Juros Compostos

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
2a Lista de Matema´tica Financeira
Assunto: Juros Compostos Prof. Rafael Santos Semestre: 2016.1
Questa˜o 1: Calcule o valor do montante para cada uma das aplicac¸o˜es abaixo no regime de juros compostos:
(a) R$ 500 a 5% a.m por 6 meses.
(b) R$ 3.000 a 25, 87% a.a por 2 anos.
(c) R$ 7.537 a 14% a.t por 270 dias.
(d) R$ 2.000 a 1, 1% a.m por 2 anos 2 trimestres e 2 meses.
(e) R$ 5.000 a 3% a.m por 317 dias (considerando as convenc¸o˜es exponencial e linear).
Questa˜o 2: Determine a taxa de juros composta mensal que transforma um capital de R$2.000 em:
(a) R$ 2.500 apo´s 4 meses.
(b) R$ 7.600 apo´s 3 anos.
(c) R$ 3.720 apo´s 222 dias (utilizando a convenc¸a˜o exponencial).
(d) R$ 2.400 apo´s 50 dias (utilizando as convenc¸o˜es exponencial e linear).
Questa˜o 3: Calcule as taxas bimestral e trimestral equivalentes as seguintes taxas, no regime de juros compostos
(utilize a convenc¸a˜o exponencial quando necessa´rio):
(a) 150% a.a.
(b) 3, 2% a.m.
(c) 0, 15% a.d.
(d) 13% a cada 7 meses.
Questa˜o 4: Determine o valor a ser pago por um empre´stimo de R$ 5.000 levantado no dia 20/02 a` taxa
de juros compostos mensais de 3% a.m e com vencimento para 13/8 desse mesmo ano. Resolva utilizando as
convenc¸o˜es linear e exponencial.
Questa˜o 5: Um investidor aplicou R$ 10.000 por 12 meses em uma modalidade de investimento que utiliza o
regime de juros compostos e possui as seguintes taxas: 2% a.m nos primeiros 5 meses, 6, 5% a.m. nos 3 meses
subsequentes e 3, 2% a.m. nos 4 u´ltimos meses. Calcule o rendimento total desse investimento.
Questa˜o 6: Considere que um capital P foi aplicado por 17 meses a uma taxa de 1, 2% a.m. no regime de
juros compostos e rendeu juros de R$ 7.350.
(a) Calcule o valor de P .
(b) Suponha que esse mesmo capital P foi aplicado tambe´m por 17 meses e a` uma mesma taxa de 1, 2% a.m.,
mas no regime de juros simples. Calcule a diferenc¸a entre os rendimentos desses 2 investimentos.
Questa˜o 7: Um devedor precisa pagar os seguintes valores para quitar uma d´ıvida: R$ 1000 daqui a 3 meses,
R$ 1.500 daqui a 7 meses e R$ 800 daqui a 9 meses. Ao inve´s disso, ele se propo˜e a pagar 2 valores iguais,
sendo um deles agora e o outro daqui a 1 ano. Considerando uma taxa de juros composta de 4, 5% a.m, calcule
qual deve ser o valor desses 2 pagamentos para que a d´ıvida possa ser realmente quitada dessa forma.
Questa˜o 8: Um comprador tem 3 opc¸o˜es diferentes para pagar por um determinado produto. Avalie do ponto
de vista puramente financeiro, qual delas e´ a melhor para o comprador, considerando que o dinheiro desse
comprador fica aplicado e rendendo a uma taxa de juros composta de 2% ao meˆs.
(i) Pagar R$ 5.000 a vista.
(ii) Pagar R$ 2.000 a vista, e depois mais 3 parcelas a serem pagas de 2 em 2 meses no valor de R$ 1.200 cada.
(iii) Na˜o pagar nada a vista, pagar uma parcela de R$ 1.500 nos meses 1 e 7; e depois pagar uma parcela de
R$ 1.300 nos meses 9 e 11.
Questa˜o 9: Considere que os 3 investimentos descritos abaixo sejam equivalentes, ou seja, que no te´rmino do
pe´riodo da aplicac¸a˜o, os investidores ira˜o resgatar um mesmo valor.
(i) Uma aplicac¸a˜o de um capital P por 10 meses a uma taxa de 4% a.m.
(ii) Uma aplicac¸a˜o de R$ 3.000 por 7 meses a uma taxa de q% a.m.
(iii) Uma aplicac¸a˜o de R$ 500 por n meses a uma taxa de 6% a.m. (utilizando convenc¸a˜o exponencial)
Calcule os valores de P , q e n, sabendo que ha´ a seguinte relac¸a˜o entre eles:
[
e0,116538
]n
= [ P (q + 1) ]
7
8 .
Questa˜o 10: Considere que um capital inicial P sera´ aplicado a` uma taxa de juros composta i% a.m. por n
dias, sendo n na˜o mu´ltiplo de 30. Prove que o valor calculado para o montante utilizando a convenc¸a˜o linear
sera´ maior que o valor calculado pela convenc¸a˜o exponencial. (Em outras palavras, prove que a utilizac¸a˜o da
convenc¸a˜o linear levara´ sempre a um montante com valor superior ao obtido utilizando a convenc¸a˜o exponencial).
Nota: Essa demonstrac¸a˜o equivale a provar que, para aplicac¸o˜es com per´ıodo inferior a 1 unidade, temos
um maior rendimento atrave´s do regime de juros simples do que utilizando juros compostos.
Dica: Lembre que, por definic¸a˜o, se uma func¸a˜o h(x) e´ convexa, enta˜o toda reta secante da curva h(x) estara´
acima dessa curva.
RESPOSTAS:
Questa˜o 1: (a) R$ 670, 05 (b) R$ 4.752, 90 (c) R$ 11.166, 07
(d) R$ 2.984, 00 (e) Linear: R$ 6.833, 73 Exponencial: R$ 6.830, 00
Questa˜o 2: (a) 5, 737% a.m. (b) 3, 778% a.m.
(c) 8, 748% a.m. (d) Exponencial: 11, 56% a.m Linear: 11, 47% a.m
Questa˜o 3: (a) 25, 74% a.t e 16, 5% a.b (b) 10, 911% a.t e 12, 080% a.b
(c) 14, 442% a.t e 9, 41% a.b (d) 5, 378% a.t e 3, 555% a.b
Questa˜o 4: Exponencial: R$ 5.929, 20 e Linear: R$ 5.929, 82
Questa˜o 5: R$ 5.127, 58
Questa˜o 6: (a) R$ 32.695, 73 (b) R$ 680, 07
Questa˜o 7: R$ 1.583, 27
Questa˜o 8: Opc¸a˜o (iii) e´ melhor (possui menor valor comparativo)
Questa˜o 9: P = R$ 44.046, 51 q = 55, 2436% n = 83, 588 meses
Questa˜o 10: — X —