an sinais cap7

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7 – Séries de Fourier 
 
 
 
7.1 – Introdução à Análise de Fourier 3 
7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos 5 
7.3 – Teorema de Fourier 6 
 Exemplo 7.1 7 
7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier 13 
7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos 17 
 Exemplo 7.2 19 
7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier 21 
7.7 – Propriedades da Série de Fourier para sinais contínuos 23 
 Linearidade 23 
 Translação no tempo (“time shifting”) 24 
 Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 25 
 Escalonamento no tempo (“time scaling”) 26 
 Multiplicação 27 
 Conjugação 27 
 Translação na frequência (“frequency shifting”) 28 
 Convolução no período 29 
 Derivada 30 
 Integral 30 
 Relação de Parseval 31 
7.8 – Série trigonometria de Fourier para sinais discretos 31 
 Exemplo 7.3 34 
 Exemplo 7.4 40 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
2 
 
 
 
 Exemplo 7.5 43 
 Exemplo 7.6 44 
 Exemplo 7.7 46 
7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos 47 
 Linearidade 47 
 Translação no tempo (“time shifting”) 48 
 Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 49 
 Escalonamento no tempo (“time scaling”) 49 
 Multiplicação 50 
 Conjugação 51 
 Translação na frequência (“frequency shifting”) 52 
 Convolução no período 53 
 Primeira diferença 53 
 Soma acumulada 54 
 Relação de Parseval 55 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Séries de Fourier 
 
 
7.1 – Introdução à Análise de Fourier 
 
 
Neste capítulo e no próximo estudaremos a Análise de Fourier (também chamada de 
Análise Harmónica), que diz respeito à representação de sinais como uma soma (ou 
melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e co-senos, ou 
exponenciais complexas. 
 
A série de Fourier, assim como a transformada de Fourier, são as importantes contri-
buições do matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). 
 
 
Fig. 7.1 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
4 
A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequên-
cia (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processa-
mento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística as-
sim como em muitas outras áreas. 
 
Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas 
para resolverem problemas diversos da Física: suíço Leonhard Euler (1707-1783), o 
francês Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-
1782). 
 
Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas 
para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “Mémoire 
sur la théorie de la chaleur”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com 
grande formalismo. 
 
Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos: o alemão Johann Peter Gustav 
Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann 
(1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e precisão. 
 
 
 
Fig. 7.2 – Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada). 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
5 
7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos 
 
 
Considere um sinal periódico contínuo x(t) ∈ R {conjunto dos números reais}, ∀ t. 
O sinal x(t) pode ser expresso como: 
 
 
( ) ( )[ ]∑
∑
∞
=
∞
=
ω⋅+ω⋅+=
=











⋅
pi
⋅+





⋅
pi
⋅+=
1k
okok
0
1k
kk
0
tksenbtkcosa
2
a
tk
T
2
senbtk
T
2
cosa
2
a)t(x
 eq. (7.1) 
 
onde: 
 
T = período fundamental do sinal x(t), 
ωo = frequência fundamental do sinal x(t), 
 
 
 ( )∫
∫
ω⋅=
=





⋅
pi
⋅=
T
o
T
k
dttkcos)t(x
T
2
dttk
T
2
cos)t(x
T
2
a
 k = 0, 1, 2, … eq. (7.2) 
 
 
 
( )∫
∫
ω⋅=
=





⋅
pi
⋅=
T
o
T
k
dttksen)t(x
T
2
dttk
T
2
sen)t(x
T
2b
 k = 1, 2, … eq. (7.3) 
 
sendo que as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do período T do sinal 
periódico x(t). 
 
Observe que existe ao na série ak [eq. (7.2)], mas não existe bo na série bk [eq. (7.3)]. 
 
Além disso, ao (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-
cada pois, como 
 
( )
 0, k para,1tkcostk
T
2
cos o ==ω=





⋅
pi
 
então, 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
6 
∫ ⋅=
T
o dt)t(xT
2
a
 
 
ou seja, ao de certa forma representa um valor médio do sinal x(t) no intervalo de um 
período T. 
 
Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier pois contém termos 
com senos e co-senos. 
 
A equação eq. (7.1) acima é conhecida como a 
 
“equação de síntese” 
 
e as equações eq. (7.2) e eq. (7.3) são conhecidas como as 
 
 “equações de análise” 
 
da série trigonométrica de Fourier. Os ak’s e os bk’s são chamados de coeficientes da 
série trigonométrica de Fourier. 
 
 
 
7.3 – Teorema de Fourier 
 
 
Definição 7.1: x(t) é um sinal seccionalmente contínuo (ou, também chamado de 
“contínuo por partes”) se x(t) tem um número limitado de descontinuidades em qual-
quer intervalo limitado. 
 
 
Fig. 7.3 – Um sinal seccionalmente contínuo. 
 
 
Definição 7.2: x(t) é um sinal seccionalmente diferenciável se ambos x(t) e sua deri-
vada x’(t) forem sinais seccionalmente contínuos. 
 
Com estas definições podemos agora ver o Teorema de Fourier que estabelece os 
tipos de sinais que podem ser aproximados pela série de Fourier. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
7 
Teorema 7.1 (Teorema de Fourier): 
Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T, então a 
série de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para: 
a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t ; 
b) ½ [ x(t+0+) + x(t+0-) ] , o sinal x(t) for descontínuo no instante t. 
 
 
Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourier acima é 
muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são 
seccionalmente diferenciáveis. 
 
Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem 
aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) 
forem adicionados, melhor será a aproximação. 
 
Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então: 
 
)t(x)t(x n → 
 
nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e 
 [ ]
2
)0t(x)0t(x)t(x n
−+ +++
→
 
 
nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t. 
 
 
 
Exemplo 7.1: 
 
Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), 
definido num intervalo (de t = –1 até t = 1) ilus-
trado na figura 7.4. 
 
 
 
 
 
Fig. 7.4 – Sinal da onda quadrada em 
um período (de t = –1 até 1). 
 




<<
<<−−
=
1t0se,1
0t1se,1
)t(x
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
8 
Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de 
t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ). 
 
 
Fig. 7.5 – Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞). 
 
 
Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já podeser aproximado por uma 
série de Fourier. 
 
De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-
minado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por 
uma série de Fourier. 
 
Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-
nido acima temos, para ao primeiramente, 
 
0dt)1(dt)1(dt)t(x
T
2
a
1
0
0
1
T
o =+−=⋅= ∫∫∫
−
 
 
Como o período fundamental é T = 2, então 
 
pi=
pi
=ω
T
2
o
 
e portanto, 
 
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )
... 2, 1, k ,0
tksentksen
k
1
dttkcos1dttkcos)1(
dttkcos)t(x
T
2
a
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1k
==
=pi+pi−
pi
=
=pi⋅+pi⋅−=
=pi⋅=
−
−
−
∫∫
∫
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
9 
Logo os ak’s são todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, … 
 
Quanto aos bk’s, temos que: 
 
 
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( ) =pi−+pi
pi
=
=pi⋅+pi⋅−=
=pi⋅=
−
−
−
∫∫
∫
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1k
tkcostkcos
k
1
dttksen1dttksen)1(
dttksen)t(x
T
2b
 
 
e portanto, 
 





pi
=
ímparékse,
k
4
parékse,0
bk
 
 
Ou seja, 
pi
=
4b1 , 
0b2 = , 
pi
=
3
4b3 , 
0b4 = , 
pi
=
5
4b5 , 
0b6 = , 
pi
=
7
4b7 , 
0b8 = , 
pi
=
9
4b9 , 
0b10 = , 
pi
=
11
4b11 , 
etc. 
 
 
Logo, esta é uma série de Fourier só de senos e os primeiros termos da série são: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen
11
4
t9sen
9
4
t7sen
7
4
t5sen
5
4
t3sen
3
4
tsen
4)t(x
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
+
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
=
 
 
 
As figuras 7.6 até 7.10 abaixo mostram esboços do sinal x(t) aproximado pela série 
de Fourier. 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
10
Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t) 
é simplesmente o seno 
x(t) = b1 sen(pit) = (4/pi) sen(pit) 
 
 
 
Fig. 7.6 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de 
Fourier com apenas um termo (k = 1). 
 
 
Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos não nulos, até k = 3, 
pois b2 = 0) temos a soma de 2 senos (e já nota-se 2 picos no sinal aproximado pela 
série): 
x(t) = b1 sen(pit) + b3 sen(pit) 
 
 
 
 
Fig. 7.7 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de 
Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3). 
 
 
Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5, 
pois b2 = 0 e b4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora já nota-se 3 picos no sinal 
aproximado pela série): 
 
x(t) = b1 sen(pit) + b3 sen(pit) + b5 sen(pit) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
11
 
Fig. 7.8 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de 
Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5). 
 
e assim por diante. 
 
As duas últimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta série até k = 11 (6 termos 
não nulos) e até k = 49 (25 termos não nulos), respectivamente. 
 
 
Fig. 7.9 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de 
Fourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11). 
 
 
Fig. 7.10 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de 
Fourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49). 
 
Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando 
cada vez mais próximo do original, a onda quadrada. 
 
Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para o pró-
prio valor de x(t). 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
12
Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela série de Fourier, 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen
9
45,3sen
7
45,2sen
5
45,1sen
3
45,0sen4)5,0(x +pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
=
 
 1,6977 
 
 0,8488 
 
 1,1035 
 
 0,9216 
 
 
1,0631 
 
que de facto converge para 1. 
 
 
Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta série de 
Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente antes e o imedia-
tamente depois de t. 
 
Por exemplo, para t = 0-, sabemos que x(0-) = –1, e t = 0-, e que x(0+) = 1. Logo, o 
ponto médio é: 
 
0
2
11
2
)0(x)0(x
=
+−
=
+ −+
 
 
Pela série de Fourier, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00000
...0sen
9
40sen
7
40sen
5
40sen
3
40sen4)0(x
++++=
=+
pi
+
pi
+
pi
+
pi
+
pi
=
 
 
que de facto converge para 0. 
 � 
 
Mais adiante, nas Propriedades da Série de Fourier, veremos que: 
 
 
Se x(t) é um sinal par, então a série de Fourier para x(t) é uma série de co-senos. 
Se x(t) é um sinal ímpar, então a série de Fourier para x(t) é uma série de senos. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
13
Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares. Recorde-se que, 
 
- A soma de 2 sinais pares é um sinal par. 
 
- A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar. 
 
- O produto de 2 sinais pares é um sinal par. 
 
- O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par. 
 
Logo, se x(t) é um sinal par, então os coeficientes bk da série de Fourier para x(t) são 
todos iguais a zero: 
 
...,3,2,1k,0dttk
T
2
sen)t(x
T
2b
T
k ==





⋅
pi
⋅= ∫ 
 
e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos. 
 
 
Mas se x(t) é um sinal ímpar, então os coeficientes ak da série de Fourier para x(t) são 
todos iguais a zero (incluindo ao): 
 
...,3,2,1,0k,0dttk
T
2
cos)t(x
T
2
a
T
k ==





⋅
pi
⋅= ∫ 
 
e portanto, a série de Fourier é uma série de senos. 
 
De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par, então os ak’s eram todos 
iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …, e a série de Fourier era uma série de senos. 
 
 
 
 
7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier 
 
 
A “série de Fourier” pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinal 
x(t), em um espaço de sinais. 
 
Recorde-se um vector v no espaço Rn é representado como a soma 
 
nn2211 eeev ⋅α++⋅α+⋅α= L 
 
onde e1, e2, … en, são os vectores 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
14












=












=












=
1
0
0
e,
0
1
0
e,
0
0
1
e n21
M
L
MM 
 
ou seja, { }n21 e,e,e L , os chamados vectores canónicos e formam uma base do Rn; 
e α1, α2, … αn, são os coeficientes do vector v nesta base { }n21 e,e,e L . 
 
Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma da 
eq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos. 
 
Note que aqui o espaço não é mais o espaço de vectores (Rn, que tem dimensão n) 
mas sim um espaço de sinais, que terá dimensão infinita. A base do espaço não será 
mais formada pelos vectores e1, e2, … en , mas agora pelos sinais senos e co-senos 
 
 






⋅
pi
tk
T
2
cos
 e 





⋅
pi
tk
T
2
sen
 
 
 
definidos nas equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3). Além disso, os coeficientes 
que representam o sinal x(t) nesta base não serão mais α1, α2, … αn, mas agora serão 
os 
 ak e bk. 
 
Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais. 
 
Claro que a expressão da eq. (7.1) é definida apenas para sinais periódicos, Entretanto, 
já vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definidoem um intervalo finito 
qualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assim 
periódico e desta forma pode ser descrito também na forma da eq. (7.1). As figuras 
7.4 e 7.5 ilustravam isto. 
 
 
Outro detalhe: no espaço Rn os próprios vectores da base e1, e2, … en eram repre-
sentados (de forma única) como 
 
ni21i e0e1e0e0
0
1
0
e ⋅++⋅++⋅+⋅=












= LL
M 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
15
ou seja, com coeficientes 
 
α1 = 0, α2 = 0, … ,αi = 1, … αn = 0 
 
isto é, 
{ } { }0,,1,,0,0,,,,, ni21 LLLL =αααα . 
 
 
Aqui também temos que os sinais senos e co-senos da base são representados (de 
forma única) como 
 
∑
∞
=












⋅
pi
⋅+





⋅
pi
⋅+=





⋅
pi
1k
kk
0 tk
T
2
senbtk
T
2
cosa
2
a
t
T
2
cos l
 
 
onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de ak para k = l, ou 
seja: 
ak = 0, bk = 0, excepto al = 1 
 
e, além disso 
 
∑
∞
=












⋅
pi
⋅+





⋅
pi
⋅+=





⋅
pi
1k
kk
0 tk
T
2
senbtk
T
2
cosa
2
a
t
T
2
sen l
 
 
 
onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de bk para k = l, ou 
seja: 
ak = 0, bk = 0, excepto bl = 1. 
 
Isto ocorria porque o produto escalar entre 2 vectores ‘em’ e ‘en’, que pertençam à 
base, é 
< em , en > = 0, se m ≠ n, 
< em , en > = 1, se m = n, 
 
onde o produto escalar entre 2 vectores no espaço Rn era definido como 
 
nn2211v,v α⋅α++α⋅α+α⋅α=>< L 
 
sendo α1, α2, … αn os coeficientes de v e n21 ,,, ααα⋅ L os coeficientes de v . 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
16
Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e1, e2, … en da base são “ortogo-
nais” entre si. 
 
Aqui, neste espaço de sinais cuja base é formada por senos e co-senos, o produto 
escalar entre 2 sinais pode ser definido como: 
 
LLLL +⋅+⋅++⋅+⋅=>< kk11kkoo bbbbaaaa)t(x),t(x 
 
onde ao, a1, …, ak, …, b1, …, bk são os coeficientes de x(t) na série de Fourier e 
k1ok1o b,,b,b,,a,,a,a LLL os coeficientes de )t(x na série de Fourier. Desta 
forma pode-se verificar que 
 
 
,nmse,0tn
T
2
cos,tm
T
2
cos ≠=>





⋅
pi






⋅
pi
<
 
,nmse,1tn
T
2
cos,tm
T
2
cos ==>





⋅
pi






⋅
pi
<
 
e,nmse,0tn
T
2
sen,tm
T
2
sen ≠=>





⋅
pi






⋅
pi
<
 
.nmse,1tn
T
2
sen,tm
T
2
sen ==>





⋅
pi






⋅
pi
<
 
 
 
ou seja, aqui os sinais da base também são ortogonais entre si. Isso se verifica obser-
vando-se as equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que 
 
 
 
nmse,0dttn
T
2
costm
T
2
cos
T
≠=





⋅
pi
⋅





⋅
pi
∫ 
 
nmse,0dttn
T
2
sentm
T
2
sen
T
≠=





⋅
pi
⋅





⋅
pi
∫ 
e 
 
nmse,
2
Tdttn
T
2
costm
T
2
cos
T
==





⋅
pi
⋅





⋅
pi
∫ 
 
nmse,
2
Tdttn
T
2
sentm
T
2
sen
T
==





⋅
pi
⋅





⋅
pi
∫ 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
17
um resultado bastante conhecido em matemática, da teoria do “Cálculo”. Isto é, as 
integrais de senos e/ou co-senos de frequência diferentes multiplicados entre si são 
nulas. Os senos e co-senos são “ortogonais”. 
 
 
Fig. 7.11 – Projecções de um vector v ∈ R2 nos seus 2 eixos (à esquerda) e v ∈ R3 
nos seus 3 eixos (à direita). 
 
 
Uma propriedade importante verificada nos vectores no espaço Rn era que o produto 
escalar entre v e um elemento ek da base era o próprio coeficiente αk, ou seja, 
 
< v , ek > = αk 
 
De certa forma isto significava que os αk eram as projecções dos vectores do Rn nos 
seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R2 e R3. 
 
Aqui no espaço de funções também verifica-se que 
 katkT
2
cos,)t(x =>





⋅
pi
<
 e kbtkT
2
sen,)t(x =>





⋅
pi
<
 
 
o que também pode ser interpretado que os ak e os bk são uma espécie de projecção 
do sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base. 
 
 
 
7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos 
 
 
Nesta secção estudaremos a “série exponencial de Fourier” é também chamada de 
“série complexa de Fourier”. 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
18
Se o sinal x(t) ∈ R, então a série exponencial de Fourier é a mesma que a série trigo-
nométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo 
 
tojωe
 
 
 
em vez de em termos de senos e co-senos. 
 
Entretanto, considere agora 
 
um sinal periódico contínuo x(t) ∈ C = {conjunto dos números complexos} 
 
ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A 
série exponencial de Fourier permite-nos aproximar x(t), o que não era possível com 
a série trigonométrica. 
 
Na série exponencial (ou complexa) de Fourier um sinal periódico x(t) pode ser 
expresso como: 
 
 
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=






⋅ω
⋅
pi
⋅=
=⋅=
k
k
k
k
tkoj
tkT
2j
c
c)t(x
e
e
 eq. (7.4) 
 
onde: 
T = período fundamental do sinal x(t). 
ωo = frequência fundamental do sinal x(t). 
e 
 
 
∫
∫
⋅⋅=
=⋅⋅=
⋅ω−
⋅




 pi
−
T
tkj
T
tk
T
2j
k
dte)t(x
T
1
dte)t(x
T
1
c
o
 k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.5) 
 
Portanto, a série exponencial (ou complexa) de Fourier generaliza a série trigonomé-
trica de Fourier e tem também a vantagem de ser mais compacta. 
 
Os ck’s são chamados de coeficientes da série exponencial de Fourier ou coeficientes 
espectrais. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
19
Semelhantemente à série trigonométrica, a equação eq. (7.4) acima é conhecida como 
a 
equação de síntese 
 
enquanto que a equação eq. (7.5) é conhecida como a 
 
equação de análise 
 
da série exponencial (ou complexa) de Fourier. 
 
 
 
 
Exemplo 7.2: 
 
Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em 
um período (de t = –1 até t = 1) ilustrada na 
figura 7.12. 
 
 
 




<<
<<−−
=
1t0se,1
0t1se,1
)t(x
 
 
Fig. 7.12 – Sinal do Exemplo 7.2. Onda 
quadrada em um período (de 
t = –1 até 1). 
 
 
E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda 
de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série exponen-
cial (ou complexa) de Fourier. 
 
 
Novamente, o período fundamental é T = 2, e 
 
pi=
pi
=ω
T
2
o 
 
e portanto, os coeficientes desta série complexa de Fourier para o sinal da onda qua-
drada acima são: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
20
 
( )
( ) ( )
=⋅+⋅−=
=⋅=
∫∫
∫
pi−
−
pi−
−
pi−
1
0
tkj0
1
tkj
1
1
tkj
k
dt1
2
1dt)1(
2
1
dt)t(x
T
1
c
ee
e
 
... 2, 1, ,0k ±±=
 
 
Fazendo-se as integrais, obtemos: 
 
 
( )[ ]( ) ( )[ ]( )
( ) ( )pi−pipi−pi
pi−
−
pi−
−−
pi
=+−−
pi
=
=
pi
−
⋅+
pi
⋅=
kjkjkjkj
1
0
tkj0
1tkj
k
2jk2
111jk2
1
jk
)1(
2
1
jk
1
2
1
c
eeee
ee
 
 
Agora, usando-se as equações de Eüler temos que: 
 
 
[ ]
( )
( ))kcos(1
k
j
)kcos(12jk2
1
)k(senj)kcos()k(senj)kcos(2jk2
1
c k
pi−
pi
−
=
=pi−
pi
=
pi⋅+pi−pi⋅−pi−
pi
=
 
 
e portanto, 
 
 






±±±=
pi
−
±±=
=
...,5,3,1kse,j
k
2
...,4,2,0kse,0
c k
 
 
Logo, 
 
[ ]∑
∑
∑
∞
±±±=
∞
±±±=
pi
∞
−∞=
ω
pi⋅+pi⋅





pi
−
=
=





pi
−
=
==
...,5,3,1k
...,5,3,1k
tkj
k
tkj
k
)tk(senj)tk(cosj
k
2
j
k
2
c)t(x o
e
e
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
21
e, desmembrando-se a soma ...,5,3,1k ±±±= em duas de ...,5,3,1k = , como o seno é 
ímpar [sen (kpit) = –sen (–kpit), ∀k ] e o co-seno é par [cos (kpit) = –cos(kpit) , ∀k ], 
temos: 
 
 
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
pi⋅





pi
−
+pi





pi
+
+pi⋅





pi
−
+pi





pi
−
=
...,5,3,1k...,5,3,1k
...,5,3,1k...,5,3,1k
)tk(senj
k
j2)tk(cos
k
j2
)tk(senj
k
j2)tk(cos
k
j2)t(x
 
 
e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que os 
dois termos com senos são idênticos, logo podem se juntar ficando: 
 
∑
∑
∞
=
∞
=
pi





pi
=
=





pi⋅





pi
−
⋅=
...,5,3,1k
...,5,3,1k
)tk(sen
k
4
)tk(senj
k
j22)t(x
 
 
que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 1 com a série trigonométrica de Fourier, 
ou seja: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen
11
4
t9sen
9
4
t7sen
7
4
t5sen
5
4
t3sen
3
4
tsen
4)t(x
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
+
+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
=
 
 � 
 
 
Isso acontece porque as séries trigonométricas e complexa (ou exponencial) de Fou-
rier são equivalentes, um resultado que vamos ver a seguir na próxima secção. 
 
 
 
 
7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier 
 
 
Se o sinal x(t) for de valores reais, então existe uma relação entre a série trigonomé-
trica e a série complexa (ou exponencial) de Fourier. Pode-se facilmente mostrar 
que: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
22
 2
bja
c kkk
⋅−
=
 para k = 0, 1, 2, … eq. (7.6) 
e 
 2
bja
c kkk
⋅+
=
− para k = 1, 2, … eq. (7.7) 
 
 
 
Embora o coeficiente bo não exista, pois não foi definido, na eq. (7.6) assume-se que 
0bo = . Portanto, o coeficiente co pode ser expresso como: 
 
 2
a
c oo = . eq. (7.8) 
 
 
Note também que enquanto os coeficientes aks e bks são definidos nas eq. (7.2) e 
eq. (7.3) apenas para k = 0, 1, 2, …, os coeficientes cks são definidos nas eq. (7.6) e 
eq. (7.7) para k = 0, ±1, ±2, … 
 
 
Observe também que a eq. (7. 7) é equivalentes a: 
 
 2
bja
c kkk
−−
⋅+
=
 para k = –1, –2, … eq. (7.9) 
 
 
Sabemos, pelas eq. (7.2) e eq. (7.3) da série trigonométrica de Fourier, que não 
existe aks ou bks para k negativos, entretanto a-k e b-k estão bem definidos na 
eq. (7.9) pois nesta equação k = –1, –2, … e portanto os índices de a
-k e b-k serão sem-
pre positivos. Por exemplo: 
 
a
-k para k = – 2 será o a2, 
ou 
b
-k para k = – 5 será o b5. 
 
 
Os termos ck para k positivos são os conjugados de ck para k negativos, e vice-versa, 
isto é: 
 
 ck = (c –k)* , ∀ k = 0, ±1, ±2, ±3, … 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
23
As equações acima permitem que se transforme uma série trigonométrica em uma 
série exponencial. 
 
 
O inverso, ou seja, as equações que permitem transformar uma série exponencial em 
uma série trigonométrica são as seguintes: 
 
 oo c2a = eq. (7.10) 
 
 
)cc(a kkk −+= para k = 1, 2, … eq. (7.11) 
e 
 
)cc(jb kkk −−⋅= para k = 1, 2, … eq. (7.12) 
 
 
Com as relações acima é fácil de se mostrar que, quando x(t) é um sinal real, então: 
 
 
( ) ( )[ ]∑
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
−∞=
⋅ω
∞
−∞=
⋅




 pi
ω+ω+=
=











⋅
pi
+





⋅
pi
+=
==
1k
okok
0
1k
kk
0
k
tkj
k
k
tk
T
2j
k
tksenbtkcosa
2
a
tk
T
2
senbtk
T
2
cosa
2
a
cc)t(x oee
 
 
 
ou seja, as duas séries de Fourier, ‘trigonométrica’ e ‘exponencial’, são equivalentes. 
 
 
 
7.7 – Propriedades das séries de Fourier para sinais contínuos 
 
 
 Linearidade: 
 
Suponha que 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
24
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc′ 
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
e que 
 
)t(x)t(x)t(y 21 β+α= 
 
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , 
ou seja, 
y(t) tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
kkk ccc ′′β+′α= 
 
 
 
 
 Translação no tempo (“time shifting”): 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
e que 
 
)tt(x)t(y o−= 
ou seja, 
y(t) é o sinal x(t) com uma translação (shift) no tempo de to. 
 
 
Então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , 
ou seja, 
y(t) tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
25
k
kk
c
cc~
otT
2kj
tokj o
⋅=
=⋅=







 pi
−
ω−
e
e
 
 
 
Nota: 
 
Como θ∀=θ ,1je , tem-se que: 
 
kk cc
~
=
 
 
 
 
 
 Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) em torno de t = 0: 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
 
)t(x)t(y −=
 
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , 
ou seja 
y(t) tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
kk ccˆ −= 
 
 
 
Nota: 
 
Como consequência desta propriedade pode-se concluir que: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
26
Se x(t) é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e., 
 
kk cc −= 
 
Se x(t) é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; 
i.e., 
kk cc −−= 
 
 
 
 Escalonamento no tempo (“time scaling”): 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
(portanto x(t) tem frequência fundamental 
T
2
o
pi
=ω ) 
 
e que 
)t(x)t(y α=
 
 
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período 
α
T
 , 
ou seja 
 
y(t) tem frequência fundamental T
2T o
αpi
=ωα=
)
 e, além disso, 
 
tT
2kj
tokj
k
k
k
k
c
c)t(y








∞
−∞=
∞
−∞=
piα
−
ωα−
∑
∑
=
==
e
e
 
 
 
Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental 
(e do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
27
 Multiplicação: 
 
Suponha que 
 
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc′ 
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
 
e que 
)t(x)t(x)t(y 21 ⋅=então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
[ ] [ ]kckc
ccc ik
i
ik
′′∗′=
=′′⋅′=
−
∞
∞−=
∑
 
 
Ou seja, ck é a convolução entre os sinais discretos [ ]kcck ′=′ e [ ]kcck ′′=′′ . 
 
L+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
=′′⋅′=
+−−+−−
−
∞
∞−=
∑
2k22k21k11k1ko
ik
ij
ik
cccccccccc
ccc
 
 
 
 
 
 Conjugação: 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
)t(x)t(y ∗=
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
28
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
∗
−
= kk cc 
 
 
Nota: 
Como consequência desta propriedade pode-se concluir que: 
 
Se x(t) ∈ R, então 
 
os coeficientes de Fourier ∗
−
= kk cc ; 
 
co ∈ R ; 
e 
kk cc −= . 
 
Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que: 
Se x(t) ∈ R é um sinal par ⇒ 
os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e 
kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”). 
 
Se ∈)t(x R é um sinal ímpar ⇒ 
os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e 
kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ímpares”). 
 
 
 
 Translação na frequência (“frequency shifting”): 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
29
mkk cc −= 
 
ou seja, 
kc são os coeficientes ck desfasados de m. 
 
Então, mostra-se que o sinal: 
 
)t(x)t(y tojm ⋅= ωe
 
 
tem os coeficientes de Fourier kc 
 
Nota: 
 
Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação 
(shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t. 
 
Outro detalhe, como θ∀=θ ,1je , então: 
 
 kk cc = k = 0, ±1, ±2, … 
 
 
 
 Convolução no período: 
 
Suponha que 
 
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc′ 
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
 
e que y(t) é a convolução (tomada no período T): 
 
∫ ττ⋅τ−=
∗=
T
21
21
d)(x)t(x
)t(x)t(x)t(y
 
Então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental 
T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
kkk ccTc
~
~
′′⋅′⋅=
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
30
 Derivada: 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
dt
dx)t(y =
 
 
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental 
T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
kkok cT
2kjckjc 




 pi
=ω=′
 
 
Nota: 
Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas 
vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se 
 
2
2
dt
xd)t(y =
 
 
os coeficientes de Fourier de y(t) são 
 
k
2
2
k
22
k
222
kok cT
2kckckjckjc
oo





 pi
−=ω−=ω=′ω=′′ . 
 
 
 
 Integral: 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
∫
∞−
=
t
dt)t(x)t(y
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
31
então, mostra-se que: 
 
y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental T
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
kk
o
k c
T
2kj
1
c
kj
1
c ⋅





 pi
=⋅
ω
=
(
 
 
 
Nota: 
No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x(t) periódicos e com valo-
res finitos. 
 
Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas 
vezes. 
 
 
 Relação de Parseval: 
 
Suponha que 
 
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck 
 
então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período T: 
 
∑
∫
∞
−∞=
=
==
k
2
k
T
2
c
dt)t(x
T
1P
 
 
 
 
7.8 – Série exponencial de Fourier para sinais discretos 
 
Já vimos, no capítulo 4 (sobre Sistemas), que um sinal discreto é periódico se 
[ ] [ ]Nnxnx +=
 
 
onde N é o período. Além disso, vimos que 
 
N = período fundamental 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
32
se N for o menor inteiro para o qual a relação acima satisfaz. E neste caso: 
 
N
2
o
pi
=ω
 = frequência fundamental. 
 
O conjunto de todos os sinais discretos no tempo do tipo exponenciais complexos que 
são periódicos (com período N) é dado por 
 
 
[ ] nN
2jk
nojknk







 pi
ω
==φ ee
 , k = 0, 1, 2, … eq. (7.13) 
 
e todos estes sinais têm frequência fundamental que são múltiplas de 
N
2pi
 
 
e portanto são harmonicamente relacionados. 
 
Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funções φk[n] definido pela 
eq. (7.13) acima. 
 
Isto é uma consequência do facto de que sinais discretos no tempo do tipo exponen-
ciais complexas que diferem na frequência por um múltiplo de 2pi são idênticos. 
Ou seja, após N consecutivos, estes termos começam a repetir-se. 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
MM
MM
nn
nn
nn
nn
Nkk
2N2
1N1
No
+
+
+
φ=φ
φ=φ
φ=φ
φ=φ
 
Esta situação é diferente do caso contínuo pois os coeficientes que aparecem na equa-
ção de síntese da série de Fourier para sinais contínuos: 
 
 
tT
2kjtokj)t(k







 pi
ω
==φ ee
 k = 0, 1, 2, … , 
 
são todos diferentes uns dos outros. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
33
Portanto, a série de Fourier para sinais discretos terá apenas N termos, para N conse-
cutivos valores de k, 
 
 de l=k até 1Nk −+= l . 
 
e, semelhantemente, apenas N coeficientes ck. 
 
Logo, a série de Fourier para sinais discretos tem a expressão: 
 
 
 
∑
∑
−+
+=
−+
+=






ω
pi
⋅=
=⋅=
)1N(
),1(,k
k
)1N(
),1(,k
k
nokj
nN
2kj
c
c[n]x
l
Kll
l
Kll
e
e
 eq. (7.14) 
 
onde, conforme já dito, 
 
N = período fundamental do sinal x[n]. 
ωo = frequência fundamental do sinal x[n]. 
 
A equação eq. (7.14) acima é conhecida como a 
 
equação de síntese 
 
da série de Fourier discreta. 
 
Já os coeficientes ck’s no caso discreto são definidos por 
 
 
 
[ ]
[ ]∑
∑
−+
+=






−+
+=
pi
−
ω−
⋅⋅=
=⋅⋅=
)1N(
),1(,n
)1N(
),1(,n
k
nN
2kj
nokj
nx
N
1
nx
N
1
c
l
Kll
l
Kll
e
e
 k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.15) 
 
 
 
Os ck’s são chamados de “coeficientes” da série Fourier discreta ou “coeficientes 
espectrais”. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
34
A equação eq. (7.15) é conhecida como as 
 
“equação de análise” 
 
da série de Fourier discreta. 
 
 
 
Exemplo 7.3: 
 
Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo ilustrada na figura 7.13: 
 
 
Fig. 7.13 – Onda quadrada discreta de período N. Sinal do Exemplo 7.3. 
 
 




∀
≤≤−
=
somaçãodeintervalononoutros,0
1Nn1Nse,1[n]x
 
 
Neste caso os coeficientes espectraisck ficam: 
 
 
∑
−=







 pi
−
⋅=
1
1
N
Nn
k
nN
2kj
N
1
c e
 eq. (7.16) 
 
Se L 2N, N, 0, k ±±= o somatório desta expressão de ck acima fica 
 
)1N2(1 1
N
Nn
N
Nn
1
1
1
1
2nj
+== ∑∑
−=−=
pi−
e
 
 
e portanto, a expressão de ck da eq. (7.16) acima é facilmente expressa como: 
 
 N
1N2
c 1k
+
= , L 2N, N, 0, k ±±= 
 
Entretanto, para L 2N, N, 0, k ±±≠ definimos 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
35
m = n + N1 
 
e então, fazemos uma mudança de índice no somatório, ficando 
 
∑
∑
=












=






pi
−
pi
−
−
pi
−
⋅=
=⋅=
1
1
N2
0m
N2
0m
k
mN
2kj1NN
2kj
)1Nm(N
2kj
N
1
N
1
c
ee
e
 . 
 
Agora, usando a fórmula da soma finita dos elementos de uma progressão geométrica, 
já vista no capítulo 6, eq. (6.3): 
 
LL
LL
,qaa,qaa,qaa
:a::a:a:a
1kk2312
k321
⋅=⋅=⋅=
−
 
 
que é dada por: 
 
)q1(
)q1(a
aS
n
1
n
1k
k
−
−
== ∑
=
 
 
pode-se substituir o somatório da expressão dos ck acima, uma vez que é uma soma 
finita de uma progressão geométrica com 
 
( ) 



 pi
−
=+== N
2kj
11 q,e1N2n,1a e 
 
 
obtendo-se: 
 
 










−
−
⋅=





 pi
−
+




 pi
−





 pi
−
N
2kj
)1N2(
N
2kj
N
N
2kj
k
1
1
N
1
c
1
e
e
e
 para L 2N, N, 0, k ±±≠ 
 
 
que, após multiplicação dos termos, pode facilmente ser expresso como 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
36








−⋅








−⋅
⋅=






































































pipi
−
pipipi
−
+pi−+pipi−
N2
2
N
2kjN2
2
N
2kjN
2kj
2
1
1NN
2kj2
1
1NN
2kjN2
2kj
N
1
c k
eee
eee
 
 
 para L 2N, N, 0, k ±±≠ 
 
e, usando Eüler, obtemos que 
 
 





 pi












+
pi
⋅=
N
k
sen
2
1Nk
N
2
sen
N
1
c
1
k
 , para L 2N, N, 0, k ±±≠ 
 
Desta forma temos então todos os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta 
deste exemplo. 
 
Resumindo: 
 










±±=
+
±±≠





 pi












+
pi
⋅
=
L
L
 2N, N, 0, k se,
N
1N2
 2N, N, 0, k se,
N
k
sen
2
1Nk
N
2
sen
N
1
c
1
1
k
 
 
 
Para o caso particular de N = 9 e N1 = 2, temos que: 
 
(2N1 +1) = 5 
 
que representa o número de pontos que assumem o valor 1 em cada período e conse-
quentemente, 
 
N – (2N1 +1) = 9 – 5 = 4 
 
representa o número de pontos que é igual a 0 (zero) em cada período. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
37
O gráfico deste x[n] pode ser visto na figura 7.14. 
 
 
Fig. 7.14 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. 
 
 
e os coeficientes ck calculados pela expressão acima são: 
 
 
3199,0c
5556,0c
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
1
o
1
2
3
4
=
=
=
−=
−=
=
−
−
−
−
M
 
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
8
7
6
5
4
3
2
=
−=
−=
=
=
−=
−=
 
M
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
3199,0c
5556,0c
14
13
12
11
10
9
=
=
−=
−=
=
=
 
 
 
Observe que a cada N coeficientes eles se repetem. Isto é, a cada 9 ck eles voltam a 
ser os mesmos valores. 
M
L
L
L
L
L
L
L
M
0591,0ccc
3199,0ccc
5556,0ccc
3199,0ccc
0591,0ccc
1111,0ccc
0725,0ccc
20112
19101
189o
1781
1672
1563
1454
−====
====
====
====
−====
−====
====
−
−
−
−
 
e assim por diante. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
38
Agora, com os valores dos coeficientes ck, podemos escrever a série de Fourier, 
eq. (7.14). 
 
Ao contrário do caso contínuo, em que tínhamos que acrescentar mais e mais termos 
para obter uma aproximação melhor, aqui no caso discreto é possível uma aproxima-
ção exacta com N = 9 termos consecutivos: 
 
∑
+
+=





 pi
⋅=
)8(
),1(,k
k
n9
2kj
c[n]x
l
Kll
e
 
 
 
Por exemplo, se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos, k = –1, 0 e 1, 
teremos 
 
∑
−=







 pi
⋅=
1
1k
k3
n9
2kj
c[n]xˆ e
 
 
que nos dá uma primeira aproximação, ainda muito grosseira, do sinal x[n], como 
pode-se ver no gráfico de [ ]nxˆ 3 na figura 7.15 abaixo. 
 
 
Fig. 7.15 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-
ção por série de Fourier com apenas 3 termos. 
 
 
Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos, k = –2, –1, 0, 1 e 2, teremos então 
 
∑
−=







 pi
⋅=
2
2k
k5
n9
2kj
c[n]xˆ e
 
 
 
que nos dá uma aproximação um pouco melhor, mas ainda longe de perfeita, do sinal 
x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nxˆ5 na figura 7.16 abaixo. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
39
 
Fig. 7.16 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-
ção por série de Fourier com apenas 5 termos. 
 
Se agora tomarmos 7 termos consecutivos, k = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3, teremos então 
 
∑
−=







 pi
⋅=
3
3k
k7
n9
2kj
c[n]xˆ e
 
 
que já nos dá uma aproximação bem melhor, mas ainda não perfeita, do sinal x[n], 
como pode-se ver no gráfico de [ ]nxˆ7 na figura 7.17 abaixo. 
 
 
 
Fig. 7.17 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-
ção por série de Fourier com 7 termos. 
 
Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos, k = –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 
4, teremos então 
 
∑
−=







 pi
⋅==
4
4k
k9
n9
2kj
c[n]x[n]xˆ e
 
 
que nos dá a aproximação perfeita, ou “exacta” do sinal x[n] pois N = 9. Ou seja, 
 
[n]x[n]xˆ 9 = 
 
O gráfico de [ ]nxˆ 9 , que é coincidente com x[n], pode ser visto na figura 7.18 abaixo. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
40
 
Fig. 7.18 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-
ção exacta por série de Fourier com 9 termos. 
 � 
 
 
 
Exemplo 7.4: 
 
Considere agora o sinal sinusoidal discreto 
 
)n(sen[n]x oω= 
 
Este sinal é periódico quando: 
 
o
2
ω
pi
 é um inteiro ou a razão de inteiros. 
 
Suponha que 
 
N2
o
=
ω
pi
 
logo, 
N
2
o
pi
=ω
 
 
e x[n] é então um sinal periódico com período fundamental N. 
 
Usando-se a equação de Eüler podemos expandir este sinal x[n] como a soma de 2 
termos exponenciais complexas, obtendo-se 
 
nN
2jnN
2j
j2
1
j2
1[n]x 











 pi
−
pi
−= ee
 
 
e vemos então que: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
41
 










∀=
−=
−
=
=
−
=
−
.,0c
j
2
1
j2
1
c
j
2
1
j2
1
c
somação de intervalo nok de valoresoutrosparak
1
1
 
 
Por exemplo, no caso particular de 
 
N = 5 
 
então 





 pi
= n
5
2
sen[n]x
 
 
e os coeficientes de Fourier serão: 
 
 
j
2
1
j2
1
c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
0c
6
5
4
3
2
1
o
1
2
3
−==
=
=
−
=
=
=
−==
=
=
−
=
=
=
−
−
−
M
 
 
e assim por diante. 
 
M
j
2
1
j2
1
c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
j
2
1
j2
1
c
0c
0c
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
−==
=
=
−
=
=
=
−==
=
=
−
=
=
=
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
42
Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores 
 
 
M
L
L
L
M
j5,0ccc
0ccc
0ccc
941
832
723
====
====
====
−
−
−
 
M
L
L
L
M
0ccc
j5,0ccc
0ccc
1272
1161
105o
====
−====
====
 
 
e assim por diante. 
 
O intervalo de somação pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, como por 
exemplo: 
 de -1k = até 3k = , ou 
 de 0k = até 4k = , ou 
 de 1k = até 5k = , ou 
 de 2k = até 7k = , 
 etc. etc. 
 
Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2 e 3, teremos 
 
∑
=





 pi
⋅=
3
1k
n
5
2kj
k3 c[n]xˆ e
 
 
que nos dá uma aproximação do sinal x[n]. 
 
Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, 
teremos então 
 
∑
=





 pi
⋅=
5
1k
n
5
2kj
k5 c[n]xˆ e
 
 
que nos dá a aproximação exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja, 
 





 pi
== n
5
2
sen[n]x[n]xˆ 5 . 
 � 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
43
Exemplo 7.5: 
 
Considere novamente o sinal sinusoidal discreto 
 
)n(sen[n]x oω= 
 
mas agora suponha que 
 
inteiros 2 de razão
M
N2
o
==
ω
pi
 
 
onde N e M são 2 inteiros que não têm factores comuns. 
 
Logo, 
M
N
2
o ⋅
pi
=ω
 
 
Novamente x[n] é um sinal periódico e com período fundamental N. 
 
Usando-se a equação de Eüler podemos também expandir este sinal x[n] como a 
soma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se: 
 
nN
2MjnN
2Mj
j2
1
j2
1[n]x 














 pi
−
pi
−= ee
 
 
e portanto, 







⋅
−
==
⋅=−=
−
j
2
1
j2
1
c
j
2
1
j2
1
c
M
M
 
 
Além disso, como NkNk cc −+ = (os ck’s se repetem a cada N), então: 
 
( ) ( )tambémMMNMN cj2
1
cc
−+−− =⋅== 
e 
( )tambémMMNMN cj2
1
cc =⋅
−
== +−+ 
 
Entretanto, 
.,0c somaçãoervalo de intno ores de koutros valparak ∀= 
 � 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
44
Exemplo 7.6: 
 
Neste exemplo anterior (Exemplo 7.5), se tomarmos o caso particular de 
 
 N = 5 e M = 3, 
 
então 
 
( )n2,1senn
5
6
senn
5
23sen[n]x ⋅pi⋅=




 pi
=




 pi
⋅=
 
 
e os coeficientes de Fourier serão: 
 
 
 
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
=
−=
=
=
=
=
−=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
M
 
 
 
 
e assim por diante. 
 
Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores 
 
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
=
−=
=
=
=
=
−=
=
=
M
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
0c
0c
j
2
1
c
j
2
1
c
0c
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
=
=
−=
=
=
=
=
−=
=
=
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
45
M
L
L
L
M
j5,0cccc
j5,0cccc
0cccc
8327
7238
6149
−=====
=====
=====
−−
−−
−−
 
M
L
L
L
M
0cccc
0cccc
0cccc
11614
105o5
9416
=====
=====
=====
−
−
−−
 
 
e assim por diante. 
 
 
O intervalo de somação novamente pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, 
como por exemplo: 
 
 de -1k = até 3k = , ou 
 de 0k = até 4k = , ou 
 de 1k = até 5k = , 
 etc. etc. 
 
Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-
ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2 e 3, 
 
∑
=







 pi
⋅=
3
1k
k3
n5
6kj
c[n]xˆ e
 
 
Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, 
teremos então 
 
∑
=





 pi
⋅=
5
1k
k5
n5
6kj
c[n]xˆ e
 
 
que nos dá a aproximação exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja, 
 





 pi
== n
5
6
sen[n]x[n]xˆ 5
 
 
 � 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
46
Exemplo 7.7: 
 
Novamente considerando o Exemplo 7.5, se tomarmos o caso particular de 
 
 N = 7 e M = 3, 
 
então 
 
( ) ( )n6928,2senn8571,0senn
7
6
senn
7
23sen[n]x ⋅=⋅pi⋅=




 pi
=




 pi
⋅=
 
 
e os coeficientes de Fourier serão: 
 
 
j
2
1
c
0c
0c
0c
0c
0c
j
2
1
c
3
2
1
0
1
2
3
−=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
M
 
j
2
1
c
0c
0c
0c
0c
0c
j
2
1
c
10
9
8
7
6
5
4
−=
=
=
=
=
=
=
 
M
j
2
1
c
0c
0c
0c
0c
0c
j
2
1
c
17
16
15
14
13
12
11
−=
=
=
=
=
=
−=
 
 
e assim por diante. 
 
Ou seja, a cada 7 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores 
 
 
M
L
L
L
L
M
====
====
====
====
−
−
−
0ccc
0ccc
0ccc
j5,0ccc
147o
1361
1252
1143
 
M
L
L
L
L
M
j5,0ccc
0ccc
0ccc
0ccc
17103
1692
1581
147o
−===
===
===
===
 
 
e assim por diante. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
47
O intervalo de somação agora pode ser quaisquer 7 coeficientes ck consecutivos, co-
mo por exemplo: 
 
 de -1k = até 5k = , ou 
 de 0k = até 6k = , ou 
 de 1k = até 7k = , 
 etc. etc. 
 
Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-
ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, 
 
∑
=





 pi
⋅=
5
1k
k5
n7
6kj
c[n]xˆ e
 
 
Entretanto, se tomarmos 7 termos consecutivos, como por exemplo: 
 
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, 
 
teremos então 
∑
=





 pi
⋅=
7
1k
k7
n7
6kj
c[n]xˆ e
 
 
que nos dá a aproximação exacta do sinal x[n] pois N = 7. Ou seja, 
 





 pi
== n
7
6
sen[n]x[n]xˆ 7 . 
 � 
 
 
 
7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos 
 
 Linearidade: 
 
Suponha que 
 
x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourierkc′ 
x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
48
e que 
[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 β+α= 
 
então, mostra-se que: 
y[n] tem período N , 
ou seja, 
y[n] tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
kkk ccc ′′β+′α= 
 
 
 
 Translação no tempo (“time shifting”): 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
[ ] [ ]onnxny −= 
 
ou seja, y[n] é o sinal x[n] com uma translação (shift) no tempo de no. 
 
Então, mostra-se que: 
y[n] tem período N , 
ou seja, 
y[n] tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
k
kk
c
cc~
onN
2kj
onokj







 pi
−
ω−
=
==
e
e
 
 
 
Nota: 
 
Como θ∀=θ ,1je , tem-se que 
 
kk cc
~
=
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
49
 Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) em torno de n = 0: 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
[ ] [ ]nxny −=
 
 
então, mostra-se que: 
 
y[n] tem período N , 
ou seja, 
y[n] tem frequência fundamental 
N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
kk ccˆ −= 
 
 
Nota: 
 
Como consequência desta propriedade pode-se concluir, (semelhantemente ao caso 
contínuo), que: 
 
Se x[n] é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e., 
 
kk cc −= 
 
 
Se x[n] é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são eles próprios, ímpares; 
i.e., 
kk cc −−= . 
 
 
 
 
 Escalonamento no tempo (“time scaling”): 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
(portanto x[n] tem frequência fundamental 
N
2
o
pi
=ω ) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
50
e que 
[ ]









=
mdemúltiploénãonse,0
mdemúltiploénse,
m
n
x
ny
 
 
então, mostra-se que: 
 
y[n] tem período Nm ⋅ , 
ou seja, 
y[n] tem frequência fundamental 
Nm
2
m
o
⋅
pi
=
ω
 , e além disso, 
 
[ ]
∑
∑
−+
+=








−+
+=






⋅
pi
−
ω
−
⋅=
=⋅=
)1N(
),1(,k
k
)1N(
),1(,k
k
nNm
2kj
n
m
okj
c
cny
l
Kll
l
Kll
e
e
 
 
 
Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental (e 
do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam. 
 
 
 
 Multiplicação: 
 
Suponha que 
 
[ ]nx1 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′ 
[ ]nx 2 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
 
e que 
[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 ⋅= 
então, mostra-se que: 
 
y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental 
N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
51
 
∑
−+
+=
−
′′⋅′=
)1N(
),1(,j
jkjk ccc
l
Kll
 k = 0, ±1, ±2, … 
 
Ou seja, 
 
etcetcetcetc
)Nk(N3k32k21k1
)1Nk(1N2k21k1ko
)1N(
),1(,j
jkjk
cccccccc
cccccccc
ccc
MMMM
L
L
l
Kll
−−−−
+−−−−
−+
+=
−
′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
=′′⋅′= ∑
 
 
 
 
 Conjugação: 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
[ ] [ ]nxny ∗=
 
 
y[n] é o conjugado de x[n]; então, mostra-se que: 
 
y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
∗
−
= kk cc 
 
 
Nota: 
Como consequência desta propriedade pode-se concluir que: 
 
Se x[n] ∈ R, então 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
52
os coeficientes de Fourier ∗
−
= kk cc ; 
 
co ∈ R ; 
e 
kk cc −= . 
 
 
Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que: 
Se x[n] ∈ R é um sinal par ⇒ 
os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e 
kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”). 
 
 
Se x[n] ∈ R é um sinal ímpar ⇒ 
os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e 
kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “impares”). 
 
 
 
 
 Translação na frequência (“frequency shifting”): 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes 
 
 mkk cc −= k = 0, ±1, ±2, … 
ou seja, 
kc são os coeficientes ck desfasados de m. 
 
Então, mostra-se que o sinal: 
 
[ ] [ ]nxny nomj ⋅= ωe
 
 
tem os coeficientes de Fourier kc 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
53
Nota: 
 
Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação 
(shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t. 
 
Como θ∀=θ ,1je , então 
kk cc = 
 
 
 Convolução no período: 
 
Suponha que 
 
x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′ 
x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ 
 
e que y[n] é a convolução (tomada no período N): 
 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]∑
−+
+=
⋅−=
=∗=
)1N(
),1(,k
21
21
kxknx
nxnxny
l
Kll
 
 
Então, mostra-se que: 
y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
kkk ccNc
~
~
′′⋅′⋅=
 
 
 
 Primeira diferença: 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
[ ] [ ] [ ]1nxnxny −−=
 
então, mostra-se que: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
54
y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
( ) kN
2kj
k
kj
k ce1ce1c o ⋅







−=⋅−=′





 pi
ω
 
 
Nota: 
 
Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a “derivada” no 
caso contínuo. 
 
Para o caso de diferenças de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivas 
vezes. Por exemplo, no caso da segunda diferença, se 
 
[ ] [ ] [ ]2nxnxny −−=
 
 
os coeficientes de Fourier de y(t) são 
 
( ) k
2
N
2kj
k
2kj
k ce1ce1c o ⋅







−=⋅−=′′





 pi
ω
. 
 
 
 Soma acumulada: 
 
Suponha que 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck 
 
e que 
[ ]∑
−∞=
=
n
k
kx)t(y
 
 
então, mostra-se que: 
 
y[n] tem período T , ou seja tem frequência fundamental N
2
o
pi
=ω
 , 
 
e coeficientes de Fourier 
 
( ) k
N
2kj
kkjk c
e1
1
c
e1
1
c
o
⋅








−
=⋅
−
=





 piω
(
 
J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier 
 
 
55
Nota: 
 
No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x[n] periódicos e com va-
lores finitos. 
 
Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a integral no caso 
contínuo. 
 
Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas 
vezes. 
 
 
 
 Relação de Parseval: 
 
Suponha que 
 
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientesde Fourier ck 
 
então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período N: 
 
[ ]
∑
∑
−+
+=
−+
+=
=
=⋅=
)1N(
),1(,k
2
k
)1N(
),1(,n
2
c
nx
N
1P
l
Kll
l
Kll