Unidade II - Aula 3

Prévia do material em texto

Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
Aula 7
1 Solução Numérica de E.D.O.
1.1 Introdução
Hoje em dia, a maioria dos estudantes dispõe de algum tipo de computação, como calcula-
dora gráfica,computador portátil, ou de mesa, tablet e outros equipamentos, o que tornam fácil de
fazer cálculos trabalhosos, gerar gráficos de boa qualidade entre outros atributos. Com essas con-
siderações a maneira de trabalhar as E.D.O mudou bastante nos últimos anos. O que mostramos,
até agora sustenta o estudo numérico das E.D.O., largamente usado em problemas de engenharia,
tais como fluxo de fluídos, vibrações, movimentos harmonicos etc.
Por razões práticas discutiremos as chamadas E.D.O.(equações) de primeira e segunda or-
dem.
1.2 Equações Diferencial Ordinária - E.D.O
Uma equação diferencial ordinária é constituido de uma igualdade, da variável indepen-
dente x e da função y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma E.D.O. é a ordem da maior
derivação presente na equação , e uma solução é uma função y = f (x) que quando substituida
na equação mantém a igualdade.
As equações de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F(x, y); x ∈ (a,b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F(x, y, y ′); x ∈ (a,b)
Exemplos
• 1a. ordem
y ′ = 2y2+x [F(x, y)= 2y2+x]
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
y ′ =−y +xsen (y)+1 [F(x, y)=−y +xsen (y)+1]
xy ′ =−y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F(x, y)= −y
x
]
• 2a. ordem
y ′′ = 1− y ′+xy [F(x, y, y ′)= 1− y ′+xy]
ex y ′′+ y ′+xy −1= 0∴ ex y ′′ = 1−xy − y ′ ∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x −xe−x y −e−x y
[F(x, y, y ′)= e−x −xe−x y −e−x y]
• y = 1
x
(x > 0) é solução de xy ′ =−y. De fato, y ′ =− 1
x2
e xy ′ = x
(
− 1
x2
)
=−1
x
=−y
• y = sen (x) e y = cos(x) são soluções da E.D.O. y ′′+ y = 0 pois para y = sen (x), temos
y ′′ =−sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ =−cos(x).
As E.D.O. de primeira ordem divide-se em duas grandes classes lineares e não-lineares. As
lineares são as que podem ser escritas na forma
g1(x)y
′+ g0(x)y = h(x)
onde g1, g0 e h são funções dadas, definidas em (a,b). Se g1(x) 6= 0 em (a,b), escrevemos a
E.D.O. linear da forma :
y ′+p(x)y = k(x),onde p(x)= g0(x)
g1(x)
e k(x)= h(x)
g1(x)
Nota: Neste caso, a função incógnita y aparece com potência 1 bem como sua derivada de ordem
1.
Exemplos de primeira ordem
xy ′ =−y ; ex y ′+xy = sen (x); y ′ = y +xsen (x) são lineares
Curso de Engenharia
©2014
2 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
Já as equações, xy ′ = −y2; y y ′ = 1; e y y ′ + y = 1 y ′ = sen (y) são não-lineares, na
primeira o termo que provoca a não linearidade é y2, o segundo y y ′, no terceiro e y e no quarto
sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classificá-la como linear e não-linear. As lineares são
as da forma:
a2(x)y
′′+a1(x)y ′+a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b), podemos escre-
ver:
y ′′+ a1(x)
a2(x)
y ′+ a0(x)
a2(x)
y = b(x)
a2(x)
fazendo p1(x)= a1(x)
a2(x)
; p2(x)= a0(x)
a2(x)
; q(x)= b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′+p1(x)y ′+p2(x)y = q(x); x ∈ (a,b)
Exemplos de segunda ordem
y ′′+ y = 0, linear com p1(x)= 0,p2(x)= 1 e q(x)= 0
y ′′+ex y ′+x2y = x+ sen (x)+1, linear com p1(x)= ex ,p2(x)= x2 e q(x)= x+ sen (x)+1
y ′′+e y y ′+x2y = 1, é não linear, presença de e y
y ′′+ y ′+ y = sen (y), é não linear, presença de sen (y)
y ′′+ y y ′ = 1, é não linear, presença de y y ′
y ′′+x2y ′+py = x, é não linear, presença depy
1.3 Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Neste caso, consiste em procurar uma solução de y ′ = F(x, y) que em x0 assuma o valor de
y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0)= 1; y ′ = y +x2 e y(1)= 0; y ′y = y2+x e y(1)= 1
Curso de Engenharia
©2014
3 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
De segunda ordem :
y ′′ = F(x, y, y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y ′0 são valores dados. Este problema
consiste em procurar soluções que atenda as condições dadas em x0.
Exemplos
y ′′+ y = 0; y(0)= 0 e y ′(0)= 1
y ′′ =−x2y ′+xy y ′+1, ; y(1)= 0 e y ′(1)= 1
y ′′ = x2+ex − y ′+ y2, ; y(5)= 1 e y ′(5)= 1
Existe um número muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidas expressando suas so-
luções sob a forma analítica simples, de forma que, os métodos numéricos que vamos apresentar
são de fundamental importãncia e úteis no dia a dia da tecnologia.
Os métodos numéricos voltados a solução das E.D.O. passa pela discretização do continuo
pois esta toma forma finita permitindo assim o uso dos computadores.
1.4 Método de Passo Simples
Método de passo simples para

dy
dx
= f (x, y)
y(x0) = y0
Os métodos que vamos apresentar, são baseados na expansão em série de Taylor de y(x) ,
na forma :
y(x+h)= y(x)+hy ′(x)+ h
2
2!
y ′′(x)+·· ·
e na discretização do intevralo [x0,x f ], colocando h > 0 e fazendo :
x = x0+h; onde h =
x f −x0
n
.
Curso de Engenharia
©2014
4 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
Note que, como y ′(x)= f (x, y)=⇒ y ′′(x)= f ′(x, y) e escrevemos :
y(x+h)= y(x)+h f (x, y)+ h
2
2!
f ′(x, y)+·· ·
Assim, construimos x1,x2,x3, · · · , não necessariamente igualmente espaçados, mas na prá-
tica colocamos xi+1 = xi+h, i = 0,1,2, · · · e calculamos as aproximações yi ≡ y(xi ) nestes pon-
tos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais que o anterior temos um método
de passo múltiplo.
1.4.1 Método de Euler
A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que
passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equação
r0(x)= y(x0)+ (x−x0)y ′(x0).
Faça h = xi+1−xi e y(x1)∼= y1 = r0(x1) isto é, y1 = y0+hy ′(x0), enfim
y1 = y0+h f (x0, y0)
Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos :
y2 = y1+h f (x1, y1)
Procedendo assim, sucessivamente(por indução) obtemos a fórmula que caracteriza o mé-
todo de Euler :
yi+1 = yi +h f (xi , yi ), i = 0,1,2,3, · · ·
O uso deste metodo é limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo é grande
(aproximação de primeira ordem)
Exemplo
Curso de Engenharia
©2014
5 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
Determine a solução do P.V.I.
 y
′ = 2−x+3y
y(0) = 1 em x = 0.2
Solução
i) Esta equação é linear de primeira ordem (y ′ = 2−x+3y) e este P.V.I tem como solução exata :
y(x)= 1
3
x+ 14
9
e3x − 5
9
e
y(0.2)= 0.2
3
+ 14
9
e0.6− 5
9
= 2,345518
para 6 casas decimais.
ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o método de Euler. Neste caso, usamos
o passo h = 0.1. Temos : f (x, y)= 2−x+3y ,logo f (0,1)= 2+3= 5.
Mas, y1 = y0+h f (0,1)= 1+ (0,1)(5)= 1+0,5= 1,5
de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que :
y2 = y1+h f (x1, y1)
= 1.5+ (0.1) f (0.1;1.5)
= 1.5+ (0.1)(6.4)
= 2.14
O erro cometido pelo método é de Eabs = 2,345518−2,14 = 0,205518 o que em geral não
é aceitável por ser grande.Prosseguindo em outros passos, a tendência pode crescer consideravel-
mente.
1.4.2 Utilizando Tecnologia
Scilab-5.4.1(64-bit)
Acima,efetuamos o cálculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para
efetuarmosos cálculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a solução:
Curso de Engenharia
©2014
6 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Solução Numérica d e E.D.O.
Tabela 1: Método de Euler 1a. Ordem- no Scilab
n xi Solução exata Solução Aproximada
0 0 1 0
1 0.1 1.5775581 1.5
2 0.2 2.3455181 2.14
Excel - Programação em VBA
Tabela 2: Método de Euler 1a. Ordem- no Excel - VBA
Entrada de Dados
x0 0
y0 1
h 0,1
imax 10
i x y_aprox y_analitico
0 0 1 1
1 0,1 1,5 1,577558145
2 0,2 2,14 2,345518134
3 0,3 2,962 3,370493728
4 0,4 4,0206 4,742404102
5 0,5 5,38678 6,582627443
6 0,6 7,152814 9,055007167
7 0,7 9,438658 12,38070875
8 0,8 12,40026 16,85827437
9 0,9 16,24033 22,89069379
10 1 21,22243 31,02194632
Curso de Engenharia
©2014
7 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente