Anuidades Constantes Lista

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
6a Lista de Matema´tica Financeira
Assunto: Anuidades Constantes Prof. Rafael Santos Semestre: 2016.1
Questa˜o 1: Calcule o valor dos fatores de valor presente ou futuro para anuidades, apresentados abaixo:
(a) a
7e4%
(b) a¨
12e6,5%
(c) 15
∣∣a
5e5%
(d) 4
∣∣a¨
30e2%
(e) 6
∣∣a¨
4%
(f) s
10e10%
(g) 50
∣∣s¨
6e9%
(h) 18
∣∣s
1%
Questa˜o 2: Calcule o valor presente e o montante das seguintes anuidades:
(a) Uma anuidade postecipada paga mensalmente, tempora´ria por 4 anos, com parcelas no valor de R$ 1.000
e com taxa de juros de 20% a.a., capitalizada mensalmente.
(b) Uma anuidade antecipada paga trimestralmente, tempora´ria por 2 anos, com diferimento de 1 ano, com
parcelas no valor de R$ 800 e com taxa de juros de 2% a.m.
(c) Uma anuidade perpe´tua postecipada paga anualmente, com parcelas no valor de R$ 5.000 e taxa de juros
de 5% a.t., capitalizada diariamente.
(d) Uma anuidade cont´ınua durante um per´ıodo de 7 anos, com capital total de R$ 25.000 e taxa efetiva de
juros de 10% a.s.
(e) Uma anuidade cont´ınua varia´vel, durante um per´ıodo de 44 meses, de acordo com a func¸a˜o R(t) = 1500−30t
(com t expresso em bimestres), com diferimento de 3 semestres e com taxa instantaˆnea de juros de 3% a.m.
Questa˜o 3: Calcule o menor nu´mero de termos (ou per´ıodos) que sa˜o necessa´rios para que as anuidades
descritas abaixo alcancem as condic¸o˜es estabelecidades:
(a) Uma anuidade antecipada paga mensalmente, com parcelas de R$ 500 e com taxa de juros de 1% a.m.,
capitalizada diariamente; consiga atingir um valor presente de pelo menos R$ 6.000.
(b) Uma anuidade postecipada paga bimestralmente, com diferimento de 7 meses, com parcelas de R$1.111
com taxa de juros de 16% a.a.; consiga atingir um valor presente de pelo menos R$ 5.000.
(c) Uma anuidade cont´ınua com valor total de R$ 2.000 por ano e com taxa de juros instantaˆnea de 0, 04%
a.d.; consiga atingir um valor presente de pelo menos R$ 13.000.
Questa˜o 4: Obtenha o valor da taxa de juros nas situac¸o˜es descritas abaixo, utilizado o me´todo de Baily-Lenzi:
(a) O valor atual de uma anuidade postecipada com 60 parcelas bimestrais de R$ 600 e´ igual a R$ 9.696, 85.
(b) O valor atual de uma anuidade antecipada com 5 parcelas anuais de R$ 3.000 e´ igual a R$ 11.200.
(c) O montante de uma anuidade diferida de 3 anos e postecipada com 11 parcelas trimestrais de R$ 1.234 e´
igual a R$ 23.456.
Questa˜o 5: Uma anuidade com pagamentos mensais durante 3 anos possui um montante que e´ igual ao valor
presente da anuidade, acrescido de R$ 17.000. Sabendo que o montante e´ tambe´m igual ao triplo do valor
presente, calcule o valor dos termos dessa anuidade.
Questa˜o 6: Uma pessoa deposita no fim de cada meˆs uma quantia de R$ 300, durante 15 meses, em uma
aplicac¸a˜o que rende juros de 20% a.a., capitalizada mensalmente. Considerando que ele pretenda resgatar o
capital por meio de 5 saques mensais iguais e consecutivos, sendo o primeiro deles quatro meses apo´s o u´ltimo
depo´sito, calcule o valor de cada saque.
Questa˜o 7: Uma mercadoria de R$ 6.000 sera´ paga da seguinte forma: Uma entrada de 40%, tantas prestac¸o˜es
mensais de R$ 900 forem necessa´rias, com a primeira vencendo treˆs meses apo´s a compra; e um pagamento
res´ıdual (de valor inferior a R$ 900), que sera´ pago um meˆs apo´s a u´ltima prestac¸a˜o de R$ 900. Considerando
que e´ cobrada uma taxa de juros de 1% a cada 10 dias, calcule o valor do pagamento residual.
Questa˜o 8: Um financiamento sera´ pago em 8 prestac¸o˜es mensais de R$ 66.000 e mais 14 prestac¸o˜es de
R$ 13.500 nos meses subsequentes. Considerando que as taxas de juros sejam de 4% a.m. durante o primeiro
ano e de 6% a.m. para o segundo ano, qual seria o valor de um pagamento u´nico a ser realizado daqui a 5 meses
que liquidaria todo o de´bito?
Questa˜o 9: Considere duas rendas bimestrais A e B com parcelas de igual valor R e dinheiro rendendo a uma
mesma taxa de juros de q% a.m. A renda A e´ antecipada e tempora´ria por 16 meses; enquanto que a renda B
e´ vital´ıcia postecipada, mas com careˆncia de k bimestres. Resolva os itens a seguir
(a) Se q = 2, 5 e k = 6, qual das rendas tem maior valor presente?
(b) Se q = 1, qual e´ o maior valor de k para o qual o valor presente da renda B e´ superior ao da renda A?
(Lembre que k tem que ser um nu´mero inteiro)
(c) Se k = 7, determine para qual intervalo de valores de q temos o valor presente da renda B superior ao da
renda A
(d) Escreva a expressa˜o expl´ıcita de uma func¸a˜o H(q, k,R) que fornec¸a para toda tripla (q, k,R) poss´ıvel, o
valor de PB − PA, onde PB e PA sa˜o respectivamente os valores presentes das rendas B e A.
Questa˜o 10: A prefeitura de uma cidade recebeu duas propostas para construc¸a˜o de uma passarela para
pedestres. A primeira propo˜e constru´ı-la de madeira, ao custo de R$ 10.000 e com a necessidade de uma
manutenc¸a˜o anual (indefinidamente) que vai custar R$ 1.000. A segunda propo˜e constru´ı-la de ac¸o, ao custo
de R$ 20.000 e com necessidade de uma manutenc¸a˜o a cada 5 anos (indefinidamente) que vai custar R$ 3.000.
Considerando um custo do capital de 5% a.a., identifique qual a proposta e´ mais vantajosa do ponto de vista
financeiro.
Questa˜o 11: O custo anual de manutenc¸a˜o de uma estrada e´ de R$ 50.000. Considerando esse custo como
uma perpetuidade constante realizada em regime de fluxo cont´ınuo, resolva os itens abaixo:
(a) Explicite (demonstre) a expressa˜o geral para se obter o valor presente de uma anuidade perpe´tua em fluxo
cont´ınuo com pagamentos totais iguais a Q a cada per´ıodo p; e com taxa de juros instantaˆnea de δ (definida
tambe´m com periodicidade p).
(b) Considerando uma taxa de juros efetiva semestral de 10%, calcule quanto de capital e´ preciso ter dispon´ıvel
hoje para arcar com todas as despesas futuras associadas a manutenc¸a˜o dessa estrada.
Questa˜o 12: Considere uma anuidade tempora´ria por m anos, em fluxo cont´ınuo, com capital me´dio aplicado
a cada ano igual a R$ 5.000. Sabendo que o valor presente dessa anuidade e´ igual a R$ 16.000 e que o montante
e´ igual a R$ 38.000, calcule o valor da taxa instantaˆnea mensal de juros dessa anuidade.
Questa˜o 13: Uma nova loja vai ser aberta e abaixo temos a relac¸a˜o dos custos e ganhos associados a ela:
• Um custo inicial de R$ 20.000 para preparac¸a˜o do local;
• Um custo semestral de R$ 3.000 para arcar com o aluguel do espac¸o (pago antecipadamente);
• Um custo mensal de R$ 1.000 para manter a loja em funcionamento apo´s aberta (considere fluxo cont´ınuo);
• Um ganho me´dio mensal de R$ 2.800 com as vendas, distribuido de modo cont´ınuo ao longo do tempo.
Considerando que e´ necessa´rio um per´ıodo de 6 meses para preparac¸a˜o da loja (ate´ que ela comece a funcionar);
e que a taxa de juros efetiva anual aplicada nesse fluxo de caixa seja de 12%, resolva os itens abaixo:
(a) Considerando que a loja vai ficar em funcionamento por 9 anos apo´s ser aberta, calcule o valor futuro do
lucro total que essa loja vai ter gerado ao final desse per´ıodo.
(b) Considerando que a loja vai ficar em funcionamento por um per´ıodo indefinido, calcule o valor presente do
lucro total que essa loja vai gerar.
Questa˜o 14: Responda qual das anuidades apresentadas abaixo possui um maior valor presente.
(i) Uma anuidade antecipada e tempora´ria por 7 anos, com pagamentos trimestrais no valor de R$ 777 e
taxa de juros semestral de 7% capitalizada diariamente..
(ii) Uma anuidade postecipada, diferida de 1.200 dias e tempora´ria por por 990 dias, com pagamentos
mensais no valor de R$ 1.000 e taxa de juros bimestral de 2%, capitalizada a cada per´ıodo de 15 dias.
(iii) Uma anuidade perpe´tua postecipada e diferida de 4 meses, com pagamentos anuais no valor de R$ 3.000
e taxa de juros efetiva mensal de 1, 5%.
(iv) Uma anuidade cont´ınua tempora´riapor 500 dias, com capital total investido de R$ 4.000 em cada
per´ıodo de 100 dias e taxa de juros instantaˆnea mensal de 1%.
Questa˜o 15: Considere que o ganho me´dio mensal de uma loja seja de R$ 2.000 e se comporte como um fluxo
cont´ınuo. Se essa loja vai ficar em atividade por 3 anos e supondo que esse fluxo esteja sujeito a uma taxa
de juros instantaˆnea varia´vel de acordo com a func¸a˜o δ(t) = 0, 001t, com t expresso em meses, calcule o valor
presente e o montante do ganho total obtido por essa loja.
(As respostas podem ficar em func¸a˜o de integrais)
RESPOSTAS:
Questa˜o 1: (a) 6, 0021 (b) 8, 6890 (c) 2, 0826 (d) 21, 1047
(e) 20, 5482 (f) 15, 9374 (g) 8, 2004 (h) ∞
Questa˜o 2: (a) P = R$ 32.859, 61 e S = R$ 72.661, 25 (b) P = R$ 4.137, 01 e S = R$ 8.439, 22
(c) P = R$ 22.590, 00 e S =∞ (d) P = R$ 13.802, 11 e S = R$ 52.413, 36
(e) P = R$ 8.830, 33 e S = R$ 56.723, 69
Questa˜o 3: (a) 13 meses (b) 6 bimestres (c) 20 anos
Questa˜o 4: (a) 5, 97534% a.b. (b) 17, 1893% a.a. (c) 10, 4746% a.t.
Questa˜o 5: R$ 395, 09
Questa˜o 6: R$ 1.118, 33
Questa˜o 7: R$ 689, 93
Questa˜o 8: R$ 695.091, 80
Questa˜o 9: (a) Renda B (b) k = 95 (c) [ 0 ; 0,04275 ) (d)R
[
(1 + q)16 − 1
(1 + q)14[(1 + q)2 − 1] −
(1 + q)−2k
[(1 + q)2 − 1]
]
Questa˜o 10: Construir de madeira ( R$ 30.000 < R$ 30.858, 55 )
Questa˜o 11: (a) P =
Q
δ
(b) R$ 262.302, 00
Questa˜o 12: 1, 50767% a.m.
Questa˜o 13: (a) R$ 173.884, 50 (b) R$ 116.139, 20
Questa˜o 14: Opc¸a˜o (ii), com valor R$18.773, 28 ( ii > iv > iii > i )
Questa˜o 15: (a) P = 2.000
[∫ 36
0
e−0,0005t
2
dt
]
(b) S = 3.823, 43
[∫ 36
0
e−0,0005t
2
dt
]