Ótica - Oscilacoes 1

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Curso: Engenharia 
Disciplina: complementos de Física 
Professor: Douglas 
Assunto: Oscilações 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 Oscilações 
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de um certo instante começa 
a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o corpo gasta para voltar a 
percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período. 
No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como 
o pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos descrevem um vai e 
vem em torno das suas posições de equilíbrio; Órbita da Lua, exemplo de movimento periódico; O 
movimento das marés é provocado, principalmente pela atração da gravidade lunar. O movimento das 
marés é periódico. 
 
 O movimento harmônico simples - MHS 
O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e portanto o objeto passa 
novamente por uma dada posição depois de um período T . O objeto oscila periodicamente em torno de 
uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora cuja intensidade é proporcional à 
distância do ponto à posição de equilíbrio. Período (T ) é o inverso da a frequência ( f ) de oscilação: 
 
 Um exemplo típico de aparato que se movimenta segundo um MHS é sistema massa-mola. Uma 
mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra extremidade está presa em um 
corpo que está sobre um superfície sem atrito. 
Quando deslocado de sua posição de equilíbrio o corpo começa a oscilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figura 
à seguir. 
Em cada posição ocupada, o corpo terá uma velocidade correspondente, como veremos 
mais adiante. 
 
 
 
 
 Também em cada posição, ele terá uma aceleração correspondente. Tanto a aceleração quanto a 
velocidade variam à medida que a posição se altera. 
 O gráfico da posição em função do tempo toma diversas formas quando modificamos 
a amplitude, frequência ou constante de fase. 
 
 Quando alteramos a amplitude de oscilação, o movimento se consuma paradeslocamentos 
máximos diferentes, mas 
com mesma frequência e mesma constante de fase. Desse modo os dois movimentos alcançam os 
extremos no mesmo instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando aumentamos a frequência (e consequentemente diminuímos o período), os movimentos 
terão a forma descrita a seguir onde a função de maior período é a vermelha e a de menor período é azul. 
 
 
 
 
 Quando variamos a constante de fase, a função mantém a forma, mas sofre um deslocamento, 
como é mostrado a seguir. 
 
 
 
 Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de um 
tempo igual ao período T , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações horárias do MHS: 
 
Vamos considerar um corpo que descreve um movimento circular e uniforme, com velocidade 
constante v em um círculo de raio R . O vetor posição 	ݎሬሬ⃗ (t) que descreve a trajetória do corpo tem 
módulo constante, e suas projeções nos eixos cartesianos são dadas 
por: 
 
 Seja o ponto Q projeção ortogonal de P no eixo orientado 
Ox. Enquanto P descreve a circunferência em MCU, o ponto Q se 
move num e noutro sentido do diâmetro horizontal orientado Ox. A 
posição de Q no eixo Ox é dada pela abscissa x, que pode ser 
obtida no triângulo OPQ. Pela definição de cosseno: 
 X = R . COS߮ 
 Como R = a, isto é , o raio da circunferência igual à 
amplitude a , temos : X = a . COS ߮. 
 O ângulo ߮ é o espaço angular do ponto P que realiza 
MCU. Sendo ߮ = 	߮଴ + 	߱ݐ. 
 Assim a equação horária do espaço é descrita: 
 
 ݔ = ܽ	. cos(	߱ݐ + 	߮଴	) 
 
Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação 
 
 
 
 
Quando a constante de fase assume o valor ߮ = 	−	ߨ/2 a equação anterior, que descreve o 
movimento do corpo, tem a forma: 
 
 Assim P descreve a circunferência com MCU, o ponto Q oscila em torno de O com MHS. A 
velocidade angular ߱ do MCU é, no MHS denominada pulsação ou frequência angular e expressa em 
radianos por segundo ( rad /s ). O período T do MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta completa de 
P na circunferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro horizontal. Podemos então 
escrever: 
 
 ߱ = 	 ଶగ
்
 ou ܶ = 	 ଶగ
ఠ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MHS – A velocidade 
 A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a partir da velocidade de P em MCU. No triângulo 
destacado ABP da figura, a velocidade v de Q é a projeção da velocidade do ponto P no eixo Ox. Como o 
sentido dessa velocidade é contrário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ( - ). 
 
 
 
 V = -vp . sen߮ 
 
 Como vp = ܴ߱ ou vp = ߱a e ߮ = 	 ߮଴ + 	߱ݐ , 
obtemos: 
 
 ܸ = 	−	߱ܽ	. ݏ݁݊	(	߱ݐ + 	߮଴	) 
 
 A velocidade no MHS também pode ser dado pela 
variação do espaço pelo tempo, assim temos: 
 
 
 
 
MHS – A aceleração 
 
 
 A aceleração de P’ em MHS pode ser obtida a partir da 
aceleração centrípeta de P em MCU. A aceleração P’ é a projeção da 
acp no eixo Ox. Como o sentido da aceleração é contrário ao sentido 
positivo de Ox, acrescentamos o sinal negatico ( - ). 
ܽ௧ = 	−	ܽ௖௣	. cos߮ 
 ܿ݋݉݋	ܽ௖௣ = 	߱ଶ.ܴ				݋ݑ			ܽ௖௣ = 	߱ଶ .ܽ							݁		߮ = 	 ߮଴ + 	߱ݐ 
 Obtemos: 
 ܽ௧ = 	−	߱ଶ. ܽ	. cos(	߱ݐ + ߮଴) 
 
Como temos que a função horária do espaço é: ݔ = ܽ	. cos(	߱ݐ +
߮଴)	 então podemos escrever que a aceleração 
 No MHS é ܽ = 	 ߱ଶ	.ݔ 
 
 
 
 
A aceleração no MHS também pode ser encontrada pela variação da velocidade pelo tempo , 
assim temos: 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MHS – A Lei da força 
 
 Considerando um sistema massa – mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo que a resultante 
das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, encontramos que: 
 
 
 Mas: 
 
Então : 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Um bloco cuja a massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica K = 65 N/m. O 
bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição de 
equilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. 
a) Quais são a frequência angular , a frequência e o período do movimento resultante? 
b) Qual é a amplitude das oscilações? 
c) Qual é a velocidade máxima Vm do bloco e onde se encontra o bloco quando tem essa 
velocidade? 
d) Qual é o módulo am da aceleração máxima do bloco? 
e) Qual é constante de fase do movimento? 
Solução: 
 
a) ߱ = 	ට௞
௠
= 	ට଺ହ	ே/௠
଴,଺଼	௞௚ = 9,78	ݎܽ݀/ݏ ݂ = 	 ఠଶగ = 	 ଽ,଻଼ೝೌ೏ೞଶగ	௥௔ௗ 	= 1,56	ܪݖ	 
ܶ = 	 1݂ = 	 11,56ܪݖ = 0,64	ݏ		݋ݑ	640	݉ݏ 
b) Na ausência de atrito a energia mecânica se conserva assi a amplitude máxima é 11 cm, pois toda 
que ele estiver nessa posição sua energia cinética será nula e a energia potencial elástica será 
máxima. 
c) ݒ௠á௫ = 	߱	.ݔ௠ = ቀ9,78 ௥௔ௗ௦ ቁ . (	0,11	݉	) = 1,1௠௦ . 
d) ܽ௠á௫ = 	 ߱ଶ	.ݔ௠ = (	9,78 ௥௔ௗ௦ )ଶ	. (	0,11	݉	) = 11	݉/ݏଶ 
e) No instante inicial temos t = 0 e x = xm assim usando a equação do espaço temos: 
ݔ = 	 ݔ௠	. cos(	߱ݐ + 	߮	) 				→		 ݔ௠ = 	 ݔ௠ 	. cos߮		 → 			1 = cos߮		 assim o arco cosseno vale o rad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear como o da figura abaixo é – 8,50 
cm.( Leia x(0) como “x no instante zero”) A velocidade do bloco v(0) nesse instante é – 920 m/s, 
e a aceleração a(0) é + 47 m/s2. 
a) Qual é a frequência angular ߱ desse sistema? 
b) Quais são os valores da constante de fase ߮ e da amplitude xm? 
Solução:a) Dividindo a equação ܽ(0) = 	−߱ଶ	. ݔ௠ . cos߮ pela equação ݔ(0) = 	 ݔ௠ 	. cos߮	 eliminamos xm 
e ߮ assim podemos calcular o valor de ߱	 
ܽ(0)
ݔ(0) = −߱ଶ	. ݔ௠. ܿ݋ݏ߮ݔ௠ 	. cos߮	 		→ 		߱ = 	ඨ− 	ܽ(0)ݔ	(0) 					→ 		߱ = 	ඨ −	47 ݉ݏଶ−	0,0850	݉ = 23,5ݎܽ݀ݏ . 
b) Dividindo a equação da velocidade pela equação do espaço temos: 
௩(଴)
௫(଴) = 	ିఠ	.௫೘	ೞ೐೙	ഇ௫೘	.ୡ୭ୱఝ	 			→ 	 ௩(଴)௫(଴) = 	−	߱. ݐ݃ߠ		 → ݐ݃	ߠ = 	−	 ି	଴,ଽଶ଴೘ೞ(ଶଷ,ହ	௥௔ௗ).(	ି ଴,଴଼ହ଴	௠	) 		→ 		ݐ݃ߠ = 	−0,461		
 
Esta equação possui duas soluções: 
 
ߠ = 	−25º	݁	ߠ = 155º porém se utilizarmos o valor de – 25º encontramos um espaço negativo. 
ݔ௠ = 	 ௫(଴)ୡ୭ୱఏ = 	ି	଴,଴଼ହ଴௠ୡ୭ୱି º = 	−0,094	݉ então a constant de fase é 155º e a amplitude é 0,094m. 
 
 
Energia no MHS 
 
 Considerações sobre energia 
 
A energia potencial elástica de um sistema massa – mola é definido como: 
 
 
 
A energia cinética desse sistema é definida como: 
 
 
 
Se considerarmos que m w 2 = k , encontramos que: 
 
 
A energia mecânica E , definida como a soma das energias cinética K e potencial 
U , terá a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Um ponto material de massa m = 0,1 kg oscila em torno da posição O, realizando um MHS, na 
ausência de forças dissipativas. A energia mecânica total do sistema é 0,2 J e a constante elástica 
da mola vale: 40 N/m. Determine: 
a) A amplitude da oscilação; 
b) O módulo da velocidade máxima do ponto material; 
c) O período de oscilação; 
Solução: 
 
a) ܧ௠௘௖ = 	௄.஺మଶ 				→ 		0,2 = 	 ସ଴	.஺మଶ 			→ 		0,4 = 40	.ܣଶ 			→ 			ܣ	√10ିଶ 			= 0,1	݉ 
b) ܧ௠௘௖ = 	 ܧ஼ = 	௠	.௩మ೘áೣଶ 				→ 		0,4 = 	0,1	.ݒଶ௠á௫ 				→ 		 ݒଶ௠á௫ = 4					 → 		 ௠ܸá௫ = 2	݉/ݏ	 
c) ܶ = 2ߨ	ට௠
௞
			 → 		ܶ = 2ߨ	.ට଴,ଵ
ସ଴
		 				→ ܶݑ݉ܽ	݁݊݁ݎ݃݅ܽ	 = 2ߨ	.ඥ0,0025 						→ 		ܶ = 2ߨ. 0,05	 =0,3	ݏ 
 
2) Um sistema oscilatório bloco – mola possui uma energia mecânica de 1,00 J , uma amplitude de 
10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m/s. determine: 
a) A constante elástica; 
b) A massa do bloco; 
c) A frequência de oscilação. 
Solução: 
 
a) ܧ௠௘௖ = 	௄	.		஺మଶ 			→ 		2,00 = ݇. (0,1ଶ) 		→ 		݇ = 	 ଶ,଴଴଴,଴ଵ 	= 200	ܰ/݉	 
b) ܧ௠௘௖ = ܧ௖ → ܧ௠௘௖ = 	௠	.௩మ೘áೣଶ 		→ 1,00 = 	௠	.൫ଵ,ଶమ൯ଶ → 1,00 = 	ଵ,ସସ௠ଶ 	→ ݉ = 	 ଶଵ,ସସ = 1,4	݇݃ 
c) ܶ = 2ߨ	.ට௠
௞
	 		→ 		ܶ = 6,28	.ට ଵ,ସ
ଶ଴଴
		→ 		ܶ = 6,28	. 0,084 = 0,53	ݏ		; 			݂ = 	 ଵ
்
= 	 ଵ
଴,ହଷ = 1,9	ܪݖ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo em Mola Vertical 
 
Quando um corpo é pendurado em uma mola vertical existe uma força mg, para baixo, além da 
força da mola. Se escolhemos o sentido de y positivo para baixo, então a força da mola sobre o corpo é – 
Ky, onde y é a distensão da mola. A força resultante sobre o corpo é , então: 
 
෍ܨ௬ = 	−݇ݕ + ݉݃	 
 
 
 
 
 Porém podemos reescrever a equação acima usando uma nova variável: ( ݕᇱ = ݕ + ݕ଴) onde y0 = 
mg/k é o que a mola é destendida quando o corpo está em equilíbrio. Substituindo y por y’ temos: 
 
ܨ௬ = 	−݇	(	ݕ + 	 ݕ଴) + ݉݃							 → 			 ܨ௬ = 	−݇ݕ′ − ݇ݕ଴ + ݉݃ usando o valor de y0 a equação fica: 
 
ܨ௬ = 	−݇ݕ′ − ݇.݉݃݇ + ݉݃					 → 			ܨ௬ = 	−݇ݕ′ 
 
 Usando a 2ª Lei de Newton ∑ܨ௬ = ݉. ܽ௬ temos: 
 
 −݇ݕᇱ = ݉	. ܽ௬ 				→ 	−݇ݕᇱ = ݉	. ௗమ.௬ᇲௗ.௧మ 				→ 		݅ݏݏ݋	݊݋ݏ	݈݁ݒܽ	ܽ	݁ݍݑܽçã݋		ݕᇱ = ܣ cos(߱ݐ + 	߮	) 
onde ߱ = 	ට௞
௠
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Uma pessoa de 85 kg entra em uma carro de 2400 kg de massa, fazendo com que suas molas 
sejam comprimidas de 2,35 cm. Se uma oscilação vertical é iniciada e supondo ausência de 
amortecimento, qual é a frequência de vibração, sobre as molas, do carro e do passageiro? 
Solução: 
 
 
 → 								→ 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um corpo de massa m está suspenso de uma mola vertical de constante de força igual a 1800 N 
/m. Quando o corpo é puxado até 2,50 cm abaixo do equilíbrio e largado do repouso, ele oscila 
com 5,50 Hz. 
a) Determine m. 
b) Determine de quanto a mola está destendida, quando o corpo está em equilíbrio? 
c) Escreva as expressões para o deslocamento x , a velocidade vx e a aceleração ax, como funções 
do tempo t. 
Solução: 
 
→ 		→ → a) 
 
 
 
 
 
→ b) 
 
 
→ c) 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um oscilador harmônico simples angular - O pêndulo de torção 
 
Vamos considerar um disco preso a um fio que passa pelo seu centro e perpendicular à sua 
superfície, como mostra a figura abaixo. Se giramos o disco à partir de sua posição de equilíbrio ( ߠ = 0 ) 
e depois soltarmos, ele irá oscilar em torno daquela posição em Movimento Harmônico Simples - MHS 
entre os ângulos ( ߠ = −	ߠெ) e (	ߠ = +	ߠெ ). 
Rodando o disco de um ângulo ߠ em qualquer direção, faremos surgir um torque restaurador 
dado por: 
߬ = 	 −݇ߠ 
onde kapa (	݇ ) é a constante de torção. 
 
 
 
Como a força restauradora é a única que atua no plano do disco, ela provocará o 
torque resultante: 
߬ = ܫ	.ߙ 
onde I é o momento de inércia do disco e ߙ é a sua aceleração angular. Desse modo, 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim podemos definir a equação da frequência angular de oscilação e o período do pêndulo de 
torção: 
 
 
 
 
Pêndulos 
 
Os pêndulos fazem parte de uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a força 
restauradora está associada à gravidade, ao invés das propriedades elásticas de um fio torcido ou de uma 
mola comprimida. 
 
O pêndulo simples 
 
O pêndulo simples é composto de um corpo suspenso através de um fio de massa desprezível, e 
ele é posto a oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. 
No seu movimento a corpo descreve um arco de circunferência. A componente do peso, tangencial 
ao deslocamento é a força de restauração desse movimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo de 
volta à sua posição central de equilíbrio. 
 
 
A componente do peso, perpendicular ao deslocamento é 
equilibrada pela tração exercida pelo fio, de modo que a resultante 
das forças tem a forma: 
 
 
onde s é o deslocamento medido ao longo do arco que 
descreve a oscilação, e o sinal negativo indica que a força age na 
direção da posição de equilíbrio - como no caso do sistema massa - 
mola. O arco s é definido como 
 
E temos como solução: 
 
 
 
 
 Assim a equação que define a frequência angular de oscilação e o período do pêndulo simples é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O pêndulo físico 
 
A maior parte dos pêndulos do mundo real não é nem ao menos aproximadamente simples. 
Vamos considerar um objeto de forma arbitrária, que pode oscilar em torno de um eixo que passa 
pelo ponto O , perpendicular à folha de papel. O eixo está a uma distância h do centro de massa, onde 
atua a força peso. 
Quando o pêndulo da figura ao lado é deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo θ , 
surge um torque restaurador 
 
 
 com módulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e esse é o torque resultante, portanto: 
 
 
 
Ou seja: 
 
 A equação abaixo define a frequência angular de oscilação e o período do pêndulo 
físico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) A figura abaixo mostra uma barra fina cujo comprimento L é 12,4 cm e cuja massa m é 135 g , 
suspensa em um fio longo pelo ponto médio. O período Ta do seu MHS angular é medido como 
sendo 2,53 s. Um objeto de forma irregular, que será chamado de objeto X, é pendurado no 
mesmo fio, e o seu período Tb é medido como sendo 4,76 s. Qual é o momento de inérciado 
objeto X em relação ao eixo de suspensão? 
 
 
Solução: 
 
O momento de inércia tanto da barra quanto do objeto X está relacionado ao 
período . 
Temos que primeiro calcular o momento de inércia da barra em torno 
de um eixo per-pendicular passando pelo ponto médio. ܫ = 	 ଵ
ଵଶ
	ܯܮଶ 
 
ܫ = 	 112 	ܯ	ܮଶ 		→ 		ܫ = 	 112	 . (0,135	݇݃). (0,124	݉	)ଶ 				→ 			ܫ= 1,73	. 10ିସ	݇݃.݉ଶ 
 
Agora usamos a fórmula do período para barra e para o objeto X. 
௕ܶ = 2ߨ.ටூ್௞ 										݁			 ௢ܶ = 2ߨ	.ටூ೚௞ elevando os dois membro da equação ao quadrado temos: 
 
௕ܶ
ଶ = 4ߨଶ	. ூ್
௞
							݁				 ௢ܶ
ଶ = 4ߨଶ	. ூ೚
௞
	 
 
 A constante k que é uma propriedade do fio , é a mesma nos dois casos, então se dividirmos a 
segunda equação pela primeira podemos explicitar Io na equação resultante. Assim temos: 
 
௢ܶ
ଶ
௕ܶ
ଶ 	= 		4ߨଶ	. ܫ௢݇4ߨଶ	. ܫ௕݇ 					→ 		 ܫ௢ = 	 ܫ௕ 	. ௢ܶ
ଶ
௕ܶ
ଶ 					→ 		 ܫ௢ = 1,73. 10ିସ	. (4,76ݏ)ଶ(2,53ݏ)ଶ 						→ 			 ܫ௢ = 6,12	݇݃.݉ଶ 	 
 
 
2) Na figura abaixo uma régua de um metro oscila em torno de um ponto fixo em uma das 
extremidades, a uma distância h do centro de massa da régua. 
a) Qual é o período de oscilação T ? 
b) Qual é a distância L0 entre o ponto fixo O da régua e o 
centro de oscilação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
A régua não é um pêndulo simples pois sua massa não está concentrada na extremidade ao ponto 
fixo; A régua é um pêndulo físico. 
 
a) Usamos a fórmula do período para um pêndulo físico; 
ܶ = 2ߨ	.ඨ ܫ
݉݃ℎ
					→ 		ܶ = 2ߨ	.ඩ13 	݉ܮଶ
݉݃
ܮ2 					→ 			ܶ = 2ߨ	.ඨ2ܮ3݃ 			→ 		ܶ = 6,28	.ඨ2	. 1,0	݉3	. 9,8݉ݏଶ 										→	 
 
ܶ = 		6,28	.ඨ 2	݉29,4	݉/ݏଶ 					→ 				ܶ = 6,28	.		0,26	 = 		1,64	ݏ 
 
b) Estamos interessados em determinar o comprimento L0 do pêndulo simples desenhado na 
figura (b) que possui o mesmo período que o pêndulo físico ( a régua ), assim igualando as 
equações dos períodos encontramos: 
 
ܶ = 2ߨ	.ඨܮ଴
݃
				= 2ߨ	.ඨ2ܮ3݃					 					→ 					 ܮ଴ୀ	 	2	ܮ3 				= 			2	. 100	ܿ݉3 	= 66,7	ܿ݉ 
 
 
MHS amortecido 
Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma duração finita, 
eles têm um começo e um fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo indefinido. Isso acontece, 
basicamente, devido a atuação de forças dissipativas tais como as forças de atrito tal movimento é dito 
amortecido. 
Se o amortecimento é suficientemente grande como, por exemplo, um pêndulo mergulhado em um 
melado, o oscilador não chega a completar nem um cicle de oscilação, retornando ao equilíbrio, 
limitando-se a retornar ao equilíbrio com uma rapidez que se aproxima de zero a medida que o corpo se 
aproxima da posição de equilíbrio. Este tipo de movimento é chamado de Super-amortecido. 
Se o amortecimento é suficientemente pequeno para que o sistema oscile com uma amplitude que 
diminui lentamente com o tempo dizemos que o movimento é Sub-amortecido. 
Se o movimento não resulta em oscilação ele é chamado de criticamente amortecido. 
Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por uma função que 
depende linearmente da velocidade. 
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k com uma das 
extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m . Nesse corpo está presa uma 
haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um anteparo que está mergulhado em um líquido. 
Quando o anteparo se move no líquido esse movimento é amortecido por uma força que surge devido à 
viscosidade do líquido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa força dissipativa pode ser descrita por uma equação do tipo: 
 
FA = - bv 
 
onde b é chamado de constante de amortecimento. A resultante das forças que atuam no corpo de 
massa m é dada por: 
 
 
Substituindo a velocidade por dx/dt e a aceleração por d2 v/dt2 e reagrupando os termos, obtemos a 
equação diferencial. 
 
 A solução desta equação é: 
 
 
Onde xm é a amplitude e ߱஺ é a frequência angular do oscilador amortecido, esta frequência angular é 
dada por: 
 
߱஺ = 	ඨ݇݉ 	−	 ܾଶ4݉ଶ 
 
 
 
A função deslocamento x ( t ) do oscilador amortecido, 
observamos que diminui exponencialmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A amplitude de uma oscilação amortecida onde a constante de amortecimento b é igual a ( 
௕
ଶ௠ఠబ
≪ 1) pode ser encontrada pela equação: 
ܣ = 	 ܣ଴. ݁ିቀ ௕ଶ௠ቁ.௧ 
 
A medida que a constante de amortecimento b aumenta, a frequência angular ߱′ diminui até se 
tornar zero no valor crítico. 
 
ܾ௖ = 2݉߱଴ 
Quando b é maior ou igual a bc , o sistema não oscila. 
 
Se b > bc o sistema é super – amortecido;( Um exemplo típico dessa situação é a porta dos 
escritórios. Quando alguém passa pela porta ela inicia a um movimento em direção ao repouso na 
posição de equilíbrio) . 
Para um movimento Super amortecido temos: 
 
 
 
 
Se b = bc , o sistema é dito criticamente amortecido e o corpo retorna ao equilíbrio ( sem 
oscilação) muito rapidamente. ( molas da suspensão de um carro ). Frequentemente usamos o 
amortecimento crítico quando desejamos que um sistema não oscile mas retorne rapidamente ao 
equilíbrio. 
 
 
Se b < bc , o sistema é dito sub – amortecido. (Um exemplo típico dessa situação é a porta dos 
saloons dos filmes de bang-bang. Quando alguém passa pela porta ela inicia a oscilação com uma 
grande amplitude, que vai diminuindo com o tempo). 
 Para um movimento sub – amortecido temos: 
 
 
 
 
 
 
Se o oscilador é amortecido a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo. Se o 
amortecimento é pequeno, podemos determinar a energia de um oscilador amortecido. 
ܧ(ݐ) ≈	12 	ܭ	.ݔ௠ଶ	. ݁ି	௕௧/௠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Em um automóvel, a massa que as molas sustentam é de 1100 kg e a massa não sustentada é 
de 250 kg. Se os quatros amortecedores são removidos, o automóvel oscila sobre as molas com 
uma frequência de 1,0 Hz. Qual é a constante de amortecimento associada aos quatro 
amortecedores se , com eles, o automóvel retorna ao equilíbrio o mais rápido possível, sem 
oscilar, após passar por um quebra – molas? 
Solução: 
 
bc = 2 . m . ߱଴ → bc = 2 . 1100 . 1,0 = 2200 kg/s 
 
 
2) Para um oscilador amortecido de massa m = 250 g , K = 85 N/m e b = 70 g/s determine: 
a) O período de movimento; 
b) O tempo necessário para que a amplitude das oscilações se reduza à metade do valor 
inicial; 
c) O tempo necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial. 
 
Solução: 
 
a) ܶ = 2ߨ	ට௠
௞
					→ 			ܶ = 6,28	.ට଴,ଶହ	௞௚
଼ହ	ே/௠ 	= 0,34	ݏ 
 
b) A amplitude é dada pela equação: ݔ௠݁ି௕௧ ଶ௠⁄ 
 
ݔ௠݁
ି௕௧ ଶ௠⁄ = 	 ଵ
ଶ
	ݔ௠ 	 temos que ln൫	݁ି௕௧ ଶ௠⁄ ൯ = 	−ܾݐ 2݉⁄ 
 
−ܾݐ 2݉⁄ = ݈݊	12 	ݔ௠ 		→ 		ݐ = 	−2݉ ln 12ܾ 			→ 		ݐ = 	−(2)(0,25)(݈݊12)0,070	݇݃/ݏ 	= 5,0	ݏ 
 
c) ଵ
ଶ
݇ݔଶ௠݁ି௕௧ ௠
⁄ = 	 ଵ
ଶ	
	ቀ
ଵ
ଶ
݇ݔଶ௠ቁ 				→ 		 ݁ି௕௧ ௠
⁄ = 	 	భమ		ቀభమ௞௫మ೘ቁ	భ
మ
௞௫మ೘
					→ 		 ln( ݁ି௕௧ ௠⁄ ) 	= ݈݊ ଵ
ଶ
	 
 
−ܾݐ ݉	 = ݈݊ 12 					→ 			ݐ = 	−݉	. ln 12ܾൗ 			→ 		ݐ = 	 (0,25	݇݃)(	݈݊ 12)0,070	݇݃/ݏ 	= 2,5	ݏ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oscilações Forçadas e Ressonância 
 
 Até o presente momento, analisamos o caso de oscilações livres, onde não havia nenhuma fonte 
externa de energia atuando sobre o sistema. Esta fonte atuava somente no início do processo, quando 
sistema era tirado de sua posição de equilíbrio e abandonado logo em seguida. A oscilação era 
conseqüência de uma força restauradora, proporcional ao deslocamento, e o sistema oscilava com a 
frequência 
 (1) 
 
 
 vamos supor a existência de uma fonte de energia atuando ininterruptamente sobre o sistema. Mais 
ainda: vamos supor que esta fonte seja periódica de freqüência ߱a qual,em princípio, não tem nenhuma 
relação com aquela dada por (1). Esta freqüência é produzida pela fonte externa, ao contrário de (1) que é 
definida a partir das constantes do sistema. 
 Seja então a força externa que atua sobre o sistema. A equação diferencial que 
rege o movimento será então: 
 
(2) 
 
 todos já devem ter passado pela experiência de, ao empurrarmos um balanço, notar que este não 
responde, de início, de forma satisfatória. 
Somente após um certo intervalo de tempo é que ele balança da forma desejada. Com aparelhos 
elétricos isto também ocorre, ou seja, decorre um certo tempo (curto) para o aparelho operar de forma 
regular. 
Identificamos aí dois regimes de funcionamento: um, chamado de regime transitório, onde o 
sistema não funciona de forma regular e outro, chamado de regime estacionário, onde o sistema funciona 
com a resposta esperada. 
Em nosso sistema (uma massa submetida a uma força restauradora e de amortecimento) o regime 
transitório deve-se à inércia bem como as forças de atrito que atuam sobre a massa as quais, em outras 
palavras, exercem uma resistência para tirar o corpo do equilíbrio inicial. Contudo, essa oposição leva um 
certo tempo para se ajustar, e só então se passa ao regime estacionário. É justamente neste regime que 
centraremos nossa atenção. Em termos de equação de movimento, solução consiste na superposição da 
solução da parte homogênea de (2) adicionado de uma solução particular da não homogênea. Para um 
sistema amortecido o regime estacionário é descrito apenas pela solução da equação inomogênea. 
Neste regime é bastante razoável supor que o sistema vibre com a mesma freqüência da fonte, pois 
existe uma força externa forçando a isso. Por outro lado o sistema não necessariamente responde com a 
mesma fase que a fonte. Poderá haver um adiantamento ou atraso na resposta em relação à fonte. 
Desta forma, vamos escrever a solução estacionária na forma: 
 
(3) 
 
onde devemos encontrar os valores de A e ߮de maneira que (3) possa satisfazer a equação diferencial 
(2). Mais uma vez ressaltamos que o ângulo de fase não tem nada a ver com o ângulo de fase inicial. Ele 
expressa simplesmente o atraso ou adiantamento de x(t) com relação à força externa. Colocamos o sinal 
negativo por pura conveniência, como ficará evidente mais adiante. De qualquer sorte, seu valor, positivo 
ou negativo, será definido a partir dos dados de cada problema. 
 
 
 
 
 
 
De (3) obtemos: 
 
A amplitude de uma oscilação forçada é dada por: 
 
 
 
 
 
A constante de fase é dada por: 
 
ݐܽ݊݃	߮ = 	 ܾ߱
݉(߱ଶ଴ −	߱ଶ) 
 
 
 
Lista de Exercícios 
(Recomenda-se a utilização das grandezas do SI) 
 
Lei do Movimento Harmônico Simples 
 
1) Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e uma 
frequência de 6,60 Hz? 
 
2) Uma partícula com uma massa de 1,00 x 10-20 kg descreve um movimento harmônico simples com 
um período de 1,00 x 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00 x 103 m/s. Calcule: 
a) A frequência angular 
b) O deslocamento máximo da partícula. 
 
3) Em um barbeador elétrico a lâmina se move para frente e para trás, ao longo de uma distância de 
2,0 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine: 
a) A amplitude; 
b) A velocidade máxima da lâmina; 
c) O módulo da aceleração máxima da lâmina. 
 
4) Um corpo de 0,12 kg executa um MHS de amplitude 8,5 cm e período 0,20. 
 
a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo? 
 
b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola? 
 
5) Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um 
ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre esses pontos é 36 
cm. Calcule: 
a) O Período? 
b) A frequência? 
c) A amplitude do movimento? 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante elástica k = 400 N/m. Em 
um certo instante t a posição ( medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e 
a aceleração do bloco são: x = 0,1 m , v = - 13,6 m/s , a = -123 m/s2. Calcule: 
a) A frequência de oscilação; 
b) A massa do bloco; 
c) A amplitude do movimento. 
 
7) Em um certo ancoradouro as maré Fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma 
distância d ( do nível mais alto ao nível mais baixo) em movimento harmônico simples com um 
período de 12,5 h. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250d a 
partir do nível mais alto? 
 
8) Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 kg preso a uma mola de 
constante elática 100 N/m. em t = 1,00 s a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415 
m/s. Qual é amplitude das oscilações? 
 
 Energia do Movimento Harmônico Simples 
 
9) Determine a energia mecânica de um sistema bloco – mola com uma constante elástica de 1,3 
N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. 
 
10) Um sistema oscilatório bloco – mola possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 
10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m/s. Determine: 
a) A constante elástica; 
b) A massa do bloco; 
c) A frequência de oscilação; 
 
11) Quando o deslocamento em um MHS é a metade da amplitude (A) que fração da energia total é: 
energia cinética e energia potêncial 
 
12) Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola 
com k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de 
equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Quais 
são: 
a) A frequência do movimento; 
b) A energia potêncial inicial do sistema bloco – mola; 
c) A energia cinética inicial? 
d) A amplitude do movimento; 
 
13) Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um 
suporte rígido por uma mola de constante k . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o 
bloco como mostrado na figura à seguir. A bala penetra no bloco. 
a) Determine a velocidade do bloco imediatamente 
após a colisão. 
 
b) Determine a amplitude do movimento harmônico 
simples resultante. 
: 
 
 
 
 
 
 
Pêndulos 
 
14) Suponha que um pêndulo simples é formado por um pequeno peso de 60,0 g pendurado na 
extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo ߠ entre a corda e a vertical é dada 
por ߠ = (	0,0800	ݎܽ݀) cos[(4,43	ݎܽ݀/ݏ)ݐ + 	߮], quais são o comprimento da corda e a energia 
cinética máxima do peso? 
 
15) Na figura abaixo o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g de 
massa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. Calcule: 
 
 
a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. 
 
b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do 
pêndulo? 
c) Calcule o período de oscilação. 
 
16) Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto de 
suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O 
período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d. 
 
17) Uma barra fina uniforme ( massa = 0,50 kg ) oscila em torno de um eixo que passa por uma das 
extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 
1,5 s . Qual é o comprimento da barra? 
 
18) Determine o comprimento de um pêndulo simples cuja a frequência para pequenas amplitudes 
vale 0,75 Hz. 
 
19) Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo o período para pequenas amplitudes vale 
5,0 s. 
 
20 ) Se o período de um pêndulo simples de 70,0 cm de comprimento é 1,68 s, qual é o valor de g no local 
onde ele se encontra? 
 
Oscilações amortecidas 
 
21)Um corpo de 2,00 kgoscila preso a uma mola, com uma amplitude inicial de 3,00 cm. A 
costante de força da mola é 400 N/m. Determine: 
a) O período? 
b)A energia total inicial? 
c) Se a energia diminui 1% a cada período, determine a constante de amortecimento linear e o fator 
Q? 
 
22) Um oscilador tem um período de 3,00 s. Sua amplitude diminui 5% em cada ciclo. 
a) De quanto diminui sua energia mecânica em cada ciclo? 
b) Qual é a constante de tempo ߬? 
c) Qual é o fator Q? 
 
 
 
 
 
 
 
23) A amplitude de um oscilador fracamente amortecido diminui de 3% a cada ciclo. Que 
porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo? 
Respostas: 
 
1) 37,8 m/s2 
2) a) ࣓ = 6,28.105 rad/s b) A = 1,59 . 10-3m 
3) a) A = 1,0 mm b) Vmáx= 0,75 m/s c) amáx = 5,7 . 102 m/s2 
4) a) F = 10 N b) K = 1,2. 102N/m 
5) a) T = 0,5 s b) f = 2Hz c) A = 18 cm 
6) a) ࣓= 35,07 rad/s b) m = 0,325 kg 
7) t = 2,08 h 
8) A = 0,5 m 
9) E = 3,7 . 10-2 J 
10) a) K = 200 N/m b) m = 1,39 kg c) f = 1,91 Hz 
11) U = 0,25 ; K 0,75 
12) a) f = 2,25 Hz b) U0 = 125 J c) K0 250 J d) A = 0,866 m 
13) a) ࢂ = 	 ቀ ࢓
࢓ାࡹ
ቁࢂ b) ࡭ = 	ට ࢓૛.࢜૛
࢑(࢓ାࡹ	) 
14) a) L = 0,499 m ; k = 9,4 . 10-4 J 
15) a) I = 0,205 kg. m2 b) 0,6 m c) T = 1,5 s 
16) d = 0,056 m 
17) L = 0,84 m 18) L = 44 cm 19) L = 6,2 m 20) g = 9,79 m/s2 
 21) a) T = 0,444 s b) E0 = 0,180 J c) Q = 628 e b = 0,0450 kg/s 
22) a) 10% b) ࣎ = 30 s c) Q = 62,8