobre Distribuição de Tensões em uma Viga Retangular Estreita Problema Resolvido 6.2 Cisalhamento Longitudinal em um Elemento de Viga de modo Arbitrário Exemplo 6.04 Tensões de Cisalhamento em Barras de Paredes Finas Deformações Plásticas Problema Resolvido 6.3 Carregamento Assimétrico em Barras de Paredes Finas Exemplo 6.05 Exemplo 6.06 Introdução MyMdAF dAzMVdAF dAzyMdAF xzxzz xyxyy xyxzxxx 0 0 00 • A distribuição de tensões normais e de cisalhamento satisfazem • Carregamento transversal aplicado em uma viga resultará em tensões normais e de cisalhamento nas seções transversais. • Cisalhamento longitudinal deve existir em qualquer elemento submetido a uma carga transversal. • Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de um elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces horizontais. Força Cortante na Face Horizontal de um Elemento de Viga • Considere a viga prismática • Para o equilíbrio do elemento de viga A CD A CDx dAy I MMH dAHF 0 xVx dx dMMM dAyQ CD A • Nota, tocisalhamendefluxo I VQ x Hq x I VQH • Substitutindo, Força Cortante na Face Horizontal de um Elemento de Viga • onde elemento do totalárea da inércia de momento . de acima área da estático momento ' 2 AA 1 A dAyI y dAyQ • Mesmo resultado encontrado para área inferior HH QQ q I QV x Hq neutro eixo do respectivo estático momento 0 tocisalhamendefluxo I VQ x Hq • Fluxo de cisalhamento, Exemplo 6.01 Uma viga é feita de três pranchas, pregadas juntas. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25 mm e que o cisalhamento vertical da viga é V = 500 N, determine a força cortante em cada prego. SOLUÇÃO: • Determine a força horizontal por unidade de comprimento ou o fluxo de cisalhamento (q) na superfície inferior da prancha superior. • Calcular a força cortante correspondente em cada prego. Exemplo 6.01 46 2 3 12 1 3 12 1 36 m1020.16 ]m060.0m100.0m020.0 m020.0m100.0[2 m100.0m020.0 m10120 m060.0m100.0m020.0 I yAQ SOLUÇÃO: • Determine a força horizontal por unidade de comprimento ou o fluxo de cisalhamento (q) na superfície inferior da prancha superior. m N3704 m1016.20 )m10120)(N500( 46- 36 I VQq • Calcular a força de cisalhamento correspondente em cada prego para um espaçamento de 25 mm. mNqF 3704)(m025.0()m025.0( N6.92F Determinação das Tensões de Cisalhamento em uma Viga • A tensão de cisalhamento média na face horizontal do elemento é obtido dividindo a força de cisalhamento no elemento pela área da face. It VQ xt x I VQ A xq A H méd • Se a largura da viga é relativamente pequena comparável com a altura, o corte resulta em D1 e D2 significativamente maiores do que em D. • Nas superfícies superior e inferior da viga, yx= 0. Segue-se que xy= 0 nas bordas superior e inferior das seções transversais. Tensões de Cisalhamento xy em Tipos Comuns de Vigas • Para uma viga retangular estreita, A V c y A V Ib VQ xy 2 3 1 2 3 max 2 2 • Para vigas do tipo I (padrão americano) e tipo W (viga de mesas largas) alma máx méd A V It VQ Discussões Adicionais sobre Distribuição de Tensões em uma Viga Retangular Estreita • As tensões de cisalhamento são independentes da distância do ponto de aplicação da carga. • As tensões normais dependem das condições de extremidade. 2 2 1 2 3 c y A P xy I Pxy x • Considere uma viga estreita em balanço de seção retangular submetida a carga P em sua extremidade livre: • Do princípio de Saint-Venant, os efeitos do modo de aplicação da carga são desprezíveis, exceto nas imediações dos pontos de aplicação da carga. • As deformações de cisalhamento devido a cargas distribuídas são insignificantes para as seções típicas da viga em estudo. Problema Resolvido 6.2 Uma viga de madeira deve suportar três forças concentradas mostradas. Sabendo que para o tipo de madeira utilizada, MPa82,0MPa12 admadm determinar a altura d mínima necessária para a viga. SOLUÇÃO: • Desenvolver diagramas de força cortante e momento fletor. Identificar os valores máximos. • Determinar a altura da viga com base na tensão normal admissível. • Determinar a altura da viga com base na tensão de cisalhamento admissível. • Altura da viga exigida é igual à maior das duas alturas encontradas. Problema Resolvido 6.2 SOLUÇÃO: Desenvolver diagramas de força cortante e momento fletor. Identificar os valores máximos mkN25,11 kN15 max max M V Problema Resolvido 6.2 2 2 6 1 2 6 1 3 12 1 015,0 m090,0 d d db c IW dbI • Determinar a alturada viga com base na tensão normal admissível. m25,0 015,0 mkN25,11kN10 12 2 3 max d d W M adm • Determinar a altura da viga com base na tensão de cisalhamento admissível. m30,0 m0,090 kN15 2 3kN/m1082,0 2 3 23 max d d A V adm • Altura da viga exigida é igual ao maior dos dois valores. mm300d Cisalhamento Longitudinal em um Elemento de Viga de modo Arbitrário • Já examinamos a distribuição das componentes verticais xy em uma seção transversal de uma viga. Vamos agora considerar as componentes horizontais xz das tensões. • Exceto para as diferenças nas áreas de integração, este é o mesmo resultado obtido antes o que leva a I VQ x Hqx I VQH • Considere a viga prismática com um elemento definido pela superfície CDD’C’. a dAHF CDx 0 Exemplo 6.04 Uma viga caixão quadrada é construída a partir de quatro tábuas, como mostrado. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 45 mm e a viga está submetida a um cisalhamento vertical de magnitude V = 2,7 kN, determine a força cortante em cada prego. SOLUÇÃO: • Determinar a força de cisalhamento por unidade de comprimento ao longo de cada borda da prancha superior. • Baseado no espaçamento entre pregos, determinar a força de cisalhamento em cada prego. MECÂNICA DOS MATERIAIS Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7 Transformações de tensão e deformação Conteúdo Introdução Transformação do Estado Plano de Tensão Tensões Principais Tensão de Cisalhamento Máxima Exemplo 7.01 Problema Resolvido 7.1 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensão Exemplo 7.02 Problema Resolvido 7.2 Estado Geral de Tensão Aplicação do Círculo de Mohr na Análise Tridimensional da Tensão Critérios de Escoamento para Materiais Dúcteis em Estado Plano de Tensão Critério de Fratura para Materiais Frágeis em Estado Plano de Tensão Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas Transformação do Estado Plano de Deformação Círculo de Mohr para o Estado Plano de Deformação Análise Tridimensional de Deformação Medidas de Deformação Específica e Rosetas de Deformação Introdução • O estado mais geral de tensão em um ponto pode ser representado por seis componentes, ),, :(Note scisalhante tensões,, normais tensões,, xzzxzyyzyxxy zxyzxy zyx • O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto diferente de componentes se os eixos são girados. • A primeira parte do capítulo está preocupada com a forma como as componentes de tensão são transformadas quando ocorre uma rotação dos eixos de coordenadas. A segunda parte do capítulo é dedicado a uma análise semelhante da transformação das componentes de deformação. Introdução • Estado plano de tensão também ocorre na superfície livre de um elemento estrutural ou componente de máquina, ou seja, em qualquer ponto da superfície que não esteja submetido a uma força externa. • Plano de tensão - estado de tensão em que duas faces do elemento de volume estão livres de qualquer tensão. Para o exemplo ilustrado, o estado de tensão é definido por .0,, e xy zyzxzyx • Estado plano de tensão ocorre em uma placa fina submetida a forças que atuam no plano médio da espessura da placa. Transformação do Estado Plano de Tensão senAsenAsen AsenAAF AsensenAsen senAAAF xyy xyxyxy xyy xyxxx cos coscoscos0 cos coscoscos0 • Considerar as condições para o equilíbrio de um elemento prismático com faces perpendicular aos eixos x, y, e x’. 2cos2 2 22cos 22 22cos 22 xy yx yx xy yxyx y xy yxyx x sen sen sen • As equações podem ser reescritas para produzir Tensões Principais • As equações anteriores são combinadas para produzir equações paramétricas de um círculo, 2 2 222 22 onde xy yxyx méd yxmédx R R • Tensões principais ocorrem nos planos principais de tensões onde o cisalhamento é zero. o 2 2 minmax, 90por defasados ângulos dois define :Note 2 2tan 22 yx xy p xy yxyx Tensão de Cisalhamento Máxima Tensão de cisalhamento máxima ocorre para médx 2 45por principais planos dos defasados e 90por defasados ângulos dois define :Note 2 2tan 2 o o 2 2 max yx méd xy yx s xy yxR Exemplo 7.01 Para o estado plano de tensão mostrado, determine (a) os planos principais, (b)as tensões principais, (c) a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente. SOLUÇÃO: • Encontrar a orientação do elemento para as tensões principais de yx xy p 2 2tan • Determine as tensões principais 2 2 minmax, 22 xy yxyx • Calcule a tensão de cisalhamento máxima com 2 2 max 2 xy yx 2 yx Fig. 7.13 Exemplo 7.01 SOLUÇÃO: • Encontrar a orientação do elemento para as tensões principais de 1.233,1.532 333.1 1050 40222tan p yx xy p 6.116,6.26p • Determine as tensões principais 22 2 2 minmax, 403020 22 xy yxyx MPa30 MPa70 min max MPa10 MPa40MPa50 x xyx Fig. 7.13 Fig. 7.14 Exemplo 7.01 2 1050 2 yxméd • A tensão normal correspondente é MPa20 • Calcule a tensão de cisalhamento máxima com 22 2 2 max 4030 2 xy yx MPa50max 45 ps 6.71,4.18s MPa10 MPa40MPa50 x xyx Fig. 7.13 Fig. 7.16 Problema Resolvido 7.1 Uma única força horizontal P de 670 N de magnitude é aplicada a extremidade D da alavanca ABD. Determine (a) as tensões normal e de cisalhamento em um elemento no ponto H com lados paralelos aos eixos x e y, (b) os planos e tensões principais no ponto H. SOLUÇÃO: • Determine um sistema de força e momento equivalentes no centro da seção transversal que passa por H. • Avaliar as tensões normais e de cisalhamento em H. • Determinar os planos principais e calcular as tensões principais. Problema Resolvido 7.1 SOLUÇÃO: • Determine um sistema de força e momento equivalentes no centro da seção transversal que passa por H. mN5,167m25,0N670 mN2,308m46,0N670 N670 xM T P • Avaliar as tensões normais e de cisalhamento em H. 421 4 4 1 m015,0 m015,0mN2,308 m015,0 m015,0mN5,167 J Tc I Mc xy y MPa1,58MPa2,630 yyx Problema Resolvido 7.1 • Determinar os planos principais e calcular as tensões principais. 5,118,5,612 84,1
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