Unidade II - Aula 2

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Ca´lculo Nume´rico
Soluc¸o˜es Nume´ricas de E.D.O.
Aula 2- 2o. Esta´gio
Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 25
Suma´rio
1 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O.
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
2 Me´todo de Passo Simples
Me´todo de Euler
Utilizando Tecnologia
3 Exerc´ıcios Propostos
Resolvendo uma Questa˜o
4 Bibliografia
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
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segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
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De
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
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De
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
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De
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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P.V.I
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procuraruma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
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segunda
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ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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De
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primeira
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ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
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De
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segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :
{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · ,
em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´
obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os
esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que
justifica o nome de
:::::::
problema
:::
de
::::
valor
:::::
inicial.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · ,
em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´
obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2,yk−3, · · · , y0. Desta forma, os
esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores
x > x0 que
justifica o nome de
:::::::
problema
:::
de
::::
valor
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inicial.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · ,
em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´
obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os
esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que
justifica o nome de
:::::::
problema
:::
de
::::
valor
:::::
inicial.
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P.V.I
Classificac¸a˜o dos Me´todos
Os me´todos sa˜o classificados em duas classes :
1
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas
de yk−1
2
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de
m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo
e´ de m-passos
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Classificac¸a˜o dos Me´todos
Os me´todos sa˜o classificados em duas classes :
1
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas
de yk−1
2
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de
m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo
e´ de m-passos
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Classificac¸a˜o dos Me´todos
Os me´todos sa˜o classificados em duas classes :
1
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas
de yk−1
2
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de
m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo
e´ de m-passos
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para
{
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
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Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Me´todo de passo simples para {
dy
dx
= f (x , y)
y(x0) = y0
Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de
y(x) , na forma :
y(x + h) = y(x) + hy ′(x) +
h2
2!
y ′′(x) + · · ·
e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0 + h; onde h =
xf − x0
n
.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos :
y(x + h) = y(x) + hf (x , y) +
h2
2!
f ′(x , y) + · · ·
Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na
pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es
yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais
que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos :
y(x + h) = y(x) + hf (x , y) +
h2
2!
f ′(x , y) + · · ·
Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na
pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es
yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais
que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de passo simples
Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos :
y(x + h) = y(x) + hf (x , y) +
h2
2!
f ′(x , y) + · · ·
Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na
pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es
yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais
que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto(xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y
′(x0) = f (x0, y0).A reta r0
que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y
′(x0) tem a equac¸a˜o
r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0).
Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o
me´todo de Euler :
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · ·
O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´
grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem)
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Exemplo
Determine a soluc¸a˜o do P.V.I.{
y ′ = 2− x + 3y
y(0) = 1 em x = 0.2
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 25
Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Exemplo
Determine a soluc¸a˜o do P.V.I.
{
y ′ = 2− x + 3y
y(0) = 1 em x = 0.2
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Exemplo
Determine a soluc¸a˜o do P.V.I.{
y ′ = 2− x + 3y
y(0) = 1 em x = 0.2
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como
soluc¸a˜o exata :
y(x) =
1
3
x +
14
9
e3x − 5
9
e
y(0.2) =
0.2
3
+
14
9
e0.6 − 5
9
= 2, 345518
para 6 casas decimais.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como
soluc¸a˜o exata :
y(x) =
1
3
x +
14
9
e3x − 5
9
e
y(0.2) =
0.2
3
+
14
9
e0.6 − 5
9
= 2, 345518
para 6 casas decimais.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25
Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como
soluc¸a˜o exata :
y(x) =
1
3
x +
14
9
e3x − 5
9
e
y(0.2) =
0.2
3
+
14
9
e0.6 − 5
9
= 2, 345518
para 6 casas decimais.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25
Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como
soluc¸a˜o exata :
y(x) =
1
3
x +
14
9
e3x − 5
9
e
y(0.2) =
0.2
3
+
14
9
e0.6 − 5
9
= 2, 345518
para 6 casas decimais.
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25
Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25
Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler.
Neste caso, usamos o passo h = 0.1.
Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5.
Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2,
segue-se que :
y2 = y1 + hf (x1, y1)
= 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.4)
= 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1
Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para
efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a
soluc¸a˜o:
Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab
n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada
0 0 1 0
1 0.1 1.5775581 1.5
2 0.2 2.3455181 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1
Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para
efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a
soluc¸a˜o:
Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab
n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada
0 0 1 0
1 0.1 1.5775581 1.5
2 0.2 2.3455181 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1
Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para
efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a
soluc¸a˜o:
Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab
n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada
0 0 1 0
1 0.1 1.5775581 1.5
2 0.2 2.3455181 2.14
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Utilizando Tecnologia - Excel - Programac¸a˜o em VBA
Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Excel - VBA
Entrada de Dados
x0 0
y0 1
h 0,1
imax 2
i x y aprox y analitico
0 0 1 1
1 0,1 1,5 1,577558145
2 0,2 2,14 2,345518134
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Me´todo de Passo Simples
P.V.I
Utilizando Tecnologia - Excel - Programac¸a˜o em VBA
Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Excel - VBA
Entrada de Dados
x0 0
y0 1
h 0,1
imax 2
i x y aprox y analitico
0 0 1 1
1 0,1 1,5 1,577558145
2 0,2 2,14 2,345518134
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para :
(a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1
4
;
(b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1;
(c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1;
(d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para :
(a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1
4
;
(b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1;
(c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1;
(d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para :
(a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1
4
;
(b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1;
(c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1;
(d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
P.V.I
Resolvendo uma Questaˆo
Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica de y(1) para
y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1
4
.
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
P.V.I
Resolvendo uma Questaˆo
Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica de y(1) para
y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1
4
.
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendoy ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e
yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h
Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo
y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0
Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h,
enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5
Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como
y2 = y1 + y
′
1h.
Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y
′
1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos
y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25
Com o valor encontrado iremos calcular
y2 = y1 + y
′
1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25
Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406= 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o
Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Soluc¸a˜o
Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Vamos continuar:
Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como
y3 = y2 + y
′
2h.
Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y
′
2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos
y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625
Com o valor encontrado iremos calcular
y3 = y2 + y
′
2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim :
y3 = 3, 703125
Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h.
Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y
′
3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos
y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125
Com o valor encontrado iremos calcular
y4 = y3 + y
′
3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406.
Assim : y4 = 4, 441406
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Soluc¸a˜o
Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor
exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1,
vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25.
i xi y = e
x + x + 1 yexato yaproxEuler
0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000
1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000
2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500
3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125
4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406
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Soluc¸a˜o
Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor
exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1,
vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25.
i xi y = e
x + x + 1 yexato yaproxEuler
0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000
1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000
2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500
3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125
4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406
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Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor
exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1,
vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25.
i xi y = e
x + x + 1 yexato yaproxEuler
0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000
1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000
2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500
3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125
4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406
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Soluc¸a˜o
Usando Tecnologia - Excel
Tabela: Me´todo Euler
Entrada de Dados
x0 0
y0 2
h 0,25
imax 4
i x y aprox y analitico f(x,y)
0 0 2 2
1 0,25 2,5 2,534025417 2,25
2 0,5 3,0625 3,148721271 2,5625
3 0,75 3,703125 3,867000017 2,953125
4 1 4,441406 4,718281828 3,441406
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Usando Tecnologia - Excel
Tabela: Me´todo Euler
Entrada de Dados
x0 0
y0 2
h 0,25
imax 4
i x y aprox y analitico f(x,y)
0 0 2 2
1 0,25 2,5 2,534025417 2,25
2 0,5 3,0625 3,148721271 2,5625
3 0,75 3,703125 3,867000017 2,953125
4 1 4,441406 4,718281828 3,441406
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Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto.DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
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Bibliografia
Refereˆncias II
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR,
Annibal.
Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
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Bibliografia
Refereˆncias III
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o
com aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
MATOS, Marivaldo P.
Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais
Sa˜o Paulo: Prentice, Hall, 2001.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 24 / 25
Bibliografia
Refereˆncias IV
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry
Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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	Solução Numérica de E.D.O.
	Problema de Valor Inicial(P.V.I)
	Método de Passo Simples
	Exercícios Propostos
	Resolvendo uma Questão
	Bibliografia