Unidade I - Aula 2

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Curso Engenharia Civil
Cálculo Numérico
UNIPÊ/2014.1
Zeros e Pontos Fixos de Funções
Aula 4
Prof. José Vicente
Prof. Roberto Capistrano
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 1 / 13
Sumário
1 O que Zero de uma função?
2 Resultados Importantes
3 Exemplos e Soluções
4 Determinação do número de raízes de um polinômio
Exemplo e Solução
5 Exercícios Propostos
6 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 2 / 13
Sumário
1 O que Zero de uma função?
2 Resultados Importantes
3 Exemplos e Soluções
4 Determinação do número de raízes de um polinômio
Exemplo e Solução
5 Exercícios Propostos
6 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 2 / 13
O que Zero de uma função?
Entendendo o Zero...
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0
dizemos que x0 é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos
fixos, reduz-se a de zeros considerando g(x)= f (x)−x .
Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e terceiro
grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual
consiste em um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial
x0.
Não só a determinação dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são
reais ou complexos também tem utilidade prática, o que nem sempre é tarefa
simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental da álgebra nos
assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas.
Para as funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o
número de raízes podem ser infinito, e estes casos requer um pouco mais de
trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos as de maior relevância do
problema em estudo.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 3 / 13
O que Zero de uma função?
Entendendo o Zero...
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0
dizemos que x0 é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos
fixos, reduz-se a de zeros considerando g(x)= f (x)−x .
Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e terceiro
grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual
consiste em um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial
x0.
Não só a determinação dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são
reais ou complexos também tem utilidade prática, o que nem sempre é tarefa
simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental da álgebra nos
assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas.
Para as funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o
número de raízes podem ser infinito, e estes casos requer um pouco mais de
trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos as de maior relevância do
problema em estudo.
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O que Zero de uma função?
Entendendo o Zero...
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0
dizemos que x0 é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos
fixos, reduz-se a de zeros considerando g(x)= f (x)−x .
Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e terceiro
grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual
consiste em um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial
x0.
Não só a determinação dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são
reais ou complexos também tem utilidade prática, o que nem sempre é tarefa
simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental da álgebra nos
assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas.
Para as funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o
número de raízes podem ser infinito, e estes casos requer um pouco mais de
trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos as de maior relevância do
problema em estudo.
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O que Zero de uma função?
Entendendo o Zero...
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0
dizemos que x0 é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos
fixos, reduz-se a de zeros considerando g(x)= f (x)−x .
Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e terceiro
grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual
consiste em um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial
x0.
Não só a determinação dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são
reais ou complexos também tem utilidade prática, o que nem sempre é tarefa
simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental da álgebra nos
assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas.
Para as funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o
número de raízes podem ser infinito, e estes casos requer um pouco mais de
trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos as de maior relevância do
problema em estudo.
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O que Zero de uma função?
Entendendo o Zero...
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0
dizemos que x0 é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos
fixos, reduz-se a de zeros considerando g(x)= f (x)−x .
Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e terceiro
grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual
consiste em um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial
x0.
Não só a determinação dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são
reais ou complexos também tem utilidade prática, o que nem sempre é tarefa
simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental da álgebra nos
assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas.
Para as funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o
número de raízes podem ser infinito, e estes casos requer um pouco mais de
trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos as de maior relevância do
problema em estudo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Resultados Importantes
Teorema de Bolzano
Teorema
Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b] e o sinal de f ′ seja o mesmo em
todo intervalo, temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
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Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 1
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Solução
Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais:
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Sabendo que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos
que no intervalo [0,2] contém pelo menos um zero real de f (x).
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Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 1
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Solução
Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais:
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Sabendo que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos
que no intervalo [0,2] contém pelo menos um zero real de f (x).
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 5 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 1
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Solução
Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais:
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Sabendo que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos
que no intervalo [0,2] contém pelo menos um zero real de f (x).
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 5 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 1
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Solução
Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais:
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Sabendo que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos
que no intervalo [0,2] contém pelo menos um zero real de f (x).
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 5 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 1
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Solução
Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais:
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Sabendo que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos
que no intervalo [0,2] contém pelo menos um zero real de f (x).
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Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
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Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz dafunção f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 6 / 13
Exemplos e Soluções
Exemplo e solução 2
Exemplo
Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x −e−x em R, f é
contínua.
Solução
Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém
pelo menos um zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R
e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
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Exemplos e Soluções
Gráfico da função
Gráfico da Função
É possível responder a esta questão fazendo o gráfico de f(x), vejamos :
Figura: Gráfico da função f (x)= x −e−x
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 7 / 13
Exemplos e Soluções
Gráfico da função
Gráfico da Função
É possível responder a esta questão fazendo o gráfico de f(x), vejamos :
Figura: Gráfico da função f (x)= x −e−x
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 7 / 13
Exemplos e Soluções
Gráfico da função
Gráfico da Função
É possível responder a esta questão fazendo o gráfico de f(x), vejamos :
Figura: Gráfico da função f (x)= x −e−x
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 7 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio
Número de raízes
Números de Raízes de um Polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de
um polinômio
P(x)= anxn+an−1xn−1++a2x2+axx +a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre
os reais e os complexos. Além disso, se os coeficientes an,an−1, ,a2,a1,a0 são
números reais, as raízes complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada.
Valem também :
Regra de Descartes
Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T −2 ou T −4 ou . . . raízes reais
positivas. O mesmo ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por
negativas.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 8 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio
Número de raízes
Números de Raízes de um Polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de
um polinômio
P(x)= anxn+an−1xn−1++a2x2+axx +a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre
os reais e os complexos. Além disso, se os coeficientes an,an−1, ,a2,a1,a0 são
números reais, as raízes complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada.
Valem também :
Regra de Descartes
Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T −2 ou T −4 ou . . . raízes reais
positivas. O mesmo ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por
negativas.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 8 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio
Número de raízes
Números de Raízes de um Polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de
um polinômio
P(x)= anxn+an−1xn−1++a2x2+axx +a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre
os reais e os complexos. Além disso, se os coeficientes an,an−1, ,a2,a1,a0 são
números reais, as raízes complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada.
Valem também :
Regra de Descartes
Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T −2 ou T −4 ou . . . raízes reais
positivas. O mesmo ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por
negativas.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 8 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio
Número de raízes
Números de Raízes de um Polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de
um polinômio
P(x)= anxn+an−1xn−1++a2x2+axx +a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre
os reais e os complexos. Além disso, se os coeficientes an,an−1, ,a2,a1,a0 são
números reais, as raízes complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada.
Valem também :
Regra de Descartes
Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T −2 ou T −4 ou . . . raízes reais
positivas. O mesmo ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por
negativas.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 8 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio
Número de raízes
Números de Raízes de um Polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de
um polinômio
P(x)= anxn+an−1xn−1++a2x2+axx +a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre
os reais e os complexos. Além disso, se os coeficientes an,an−1, ,a2,a1,a0 são
números reais, as raízes complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada.
Valem também :
Regra de Descartes
Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T −2 ou T −4 ou . . . raízes reais
positivas. O mesmo ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por
negativas.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 8 / 13Determinação do número de raízes de um polinômio Exemplo e Solução
Exemplo e Solução
Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
Existem regras como de Cauchy para avaliação de raízes complexas de polinômios.
Prof. Roberto Capistrano e José Vicente Cálculo Numérico 9 / 13
Determinação do número de raízes de um polinômio Exemplo e Solução
Exemplo e Solução
Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
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Determinação do número de raízes de um polinômio Exemplo e Solução
Exemplo e Solução
Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
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Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
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Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
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Exemplo e Solução
Exemplo
Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x −8
Solução
Vejamos :
Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma
raiz real positiva.
Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x −8 e o sinal dos coeficientes são − + + − de
forma que, T = 2,logo o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou
T −2.
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Exercícios Propostos
Exercícios Proposto
EP1
Aplique as regras de Descartes para o polinômio p(x)= x4−2x3+6x2−5x +1
EP2
Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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Exercícios Propostos
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EP1
Aplique as regras de Descartes para o polinômio p(x)= x4−2x3+6x2−5x +1
EP2
Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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Exercícios Propostos
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EP1
Aplique as regras de Descartes para o polinômio p(x)= x4−2x3+6x2−5x +1
EP2
Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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Exercícios Propostos
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EP2
Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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EP2
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EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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Exercícios Propostos
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EP1
Aplique as regras de Descartes para o polinômio p(x)= x4−2x3+6x2−5x +1
EP2
Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP3
Localize graficamente as raízes :
a) 4cosx −e2x = 0;
b) x3+x −1000= 0
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Bibliografia
Referências I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Cálculo Numérico: aprendizagem com apoio de software.
São Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Cálculo Numérico com Aplicações
São Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, José Vicente.
Notas de Aulas de Cálculo Numérico
João Pessoa: UNIPÊ, 2014.
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR, Annibal.
Cálculo Numérico Fundamentos de Informática
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
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Bibliografia
Referências II
CUNHA, M. Cristina.
Métodos Numéricos
São Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Cálculo Numérico
São Paulo: Pearson, 2006.
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Uma introdução com
aplicações usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Cálculo Numérico
São Paulo; Livro Técnicos e Científicos, 2005.
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Bibliografia
Referências III
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e
Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos
Métodos Numéricos
São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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	Resultados Importantes
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	Determinação do número de raízes de um polinômio
	Exemplo e Solução
	Exercícios Propostos
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