Unidade I - Aula 4

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Ca´lculo Nume´rico
Derivac¸a˜o Nume´rica
Aula 7
Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 14
Suma´rio
1 Derivac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Derivac¸a˜o Nume´rica
2 Exemplo e Soluc¸a˜o
3 Exerc´ıcios Propostos
4 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 2 / 14
Derivac¸a˜o Nume´rica Introduc¸a˜o
Derivac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Derivar e´ geralmente mais fa´cil que integrar. A ideia deste me´todo de aproximac¸a˜o e´
bastante simples, pois baseia-se em expanso˜es em se´ries de Taylor
A derivac¸a˜o e a integrac¸a˜o nume´rica para y = f (x) sa˜o importantes na soluc¸a˜o
nume´ricas de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Para o desenvolvimento deste to´pico precisamos dos Resultados :
Primeiro:
Teorema de Taylor - y = f (x) func¸a˜o que tem derivada ate´ 3a ordem em (a, b) e h
tal que x + h ∈ (a, b) onde : x ∈ (a, b). Enta˜o
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a, b)
Nota
Considerando h pequeno isto e´, pro´ximo de zero, enta˜o h2 e h3 sa˜o menores ainda e
podemos aproximar
f (x + h) ∼= f (x) + f ′(x)h
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Para o desenvolvimento deste to´pico precisamos dos Resultados :
Primeiro:
Teorema de Taylor - y = f (x) func¸a˜o que tem derivada ate´ 3a ordem em (a, b) e h
tal que x + h ∈ (a, b) onde : x ∈ (a, b). Enta˜o
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a, b)
Nota
Considerando h pequeno isto e´, pro´ximo de zero, enta˜o h2 e h3 sa˜o menores ainda e
podemos aproximar
f (x + h) ∼= f (x) + f ′(x)h
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Para o desenvolvimento deste to´pico precisamos dos Resultados :
Primeiro:
Teorema de Taylor - y = f (x) func¸a˜o que tem derivada ate´ 3a ordem em (a, b) e h
tal que x + h ∈ (a, b) onde : x ∈ (a, b). Enta˜o
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a, b)
Nota
Considerando h pequeno isto e´, pro´ximo de zero, enta˜o h2 e h3 sa˜o menores ainda e
podemos aproximar
f (x + h) ∼= f (x) + f ′(x)h
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Para o desenvolvimento deste to´pico precisamos dos Resultados :
Primeiro:
Teorema de Taylor - y = f (x) func¸a˜o que tem derivada ate´ 3a ordem em (a, b) e h
tal que x + h ∈ (a, b) onde : x ∈ (a, b). Enta˜o
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a, b)
Nota
Considerando h pequeno isto e´, pro´ximo de zero, enta˜o h2 e h3 sa˜o menores ainda e
podemos aproximar
f (x + h) ∼= f (x) + f ′(x)h
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Para o desenvolvimento deste to´pico precisamos dos Resultados :
Primeiro:
Teorema de Taylor - y = f (x) func¸a˜o que tem derivada ate´ 3a ordem em (a, b) e h
tal que x + h ∈ (a, b) onde : x ∈ (a, b). Enta˜o
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
+ . . . ,
onde x ∈ (a, b)
Nota
Considerando h pequeno isto e´, pro´ximo de zero, enta˜o h2 e h3 sa˜o menores ainda e
podemos aproximar
f (x + h) ∼= f (x) + f ′(x)h
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Derivac¸a˜o Nume´rica Derivac¸a˜o Nume´rica
Descrevendo o Me´todo
Segundo:
A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) e´ definido como f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
A ideia do me´todo de aproximac¸ao que vamos apresentar baseia nos resultados
mencionados.
A aproximac¸a˜o da forma f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x)
h
e´ denominada de aproximac¸a˜o de
“primeira ordem” e colocamos
f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
+ ϑ(h)
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Descrevendo o Me´todo
Segundo:
A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) e´ definido como f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
A ideia do me´todo de aproximac¸ao que vamos apresentar baseia nos resultados
mencionados.
A aproximac¸a˜o da forma f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x)
h
e´ denominada de aproximac¸a˜o de
“primeira ordem” e colocamos
f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
+ ϑ(h)
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Descrevendo o Me´todo
Segundo:
A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) e´ definido como f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
A ideia do me´todo de aproximac¸ao que vamos apresentar baseia nos resultados
mencionados.
A aproximac¸a˜o da forma f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x)
h
e´ denominada de aproximac¸a˜o de
“primeira ordem” e colocamos
f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
+ ϑ(h)
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Descrevendo o Me´todo
Segundo:
A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) e´ definido como f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
A ideia do me´todo de aproximac¸ao que vamos apresentar baseia nos resultados
mencionados.
A aproximac¸a˜o da forma f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x)
h
e´ denominada de aproximac¸a˜o de
“primeira ordem” e colocamos
f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
+ ϑ(h)
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Descrevendo o Me´todo
Segundo:
A derivada de f (x) em (a,b), f ′(x) e´ definido como f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
A ideia do me´todo de aproximac¸ao que vamos apresentar baseia nos resultados
mencionados.
A aproximac¸a˜o da forma f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x)
h
e´ denominada de aproximac¸a˜o de
“primeira ordem” e colocamos
f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
+ ϑ(h)
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Descrevendo o Me´todo
Nota
ϑ(h)e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o, e seu valor depende do tamanho de h. Esta
aproximac¸a˜o em geral na˜o e´ boa para os problemas de engenharia.
Uma boa aproximac¸a˜o para a engenharia e tambe´m para va´rias outras a´reas e´ a
chamada de “segunda ordem”(ϑ(h2)) que apresentamos em seguida
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Descrevendo o Me´todo
Nota
ϑ(h)e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o, e seu valor depende do tamanho de h. Esta
aproximac¸a˜o em geral na˜o e´ boa para os problemas de engenharia.
Uma boa aproximac¸a˜o para a engenharia e tambe´m para va´rias outras a´reas e´ a
chamada de “segunda ordem”(ϑ(h2)) que apresentamos em seguida
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Descrevendo o Me´todo
Nota
ϑ(h)e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o, e seu valor depende do tamanho de h. Esta
aproximac¸a˜o em geral na˜o e´ boa para os problemas de engenharia.
Uma boa aproximac¸a˜o para a engenharia e tambe´m para va´rias outras a´reas e´ a
chamada de “segunda ordem”(ϑ(h2)) que apresentamos em seguida
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portantof (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Descrevendo o Me´todo
De acordo com o Teorema de Taylor, para func¸o˜es com derivadas ate´ ordem treˆs, temos:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h + f ′′(x)
h2
2!
+ f ′′′(x)
h3
3!
logo,
f (x − h) = f (x)− f ′(x)h + f ′′(x)h
2
2!
− f ′′′(x)h
3
3!
Assim,
f (x + h)− f (x − h) = 2hf ′(x) + 2 f
′′(x)h3
3!
Portanto
f (x + h)− f (x − h)
2h
= f ′(x) +
f ′′(x)h2
3!
assim, uma aproximac¸a˜o de 2a ordem para f ′(x) e´
f (x + h)− f (x − h)
2h
e
escrevemos :
f ′(x) =
f (x + h)− f (x − h)
2h
+ ϑ(h2)
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo
Calcule, com aproximac¸a˜o de primeira e segunda ordem f ′(1) para f (x) = x2 +
1
x
e
h = 0, 1.
Soluc¸a˜o
Primeira Ordem: f ′(x) =
f (x + h)− f (x)
h
f ′(1) =
f (1 + 0, 1)− f (1)
0, 1
=
2, 12− 2
0, 1
= 1, 2
Segunda Ordem : f ′(x) ∼= f (x + h)− f (x − h)
2h
para o caso temos :
f ′(1) ∼= f (1 + 0, 1)− f (1− 0, 1)
2× 0, 1
∼= f (1, 1)− f (0, 9)
0, 2
∼= 2, 12− 1, 92
0, 2
∼= 0, 2
0, 2
∼= 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Nota
1 f (0, 9) = 0, 81 + 1, 1111 . . . = 1, 921111 . . .
2 f ′(x) = 2x − 1
x2
e f ′(1) = 2− 1 = 1
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Nota
1 f (0, 9) = 0, 81 + 1, 1111 . . . = 1, 921111 . . .
2 f ′(x) = 2x − 1
x2
e f ′(1) = 2− 1 = 1
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 9 / 14Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Nota
1 f (0, 9) = 0, 81 + 1, 1111 . . . = 1, 921111 . . .
2 f ′(x) = 2x − 1
x2
e f ′(1) = 2− 1 = 1
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP1) Calcule aproximac¸o˜es de primeira e segunda ordem para f (x) = sen (2x) em
x = 0, 7 com h = 0, 1,h = 0, 01 e h = 0, 001. Utilize 5 casas decimais apo´s a
virgula em seus ca´lculos.
EP2) Considere a tabela de dados :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fo´rmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0, 4)
supondo f (x) tem derivada ate´ 3a ordem.
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Exerc´ıcios Propostos
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EP1) Calcule aproximac¸o˜es de primeira e segunda ordem para f (x) = sen (2x) em
x = 0, 7 com h = 0, 1,h = 0, 01 e h = 0, 001. Utilize 5 casas decimais apo´s a
virgula em seus ca´lculos.
EP2) Considere a tabela de dados :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fo´rmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0, 4)
supondo f (x) tem derivada ate´ 3a ordem.
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x = 0, 7 com h = 0, 1,h = 0, 01 e h = 0, 001. Utilize 5 casas decimais apo´s a
virgula em seus ca´lculos.
EP2) Considere a tabela de dados :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fo´rmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0, 4)
supondo f (x) tem derivada ate´ 3a ordem.
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x = 0, 7 com h = 0, 1,h = 0, 01 e h = 0, 001. Utilize 5 casas decimais apo´s a
virgula em seus ca´lculos.
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x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fo´rmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0, 4)
supondo f (x) tem derivada ate´ 3a ordem.
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EP1) Calcule aproximac¸o˜es de primeira e segunda ordem para f (x) = sen (2x) em
x = 0, 7 com h = 0, 1,h = 0, 01 e h = 0, 001. Utilize 5 casas decimais apo´s a
virgula em seus ca´lculos.
EP2) Considere a tabela de dados :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f(x) 0,54 0,41 2,026 1,89 2
Utilize fo´rmula apropriada para calcular um valor aproximado de f ′(0, 4)
supondo f (x) tem derivada ate´ 3a ordem.
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Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
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Bibliografia
Refereˆncias II
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR,
Annibal.
Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
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Bibliografia
Refereˆncias III
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o
com aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry
Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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	Derivação Numérica
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