Unidade I - Resumo 3

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula 3 - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Zeros e pontos fixos de Funções
Aula 3
1 Zeros e Pontos Fixos de Funções
1.1 Introdução
Diz-se que x0 é um zero ou raíz de f (x), quando f (x0)= 0. Se f (x0)= x0 dizemos que x0
é um ponto fixo de f (x). Note que a determinação de pontos fixos, reduz-se a de zeros conside-
rando g (x)= f (x)− x. Existem fórmulas para obter raízes de polinômios do primeiro, segundo e
terceiro grau. Para polinômios de grau superior a 3, os métodos são iterativos, o qual consiste em
um fórmula de recorrência xi = f (xi−1), i = 1,2, . . . ,n com valor inicial x0.Não só a determinação
dos zeros é importante. mas dizer quantos tem e se são reais ou complexos também tem utilidade
prática, o que nem sempre é tarefa simples. Para polinômio de grau n o teorema fundamental
da álgebra nos assegura a existência de n raízes podendo ser iguais, reais ou complexas. Parta as
funções transcendentes( contém a presença de ex , sen x e outras) o número de raízes podem ser
infinito, e estes casos requer um pouco mais de trabalho, já que na maioria das vezes selecionamos
as de maior relevância do problema em estudo.
1.2 Resultados Importantes
Teorema 1.1 Teorema de Bolzano : Seja f uma função contínua em [a,b]. Se :
i) f (a) · f (b)< 0 então existe um número impar de raízes reais em [a,b];
ii) f (a) · f (b)> 0 então existe um número par de raízes reais em [a,b];
iii) f e sua derivada f ′ contínuas em [a,b]. e o sinal de f ′ seja o mesmo em todo intervalo,
temos :
a) Se f (a) · f (b)< 0 então existe uma única raiz real em [a,b];
b) Se f (a) · f (b)> 0 então não existe raiz real em [a,b];
Este teorema auxilia na determinação do número de raízes em um intervalo.
Exemplo 1 Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x5+x3−2.
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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Solução Vamos construir uma tabela de valores para f (x). Consideremos apenas os sinais: Sabendo
x −∞ -10 -2 0 2 10 ∞
f (x) - - - - + + +
que f (x) é continua nos intervalos reais, usando o teorema concluímos que no intervalo [0,2]
contém pelo menos um zero real de f (x).
Exemplo 2 Indique o intervalo que contém a raiz da função f (x)= x−e−x em R, f é contínua.
Solução Vamos a tabela de valores :
x −∞ -10 -1 0 1 10 ∞
f (x) - - - - + + +
Como f é contínua nos reais, por inspeção na tabela, concluímos que f contém pelo menos um
zero no intervalo [0,1]. Além disso,
f ′(x)= 1+e−x > 0,∀x ∈R e f (0) · f (1)= (−1)(1−e−1)=−1+e−1 =−1+ 1
e
< 0
logo a raiz ou zero é única.
Notação É possível responder a esta questão fazendo o gráfico de f(x)
2 Determinação da quantidade de raízes de um polinômio
Considere o problema de determinar a quantidade de raízes reais e complexas de um po-
linômio
P(x)= an xn +an−1xn−1++a2x2+ax x+a0
O teorema fundamental da álgebra nos informa que Pn(x) tem n raízes entre os reais
e os complexos. Além disso, se os coeficientes an , an−1, , a2, a1, a0 são números reais, as raízes
complexas ocorrem aos pares, isto é, ela e sua conjugada. Valem também :
Regra de Descartes : Seja T o número de troca de sinal dos coeficientes de P(x)(polinômio
ordenado). Então, P(x)= 0 tem T ou T−2 ou T−4 ou . . . raízes reais positivas. O mesmo
ocorre, considerando P(−x) e trocando as raízes reais por negativas.
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Exemplo 3 Quantas raízes reais positivas e negativas tem o polinômio
p(x)= 2x3+x2−2x−8
Solução Vejamos :
• Sinais dos coeficientes : + + − − , logo T = 1 e assim p(x) tem uma raiz real positiva.
• Mas, p(−x)=−2x3+x2+2x−8 e o sinal dos coeficientes são− + + − de forma que, T = 2,logo
o número de raízes negativas de p(x) pode ser 2 ou T−2.
Existem regras como as da lacuna, de Cauchy para avaliação de raízes complexas de polinô-
mios.
3 Exercícios Propostos
EP 1 Aplique as regras de Descartes para o polinômio p(x)= x4−2x3+6x2−5x+1
EP 2 Localizar as raízes de 2x5+6x4−7x3−x2 = 0
EP 3 Localize graficamente as raízes :
a) 4cos x−e2x = 0;
b) x3+x−1000= 0
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